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Theorem cbvprod 13804
Description: Change bound variable in a product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvprod.1  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
cbvprod.2  |-  F/_ k A
cbvprod.3  |-  F/_ j A
cbvprod.4  |-  F/_ k B
cbvprod.5  |-  F/_ j C
Assertion
Ref Expression
cbvprod  |-  prod_ j  e.  A  B  =  prod_ k  e.  A  C
Distinct variable group:    j, k
Allowed substitution hints:    A( j, k)    B( j, k)    C( j, k)

Proof of Theorem cbvprod
Dummy variables  f  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biid 236 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )
2 cbvprod.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k A
32nfcri 2609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  j  e.  A
4 cbvprod.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k B
5 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
1
63, 4, 5nfif 3958 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k if ( j  e.  A ,  B ,  1 )
7 cbvprod.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ j A
87nfcri 2609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j  k  e.  A
9 cbvprod.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j C
10 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j
1
118, 9, 10nfif 3958 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j if ( k  e.  A ,  C ,  1 )
12 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
13 cbvprod.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
1412, 13ifbieq1d 3952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
156, 11, 14cbvmpt 4529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
16 seqeq3 12094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )  ->  seq n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq n (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  seq n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq n (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )
1817breq1i 4446 . . . . . . . . 9  |-  (  seq n (  x.  , 
( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y  <->  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )
1918anbi2i 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =/=  0  /\ 
seq n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
2019exbii 1672 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
2120rexbii 2956 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
22 seqeq3 12094 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )  ->  seq m
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
2315, 22ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  seq m
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )
2423breq1i 4446 . . . . . 6  |-  (  seq m (  x.  , 
( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )
251, 21, 243anbi123i 1183 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
2625rexbii 2956 . . . 4  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
274, 9, 13cbvcsb 3425 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ (
f `  n )  /  j ]_ B  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C
2827mpteq2i 4522 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  j ]_ B
)  =  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)
29 seqeq3 12094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B )  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C )  ->  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) )  =  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) )  =  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) )
3130fveq1i 5849 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m )
3231eqeq2i 2472 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m )  <->  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) )
3332anbi2i 692 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
) ) `  m
) ) )
3433exbii 1672 . . . . 5  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )
3534rexbii 2956 . . . 4  |-  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )
3626, 35orbi12i 519 . . 3  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
3736iotabii 5556 . 2  |-  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
38 df-prod 13795 . 2  |-  prod_ j  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
39 df-prod 13795 . 2  |-  prod_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
4037, 38, 393eqtr4i 2493 1  |-  prod_ j  e.  A  B  =  prod_ k  e.  A  C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   F/_wnfc 2602    =/= wne 2649   E.wrex 2805   [_csb 3420    C_ wss 3461   ifcif 3929   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   iotacio 5532   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486   NNcn 10531   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675    seqcseq 12089    ~~> cli 13389   prod_cprod 13794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-cnv 4996  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-seq 12090  df-prod 13795
This theorem is referenced by:  cbvprodv  13805  cbvprodi  13806  fproddivf  31827  fprodsplitf  31828  fprodcllemf  31830
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