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Theorem cayhamlem1 19162
Description: Lemma 1 for cayleyhamilton 19186. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cayhamlem1.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
cayhamlem1.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
cayhamlem1.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cayhamlem1.y  |-  Y  =  ( N Mat  P )
cayhamlem1.r  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
cayhamlem1.s  |-  .-  =  ( -g `  Y )
cayhamlem1.0  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
cayhamlem1.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
cayhamlem1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
cayhamlem1.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Y )
)
Assertion
Ref Expression
cayhamlem1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) ) ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    R, n    n, Y    n, b    n, s    .0. , n    B, i   
i, G    i, M    i, N    R, i    T, i    .X. , i    .^ , i    i, s    i, b    T, n, i    i, Y    .X. , n    .- , n, i
Allowed substitution hints:    A( i, n, s, b)    B( s, b)    P( i, n, s, b)    R( s, b)    T( s, b)    .X. ( s, b)    .^ ( n, s, b)    G( n, s, b)    M( s, b)    .- ( s, b)    N( s, b)    Y( s, b)    .0. ( i, s, b)

Proof of Theorem cayhamlem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cayhamlem1.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 cayhamlem1.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 cayhamlem1.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 cayhamlem1.y . . 3  |-  Y  =  ( N Mat  P )
5 cayhamlem1.r . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
6 cayhamlem1.s . . 3  |-  .-  =  ( -g `  Y )
7 cayhamlem1.0 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
8 cayhamlem1.t . . 3  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
9 cayhamlem1.g . . 3  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
10 cayhamlem1.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Y )
)
11 eqid 2467 . . 3  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11chfacfpmmulgsum2 19161 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) ) ) )  =  ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) ( +g  `  Y ) ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  s
) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ) )
13 elfzelz 11688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  e.  ZZ )
1413zcnd 10967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  e.  CC )
15 pncan1 9983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  CC  ->  (
( i  +  1 )  -  1 )  =  i )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  (
( i  +  1 )  -  1 )  =  i )
1716eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  =  ( ( i  +  1 )  - 
1 ) )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  i  =  ( ( i  +  1 )  - 
1 ) )
1918fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
b `  i )  =  ( b `  ( ( i  +  1 )  -  1 ) ) )
2019fveq2d 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( T `  ( b `  i ) )  =  ( T `  (
b `  ( (
i  +  1 )  -  1 ) ) ) )
2120oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) )  =  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( i  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
2221oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) )  =  ( ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( ( i  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) ) )
2322mpteq2dva 4533 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( i  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
2423oveq2d 6300 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) ) ) )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( i  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) ) ) )
2524adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( ( i  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) ) ) ) )
26 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
27 crngrng 17010 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2827anim2i 569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
29283adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
303, 4pmatrng 18989 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
3129, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Ring )
32 rngabl 17029 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Abel )
3331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Abel )
3433adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Abel )
35 elnnuz 11118 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  NN  <->  s  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3635biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3736ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  s  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
3831adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Ring )
3938adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  Y  e.  Ring )
4028, 30syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e.  Ring )
41403adant3 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Ring )
42 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
4342rngmgp 17006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  Ring  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
4441, 43syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
4544adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
4645adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
47 elfznn 11714 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( s  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
4847adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
498, 1, 2, 3, 4mat2pmatbas 19022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
5027, 49syl3an2 1262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
5150adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  M )  e.  (
Base `  Y )
)
5251adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
5342, 26mgpbas 16949 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  (mulGrp `  Y
) )
5453, 10mulgnncl 15967 . . . . . . . 8  |-  ( ( (mulGrp `  Y )  e.  Mnd  /\  k  e.  NN  /\  ( T `
 M )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
k  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y
) )
5546, 48, 52, 54syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  (
k  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y
) )
56 simpl1 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  N  e.  Fin )
5756adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  N  e.  Fin )
58273ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
5958adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
6059adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  R  e.  Ring )
61 elmapi 7440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
6261adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
b : ( 0 ... s ) --> B )
6362adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
6463adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
65 nnz 10886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
66 peano2nn 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  NN )
6766nnzd 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  ZZ )
68 elfzm1b 11756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( s  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) )  <->  ( k  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( s  +  1 )  -  1 ) ) ) )
6965, 67, 68syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  s  e.  NN )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( s  +  1 ) )  <-> 
( k  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( s  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
70 nncn 10544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  CC )
71 pncan1 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( s  +  1 )  -  1 )  =  s )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  NN  ->  (
( s  +  1 )  -  1 )  =  s )
7372adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( s  +  1 )  -  1 )  =  s )
7473oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  s  e.  NN )  ->  ( 0 ... (
( s  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... s ) )
7574eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( k  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( s  +  1 )  -  1 ) )  <-> 
( k  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) ) )
7675biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( k  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( s  +  1 )  -  1 ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  ( 0 ... s ) ) )
7769, 76sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  s  e.  NN )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( s  +  1 ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  ( 0 ... s ) ) )
7877expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  NN  ->  (
k  e.  NN  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( s  +  1 ) )  -> 
( k  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) ) ) )
7978com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( s  +  1 ) )  ->  (
k  e.  NN  ->  ( s  e.  NN  ->  ( k  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) ) ) )
8047, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( s  +  1 ) )  ->  (
s  e.  NN  ->  ( k  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) ) )
8180com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  NN  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( s  +  1 ) )  -> 
( k  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) ) )
8281ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  ( 0 ... s
) ) )
8382imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) )
8464, 83ffvelrnd 6022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  (
b `  ( k  -  1 ) )  e.  B )
858, 1, 2, 3, 4mat2pmatbas 19022 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  ( k  -  1 ) )  e.  B )  -> 
( T `  (
b `  ( k  -  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
8657, 60, 84, 85syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  ( T `  ( b `  ( k  -  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
8726, 5rngcl 17013 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  (
k  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( T `  ( b `  (
k  -  1 ) ) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( (
k  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( k  - 
1 ) ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
8839, 55, 86, 87syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  (
( k  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
k  -  1 ) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
8988ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  A. k  e.  ( 1 ... ( s  +  1 ) ) ( ( k  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
k  -  1 ) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
90 oveq1 6291 . . . . . 6  |-  ( k  =  i  ->  (
k  .^  ( T `  M ) )  =  ( i  .^  ( T `  M )
) )
91 oveq1 6291 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  i  ->  (
k  -  1 )  =  ( i  - 
1 ) )
9291fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( k  =  i  ->  (
b `  ( k  -  1 ) )  =  ( b `  ( i  -  1 ) ) )
9392fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( k  =  i  ->  ( T `  ( b `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) ) )
9490, 93oveq12d 6302 . . . . 5  |-  ( k  =  i  ->  (
( k  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) ) )
95 oveq1 6291 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
k  .^  ( T `  M ) )  =  ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M )
) )
96 oveq1 6291 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( i  +  1 )  - 
1 ) )
9796fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
b `  ( k  -  1 ) )  =  ( b `  ( ( i  +  1 )  -  1 ) ) )
9897fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  ( T `  ( b `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( T `  (
b `  ( (
i  +  1 )  -  1 ) ) ) )
9995, 98oveq12d 6302 . . . . 5  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
( k  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( i  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
100 oveq1 6291 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
k  .^  ( T `  M ) )  =  ( 1  .^  ( T `  M )
) )
101 oveq1 6291 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
k  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
102101fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
b `  ( k  -  1 ) )  =  ( b `  ( 1  -  1 ) ) )
103102fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  ( T `  ( b `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( T `  (
b `  ( 1  -  1 ) ) ) )
104100, 103oveq12d 6302 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( k  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
1  -  1 ) ) ) ) )
105 oveq1 6291 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( s  +  1 )  ->  (
k  .^  ( T `  M ) )  =  ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M )
) )
106 oveq1 6291 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( s  +  1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( s  +  1 )  - 
1 ) )
107106fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( s  +  1 )  ->  (
b `  ( k  -  1 ) )  =  ( b `  ( ( s  +  1 )  -  1 ) ) )
108107fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( s  +  1 )  ->  ( T `  ( b `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( T `  (
b `  ( (
s  +  1 )  -  1 ) ) ) )
109105, 108oveq12d 6302 . . . . 5  |-  ( k  =  ( s  +  1 )  ->  (
( k  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( s  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
11026, 34, 6, 37, 89, 94, 99, 104, 109telgsumfz 16822 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( i  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
1  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( s  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )
11125, 110eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
1  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( s  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )
112111oveq1d 6299 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) ) ) ) ( +g  `  Y
) ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( 1  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
1  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( s  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) ( +g  `  Y
) ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ) )
11353, 10mulg1 15959 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
)  ->  ( 1 
.^  ( T `  M ) )  =  ( T `  M
) )
11450, 113syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
1  .^  ( T `  M ) )  =  ( T `  M
) )
115114adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( 1  .^  ( T `  M ) )  =  ( T `
 M ) )
116 1cnd 9612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  1  e.  CC )
117116subidd 9918 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( 1  -  1 )  =  0 )
118117fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( b `  ( 1  -  1 ) )  =  ( b `  0 ) )
119118fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  ( b `  (
1  -  1 ) ) )  =  ( T `  ( b `
 0 ) ) )
120115, 119oveq12d 6302 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( 1 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( 1  -  1 ) ) ) )  =  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) )
12170ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  s  e.  CC )
122121, 116pncand 9931 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( s  +  1 )  - 
1 )  =  s )
123122fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( b `  ( ( s  +  1 )  -  1 ) )  =  ( b `  s ) )
124123fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  ( b `  (
( s  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( T `  ( b `
 s ) ) )
125124oveq2d 6300 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( s  +  1 ) 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( ( s  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) ) )
126120, 125oveq12d 6302 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( 1  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( 1  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( ( s  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) ) ) )
127126oveq1d 6299 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( ( 1  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
1  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( s  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) ( +g  `  Y
) ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) ) ) ( +g  `  Y ) ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  s
) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ) )
128 rnggrp 17005 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
12931, 128syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Grp )
130129adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Grp )
131 nnnn0 10802 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  NN0 )
132 0elfz 11772 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... s
) )
133131, 132syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  NN  ->  0  e.  ( 0 ... s
) )
134133ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  0  e.  ( 0 ... s ) )
13563, 134ffvelrnd 6022 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( b ` 
0 )  e.  B
)
1368, 1, 2, 3, 4mat2pmatbas 19022 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  0 )  e.  B )  ->  ( T `  ( b `  0 ) )  e.  ( Base `  Y
) )
13756, 59, 135, 136syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  ( b `  0
) )  e.  (
Base `  Y )
)
13826, 5rngcl 17013 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( T `  ( b `  0
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) )  e.  (
Base `  Y )
)
13938, 51, 137, 138syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 0 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
140 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  s  e.  NN )
141140peano2nnd 10553 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( s  +  1 )  e.  NN )
14253, 10mulgnncl 15967 . . . . . 6  |-  ( ( (mulGrp `  Y )  e.  Mnd  /\  ( s  +  1 )  e.  NN  /\  ( T `
 M )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y
) )
14345, 141, 51, 142syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y ) )
144 nn0fz0 11773 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  NN0  <->  s  e.  ( 0 ... s ) )
145131, 144sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  ( 0 ... s
) )
146145ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  s  e.  ( 0 ... s ) )
14763, 146ffvelrnd 6022 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( b `  s )  e.  B
)
1488, 1, 2, 3, 4mat2pmatbas 19022 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  s )  e.  B )  ->  ( T `  ( b `  s ) )  e.  ( Base `  Y
) )
14956, 59, 147, 148syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  ( b `  s
) )  e.  (
Base `  Y )
)
15026, 5rngcl 17013 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  (
( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( T `  ( b `  s
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( (
( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
15138, 143, 149, 150syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( s  +  1 ) 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
15226, 11, 6, 7grpnpncan0 15944 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  ( ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 0 ) ) )  e.  ( Base `  Y )  /\  (
( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  s
) ) )  e.  ( Base `  Y
) ) )  -> 
( ( ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  s
) ) ) ) ( +g  `  Y
) ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) )  =  .0.  )
153130, 139, 151, 152syl12anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( ( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  s
) ) ) ) ( +g  `  Y
) ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) )  =  .0.  )
154127, 153eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( ( 1  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
1  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( s  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) ( +g  `  Y
) ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) )  =  .0.  )
15512, 112, 1543eqtrd 2512 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) ) ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    < clt 9628    - cmin 9805   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   .rcmulr 14556   0gc0g 14695    gsumg cgsu 14696   Mndcmnd 15726   Grpcgrp 15727   -gcsg 15730  .gcmg 15731   Abelcabl 16605  mulGrpcmgp 16943   Ringcrg 17000   CRingccrg 17001  Poly1cpl1 18015   Mat cmat 18704   matToPolyMat cmat2pmat 19000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-ofr 6525  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-hom 14579  df-cco 14580  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-prds 14703  df-pws 14705  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-subrg 17227  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-ascl 17762  df-psr 17804  df-mpl 17806  df-opsr 17808  df-psr1 18018  df-ply1 18020  df-dsmm 18558  df-frlm 18573  df-mamu 18681  df-mat 18705  df-mat2pmat 19003
This theorem is referenced by:  cayleyhamilton0  19185  cayleyhamiltonALT  19187
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