MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cbvitg Structured version   Unicode version

Theorem cbvitg 21095
Description: Change bound variable in an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvitg.1  |-  ( x  =  y  ->  B  =  C )
cbvitg.2  |-  F/_ y B
cbvitg.3  |-  F/_ x C
Assertion
Ref Expression
cbvitg  |-  S. A B  _d x  =  S. A C  _d y
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    B( x, y)    C( x, y)

Proof of Theorem cbvitg
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1672 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  A
2 nfcv 2569 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
0
3 nfcv 2569 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y  <_
4 nfcv 2569 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
Re
5 cbvitg.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y B
6 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y  /
7 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y
( _i ^ k
)
85, 6, 7nfov 6103 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
( B  /  (
_i ^ k ) )
94, 8nffv 5686 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
102, 3, 9nfbr 4324 . . . . . . . . 9  |-  F/ y 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )
111, 10nfan 1859 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )
1211, 9, 2nfif 3806 . . . . . . 7  |-  F/_ y if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )
13 nfv 1672 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  y  e.  A
14 nfcv 2569 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
0
15 nfcv 2569 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x  <_
16 nfcv 2569 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x Re
17 cbvitg.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x C
18 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  /
19 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( _i ^ k
)
2017, 18, 19nfov 6103 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( C  /  (
_i ^ k ) )
2116, 20nffv 5686 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )
2214, 15, 21nfbr 4324 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )
2313, 22nfan 1859 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) )
2423, 21, 14nfif 3806 . . . . . . 7  |-  F/_ x if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )
25 eleq1 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
26 cbvitg.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  B  =  C )
2726oveq1d 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( B  /  ( _i ^
k ) )  =  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )
2827fveq2d 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
2928breq2d 4292 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  <->  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) )
3025, 29anbi12d 703 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )  <-> 
( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ) )
3130, 28ifbieq1d 3800 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  =  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3212, 24, 31cbvmpt 4370 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
3433fveq2d 5683 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3534oveq2d 6096 . . 3  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
3635sumeq2i 13160 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
37 eqid 2433 . . 3  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
3837dfitg 21089 . 2  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
39 eqid 2433 . . 3  |-  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )
4039dfitg 21089 . 2  |-  S. A C  _d y  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
4136, 38, 403eqtr4i 2463 1  |-  S. A B  _d x  =  S. A C  _d y
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   F/_wnfc 2556   ifcif 3779   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9269   0cc0 9270   _ici 9272    x. cmul 9275    <_ cle 9407    / cdiv 9981   3c3 10360   ...cfz 11424   ^cexp 11849   Recre 12570   sum_csu 13147   S.2citg2 20938   S.citg 20940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-seq 11791  df-sum 13148  df-itg 20945
This theorem is referenced by:  cbvitgv  21096  itgmpt  21102  itgfsum  21146  itgabs  21154  cbvditg  21171  itgparts  21361  itgsubstlem  21362  itgulm2  21759  itgabsnc  28305
  Copyright terms: Public domain W3C validator