Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cbvprod Structured version   Unicode version

Theorem cbvprod 27565
 Description: Change bound variable in a product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvprod.1
cbvprod.2
cbvprod.3
cbvprod.4
cbvprod.5
Assertion
Ref Expression
cbvprod
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem cbvprod
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biid 236 . . . . . 6
2 cbvprod.2 . . . . . . . . . . . . . 14
32nfcri 2606 . . . . . . . . . . . . 13
4 cbvprod.4 . . . . . . . . . . . . 13
5 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . 13
63, 4, 5nfif 3919 . . . . . . . . . . . 12
7 cbvprod.3 . . . . . . . . . . . . . 14
87nfcri 2606 . . . . . . . . . . . . 13
9 cbvprod.5 . . . . . . . . . . . . 13
10 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . 13
118, 9, 10nfif 3919 . . . . . . . . . . . 12
12 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . 13
13 cbvprod.1 . . . . . . . . . . . . 13
14 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . 13
1512, 13, 14ifbieq12d 3917 . . . . . . . . . . . 12
166, 11, 15cbvmpt 4483 . . . . . . . . . . 11
17 seqeq3 11921 . . . . . . . . . . 11
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
1918breq1i 4400 . . . . . . . . 9
2019anbi2i 694 . . . . . . . 8
2120exbii 1635 . . . . . . 7
2221rexbii 2859 . . . . . 6
23 seqeq3 11921 . . . . . . . 8
2416, 23ax-mp 5 . . . . . . 7
2524breq1i 4400 . . . . . 6
261, 22, 253anbi123i 1177 . . . . 5
2726rexbii 2859 . . . 4
284, 9, 13cbvcsb 3394 . . . . . . . . . . 11
2928mpteq2i 4476 . . . . . . . . . 10
30 seqeq3 11921 . . . . . . . . . 10
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9
3231fveq1i 5793 . . . . . . . 8
3332eqeq2i 2469 . . . . . . 7
3433anbi2i 694 . . . . . 6
3534exbii 1635 . . . . 5
3635rexbii 2859 . . . 4
3727, 36orbi12i 521 . . 3
3837iotabii 5504 . 2
39 df-prod 27556 . 2
40 df-prod 27556 . 2
4138, 39, 403eqtr4i 2490 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 368   wa 369   w3a 965   wceq 1370  wex 1587   wcel 1758  wnfc 2599   wne 2644  wrex 2796  csb 3389   wss 3429  cif 3892   class class class wbr 4393   cmpt 4451  cio 5480  wf1o 5518  cfv 5519  (class class class)co 6193  cc0 9386  c1 9387   cmul 9391  cn 10426  cz 10750  cuz 10965  cfz 11547   cseq 11916   cli 13073  cprod 27555 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-cnv 4949  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-seq 11917  df-prod 27556 This theorem is referenced by:  cbvprodv  27566  cbvprodi  27567
 Copyright terms: Public domain W3C validator