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Theorem cbvprod 27565
Description: Change bound variable in a product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvprod.1  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
cbvprod.2  |-  F/_ k A
cbvprod.3  |-  F/_ j A
cbvprod.4  |-  F/_ k B
cbvprod.5  |-  F/_ j C
Assertion
Ref Expression
cbvprod  |-  prod_ j  e.  A  B  =  prod_ k  e.  A  C
Distinct variable group:    j, k
Allowed substitution hints:    A( j, k)    B( j, k)    C( j, k)

Proof of Theorem cbvprod
Dummy variables  f  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biid 236 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )
2 cbvprod.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k A
32nfcri 2606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  j  e.  A
4 cbvprod.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k B
5 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
1
63, 4, 5nfif 3919 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k if ( j  e.  A ,  B ,  1 )
7 cbvprod.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ j A
87nfcri 2606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j  k  e.  A
9 cbvprod.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j C
10 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j
1
118, 9, 10nfif 3919 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j if ( k  e.  A ,  C ,  1 )
12 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
13 cbvprod.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
14 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  1  =  1 )
1512, 13, 14ifbieq12d 3917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
166, 11, 15cbvmpt 4483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
17 seqeq3 11921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )  ->  seq n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq n (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  seq n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq n (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )
1918breq1i 4400 . . . . . . . . 9  |-  (  seq n (  x.  , 
( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y  <->  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )
2019anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =/=  0  /\ 
seq n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
2120exbii 1635 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
2221rexbii 2859 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
23 seqeq3 11921 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )  ->  seq m
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
2416, 23ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  seq m
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )
2524breq1i 4400 . . . . . 6  |-  (  seq m (  x.  , 
( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )
261, 22, 253anbi123i 1177 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
2726rexbii 2859 . . . 4  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
284, 9, 13cbvcsb 3394 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ (
f `  n )  /  j ]_ B  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C
2928mpteq2i 4476 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  j ]_ B
)  =  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)
30 seqeq3 11921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B )  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C )  ->  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) )  =  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) )  =  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) )
3231fveq1i 5793 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m )
3332eqeq2i 2469 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m )  <->  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) )
3433anbi2i 694 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
) ) `  m
) ) )
3534exbii 1635 . . . . 5  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )
3635rexbii 2859 . . . 4  |-  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )
3727, 36orbi12i 521 . . 3  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
3837iotabii 5504 . 2  |-  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
39 df-prod 27556 . 2  |-  prod_ j  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
40 df-prod 27556 . 2  |-  prod_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
4138, 39, 403eqtr4i 2490 1  |-  prod_ j  e.  A  B  =  prod_ k  e.  A  C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   F/_wnfc 2599    =/= wne 2644   E.wrex 2796   [_csb 3389    C_ wss 3429   ifcif 3892   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451   iotacio 5480   -1-1-onto->wf1o 5518   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   0cc0 9386   1c1 9387    x. cmul 9391   NNcn 10426   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965   ...cfz 11547    seqcseq 11916    ~~> cli 13073   prod_cprod 27555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-cnv 4949  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-seq 11917  df-prod 27556
This theorem is referenced by:  cbvprodv  27566  cbvprodi  27567
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