MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cbvitg Structured version   Unicode version

Theorem cbvitg 21371
Description: Change bound variable in an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvitg.1  |-  ( x  =  y  ->  B  =  C )
cbvitg.2  |-  F/_ y B
cbvitg.3  |-  F/_ x C
Assertion
Ref Expression
cbvitg  |-  S. A B  _d x  =  S. A C  _d y
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    B( x, y)    C( x, y)

Proof of Theorem cbvitg
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1674 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  A
2 nfcv 2613 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
0
3 nfcv 2613 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y  <_
4 nfcv 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
Re
5 cbvitg.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y B
6 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y  /
7 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y
( _i ^ k
)
85, 6, 7nfov 6215 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
( B  /  (
_i ^ k ) )
94, 8nffv 5798 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
102, 3, 9nfbr 4436 . . . . . . . . 9  |-  F/ y 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )
111, 10nfan 1863 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )
1211, 9, 2nfif 3918 . . . . . . 7  |-  F/_ y if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )
13 nfv 1674 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  y  e.  A
14 nfcv 2613 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
0
15 nfcv 2613 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x  <_
16 nfcv 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x Re
17 cbvitg.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x C
18 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  /
19 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( _i ^ k
)
2017, 18, 19nfov 6215 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( C  /  (
_i ^ k ) )
2116, 20nffv 5798 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )
2214, 15, 21nfbr 4436 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )
2313, 22nfan 1863 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) )
2423, 21, 14nfif 3918 . . . . . . 7  |-  F/_ x if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )
25 eleq1 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
26 cbvitg.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  B  =  C )
2726oveq1d 6207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( B  /  ( _i ^
k ) )  =  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )
2827fveq2d 5795 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
2928breq2d 4404 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  <->  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) )
3025, 29anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )  <-> 
( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ) )
3130, 28ifbieq1d 3912 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  =  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3212, 24, 31cbvmpt 4482 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
3433fveq2d 5795 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3534oveq2d 6208 . . 3  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
3635sumeq2i 13280 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
37 eqid 2451 . . 3  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
3837dfitg 21365 . 2  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
39 eqid 2451 . . 3  |-  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )
4039dfitg 21365 . 2  |-  S. A C  _d y  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
4136, 38, 403eqtr4i 2490 1  |-  S. A B  _d x  =  S. A C  _d y
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   F/_wnfc 2599   ifcif 3891   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   RRcr 9384   0cc0 9385   _ici 9387    x. cmul 9390    <_ cle 9522    / cdiv 10096   3c3 10475   ...cfz 11540   ^cexp 11968   Recre 12690   sum_csu 13267   S.2citg2 21214   S.citg 21216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-seq 11910  df-sum 13268  df-itg 21221
This theorem is referenced by:  cbvitgv  21372  itgmpt  21378  itgfsum  21422  itgabs  21430  cbvditg  21447  itgparts  21637  itgsubstlem  21638  itgulm2  21992  itgabsnc  28601
  Copyright terms: Public domain W3C validator