MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cbvitg Structured version   Unicode version

Theorem cbvitg 21910
Description: Change bound variable in an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvitg.1  |-  ( x  =  y  ->  B  =  C )
cbvitg.2  |-  F/_ y B
cbvitg.3  |-  F/_ x C
Assertion
Ref Expression
cbvitg  |-  S. A B  _d x  =  S. A C  _d y
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    B( x, y)    C( x, y)

Proof of Theorem cbvitg
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1678 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  A
2 nfcv 2622 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
0
3 nfcv 2622 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y  <_
4 nfcv 2622 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
Re
5 cbvitg.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y B
6 nfcv 2622 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y  /
7 nfcv 2622 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y
( _i ^ k
)
85, 6, 7nfov 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
( B  /  (
_i ^ k ) )
94, 8nffv 5864 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
102, 3, 9nfbr 4484 . . . . . . . . 9  |-  F/ y 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )
111, 10nfan 1870 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )
1211, 9, 2nfif 3961 . . . . . . 7  |-  F/_ y if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )
13 nfv 1678 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  y  e.  A
14 nfcv 2622 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
0
15 nfcv 2622 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x  <_
16 nfcv 2622 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x Re
17 cbvitg.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x C
18 nfcv 2622 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  /
19 nfcv 2622 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( _i ^ k
)
2017, 18, 19nfov 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( C  /  (
_i ^ k ) )
2116, 20nffv 5864 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )
2214, 15, 21nfbr 4484 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )
2313, 22nfan 1870 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) )
2423, 21, 14nfif 3961 . . . . . . 7  |-  F/_ x if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )
25 eleq1 2532 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
26 cbvitg.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  B  =  C )
2726oveq1d 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( B  /  ( _i ^
k ) )  =  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )
2827fveq2d 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
2928breq2d 4452 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  <->  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) )
3025, 29anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )  <-> 
( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ) )
3130, 28ifbieq1d 3955 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  =  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3212, 24, 31cbvmpt 4530 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
3433fveq2d 5861 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3534oveq2d 6291 . . 3  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
3635sumeq2i 13470 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
37 eqid 2460 . . 3  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
3837dfitg 21904 . 2  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
39 eqid 2460 . . 3  |-  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )
4039dfitg 21904 . 2  |-  S. A C  _d y  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
4136, 38, 403eqtr4i 2499 1  |-  S. A B  _d x  =  S. A C  _d y
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   F/_wnfc 2608   ifcif 3932   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   _ici 9483    x. cmul 9486    <_ cle 9618    / cdiv 10195   3c3 10575   ...cfz 11661   ^cexp 12122   Recre 12880   sum_csu 13457   S.2citg2 21753   S.citg 21755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-seq 12064  df-sum 13458  df-itg 21760
This theorem is referenced by:  cbvitgv  21911  itgmpt  21917  itgfsum  21961  itgabs  21969  cbvditg  21986  itgparts  22176  itgsubstlem  22177  itgulm2  22531  itgabsnc  29512  itgiccshift  31117  itgperiod  31118  dirkeritg  31221  fourierdlem73  31299  fourierdlem82  31308  fourierdlem93  31319  fourierdlem111  31337
  Copyright terms: Public domain W3C validator