MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cbvitg Structured version   Unicode version

Theorem cbvitg 22474
Description: Change bound variable in an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvitg.1  |-  ( x  =  y  ->  B  =  C )
cbvitg.2  |-  F/_ y B
cbvitg.3  |-  F/_ x C
Assertion
Ref Expression
cbvitg  |-  S. A B  _d x  =  S. A C  _d y
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    B( x, y)    C( x, y)

Proof of Theorem cbvitg
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1728 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  A
2 nfcv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
0
3 nfcv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y  <_
4 nfcv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
Re
5 cbvitg.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y B
6 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y  /
7 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y
( _i ^ k
)
85, 6, 7nfov 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
( B  /  (
_i ^ k ) )
94, 8nffv 5856 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
102, 3, 9nfbr 4439 . . . . . . . . 9  |-  F/ y 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )
111, 10nfan 1956 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )
1211, 9, 2nfif 3914 . . . . . . 7  |-  F/_ y if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )
13 nfv 1728 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  y  e.  A
14 nfcv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
0
15 nfcv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x  <_
16 nfcv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x Re
17 cbvitg.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x C
18 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  /
19 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( _i ^ k
)
2017, 18, 19nfov 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( C  /  (
_i ^ k ) )
2116, 20nffv 5856 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )
2214, 15, 21nfbr 4439 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )
2313, 22nfan 1956 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) )
2423, 21, 14nfif 3914 . . . . . . 7  |-  F/_ x if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )
25 eleq1 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
26 cbvitg.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  B  =  C )
2726oveq1d 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( B  /  ( _i ^
k ) )  =  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )
2827fveq2d 5853 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
2928breq2d 4407 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  <->  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) )
3025, 29anbi12d 709 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )  <-> 
( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ) )
3130, 28ifbieq1d 3908 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  =  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3212, 24, 31cbvmpt 4486 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
3433fveq2d 5853 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3534oveq2d 6294 . . 3  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
3635sumeq2i 13670 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
37 eqid 2402 . . 3  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
3837dfitg 22468 . 2  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
39 eqid 2402 . . 3  |-  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )
4039dfitg 22468 . 2  |-  S. A C  _d y  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
4136, 38, 403eqtr4i 2441 1  |-  S. A B  _d x  =  S. A C  _d y
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   F/_wnfc 2550   ifcif 3885   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   _ici 9524    x. cmul 9527    <_ cle 9659    / cdiv 10247   3c3 10627   ...cfz 11726   ^cexp 12210   Recre 13079   sum_csu 13657   S.2citg2 22317   S.citg 22319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-seq 12152  df-sum 13658  df-itg 22324
This theorem is referenced by:  cbvitgv  22475  itgmpt  22481  itgfsum  22525  itgabs  22533  cbvditg  22550  itgparts  22740  itgsubstlem  22741  itgulm2  23096  itgabsnc  31457
  Copyright terms: Public domain W3C validator