MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cayleylem1 Structured version   Unicode version

Theorem cayleylem1 16225
Description: Lemma for cayley 16227. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cayleylem1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
cayleylem1.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
cayleylem1.u  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
cayleylem1.h  |-  H  =  ( SymGrp `  X )
cayleylem1.s  |-  S  =  ( Base `  H
)
cayleylem1.f  |-  F  =  ( g  e.  X  |->  ( a  e.  X  |->  ( g  .+  a
) ) )
Assertion
Ref Expression
cayleylem1  |-  ( G  e.  Grp  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
Distinct variable groups:    g, a,  .+    G, a, g    g, H    X, a, g    .0. , a
Allowed substitution hints:    S( g, a)    F( g, a)    H( a)    .0. ( g)

Proof of Theorem cayleylem1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cayleylem1.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 cayleylem1.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2460 . . 3  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x 
.+  y ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x  .+  y ) )
41, 2, 3gaid2 16129 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( x  .+  y ) )  e.  ( G 
GrpAct  X ) )
5 cayleylem1.h . . 3  |-  H  =  ( SymGrp `  X )
6 cayleylem1.f . . . 4  |-  F  =  ( g  e.  X  |->  ( a  e.  X  |->  ( g  .+  a
) ) )
7 oveq12 6284 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  g  /\  y  =  a )  ->  ( x  .+  y
)  =  ( g 
.+  a ) )
8 ovex 6300 . . . . . . 7  |-  ( g 
.+  a )  e. 
_V
97, 3, 8ovmpt2a 6408 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  X  /\  a  e.  X )  ->  ( g ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x 
.+  y ) ) a )  =  ( g  .+  a ) )
109mpteq2dva 4526 . . . . 5  |-  ( g  e.  X  ->  (
a  e.  X  |->  ( g ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x  .+  y ) ) a ) )  =  ( a  e.  X  |->  ( g  .+  a ) ) )
1110mpteq2ia 4522 . . . 4  |-  ( g  e.  X  |->  ( a  e.  X  |->  ( g ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x  .+  y
) ) a ) ) )  =  ( g  e.  X  |->  ( a  e.  X  |->  ( g  .+  a ) ) )
126, 11eqtr4i 2492 . . 3  |-  F  =  ( g  e.  X  |->  ( a  e.  X  |->  ( g ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x 
.+  y ) ) a ) ) )
131, 5, 12galactghm 16216 . 2  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( x  .+  y ) )  e.  ( G 
GrpAct  X )  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
144, 13syl 16 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   0gc0g 14684   Grpcgrp 15716    GrpHom cghm 16052    GrpAct cga 16115   SymGrpcsymg 16190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-tset 14563  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-subg 15986  df-ghm 16053  df-ga 16116  df-symg 16191
This theorem is referenced by:  cayleylem2  16226  cayley  16227
  Copyright terms: Public domain W3C validator