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Theorem cayhamlem1 19537
Description: Lemma 1 for cayleyhamilton 19561. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cayhamlem1.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
cayhamlem1.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
cayhamlem1.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cayhamlem1.y  |-  Y  =  ( N Mat  P )
cayhamlem1.r  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
cayhamlem1.s  |-  .-  =  ( -g `  Y )
cayhamlem1.0  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
cayhamlem1.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
cayhamlem1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
cayhamlem1.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Y )
)
Assertion
Ref Expression
cayhamlem1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) ) ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    R, n    n, Y    n, b    n, s    .0. , n    B, i   
i, G    i, M    i, N    R, i    T, i    .X. , i    .^ , i    i, s    i, b    T, n, i    i, Y    .X. , n    .- , n, i
Allowed substitution hints:    A( i, n, s, b)    B( s, b)    P( i, n, s, b)    R( s, b)    T( s, b)    .X. ( s, b)    .^ ( n, s, b)    G( n, s, b)    M( s, b)    .- ( s, b)    N( s, b)    Y( s, b)    .0. ( i, s, b)

Proof of Theorem cayhamlem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cayhamlem1.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 cayhamlem1.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 cayhamlem1.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 cayhamlem1.y . . 3  |-  Y  =  ( N Mat  P )
5 cayhamlem1.r . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
6 cayhamlem1.s . . 3  |-  .-  =  ( -g `  Y )
7 cayhamlem1.0 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
8 cayhamlem1.t . . 3  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
9 cayhamlem1.g . . 3  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
10 cayhamlem1.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Y )
)
11 eqid 2454 . . 3  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11chfacfpmmulgsum2 19536 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) ) ) )  =  ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) ( +g  `  Y ) ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  s
) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ) )
13 elfzelz 11691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  e.  ZZ )
1413zcnd 10966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  e.  CC )
15 pncan1 9979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  CC  ->  (
( i  +  1 )  -  1 )  =  i )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  (
( i  +  1 )  -  1 )  =  i )
1716eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  =  ( ( i  +  1 )  - 
1 ) )
1817adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  i  =  ( ( i  +  1 )  - 
1 ) )
1918fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
b `  i )  =  ( b `  ( ( i  +  1 )  -  1 ) ) )
2019fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( T `  ( b `  i ) )  =  ( T `  (
b `  ( (
i  +  1 )  -  1 ) ) ) )
2120oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) )  =  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( i  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
2221oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) )  =  ( ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( ( i  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) ) )
2322mpteq2dva 4525 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( i  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
2423oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) ) ) )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( i  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) ) ) )
2524adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( ( i  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) ) ) ) )
26 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
27 crngring 17407 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2827anim2i 567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
29283adant3 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
303, 4pmatring 19364 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
3129, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Ring )
32 ringabl 17426 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Abel )
3331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Abel )
3433adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Abel )
35 elnnuz 11118 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  NN  <->  s  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3635biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3736ad2antrl 725 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  s  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
3831adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Ring )
3938adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  Y  e.  Ring )
4028, 30syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e.  Ring )
41403adant3 1014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Ring )
42 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
4342ringmgp 17402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  Ring  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
4441, 43syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
4544adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
4645adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
47 elfznn 11717 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( s  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
4847adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
498, 1, 2, 3, 4mat2pmatbas 19397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
5027, 49syl3an2 1260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
5150adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  M )  e.  (
Base `  Y )
)
5251adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
5342, 26mgpbas 17345 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  (mulGrp `  Y
) )
5453, 10mulgnncl 16359 . . . . . . . 8  |-  ( ( (mulGrp `  Y )  e.  Mnd  /\  k  e.  NN  /\  ( T `
 M )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
k  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y
) )
5546, 48, 52, 54syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  (
k  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y
) )
56 simpl1 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  N  e.  Fin )
5756adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  N  e.  Fin )
58273ad2ant2 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
5958adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
6059adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  R  e.  Ring )
61 elmapi 7433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
6261adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
b : ( 0 ... s ) --> B )
6362adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
6463adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
65 nnz 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
66 peano2nn 10543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  NN )
6766nnzd 10964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  ZZ )
68 elfzm1b 11760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( s  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) )  <->  ( k  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( s  +  1 )  -  1 ) ) ) )
6965, 67, 68syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  s  e.  NN )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( s  +  1 ) )  <-> 
( k  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( s  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
70 nncn 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  CC )
71 pncan1 9979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( s  +  1 )  -  1 )  =  s )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  NN  ->  (
( s  +  1 )  -  1 )  =  s )
7372adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( s  +  1 )  -  1 )  =  s )
7473oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  s  e.  NN )  ->  ( 0 ... (
( s  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... s ) )
7574eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( k  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( s  +  1 )  -  1 ) )  <-> 
( k  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) ) )
7675biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( k  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( s  +  1 )  -  1 ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  ( 0 ... s ) ) )
7769, 76sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  s  e.  NN )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( s  +  1 ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  ( 0 ... s ) ) )
7877expcom 433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  NN  ->  (
k  e.  NN  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( s  +  1 ) )  -> 
( k  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) ) ) )
7978com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( s  +  1 ) )  ->  (
k  e.  NN  ->  ( s  e.  NN  ->  ( k  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) ) ) )
8047, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( s  +  1 ) )  ->  (
s  e.  NN  ->  ( k  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) ) )
8180com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  NN  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( s  +  1 ) )  -> 
( k  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) ) )
8281ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  ( 0 ... s
) ) )
8382imp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) )
8464, 83ffvelrnd 6008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  (
b `  ( k  -  1 ) )  e.  B )
858, 1, 2, 3, 4mat2pmatbas 19397 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  ( k  -  1 ) )  e.  B )  -> 
( T `  (
b `  ( k  -  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
8657, 60, 84, 85syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  ( T `  ( b `  ( k  -  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
8726, 5ringcl 17410 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  (
k  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( T `  ( b `  (
k  -  1 ) ) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( (
k  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( k  - 
1 ) ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
8839, 55, 86, 87syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  (
( k  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
k  -  1 ) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
8988ralrimiva 2868 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  A. k  e.  ( 1 ... ( s  +  1 ) ) ( ( k  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
k  -  1 ) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
90 oveq1 6277 . . . . . 6  |-  ( k  =  i  ->  (
k  .^  ( T `  M ) )  =  ( i  .^  ( T `  M )
) )
91 oveq1 6277 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  i  ->  (
k  -  1 )  =  ( i  - 
1 ) )
9291fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( k  =  i  ->  (
b `  ( k  -  1 ) )  =  ( b `  ( i  -  1 ) ) )
9392fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( k  =  i  ->  ( T `  ( b `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) ) )
9490, 93oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( k  =  i  ->  (
( k  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) ) )
95 oveq1 6277 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
k  .^  ( T `  M ) )  =  ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M )
) )
96 oveq1 6277 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( i  +  1 )  - 
1 ) )
9796fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
b `  ( k  -  1 ) )  =  ( b `  ( ( i  +  1 )  -  1 ) ) )
9897fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  ( T `  ( b `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( T `  (
b `  ( (
i  +  1 )  -  1 ) ) ) )
9995, 98oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
( k  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( i  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
100 oveq1 6277 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
k  .^  ( T `  M ) )  =  ( 1  .^  ( T `  M )
) )
101 oveq1 6277 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
k  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
102101fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
b `  ( k  -  1 ) )  =  ( b `  ( 1  -  1 ) ) )
103102fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  ( T `  ( b `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( T `  (
b `  ( 1  -  1 ) ) ) )
104100, 103oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( k  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
1  -  1 ) ) ) ) )
105 oveq1 6277 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( s  +  1 )  ->  (
k  .^  ( T `  M ) )  =  ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M )
) )
106 oveq1 6277 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( s  +  1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( s  +  1 )  - 
1 ) )
107106fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( s  +  1 )  ->  (
b `  ( k  -  1 ) )  =  ( b `  ( ( s  +  1 )  -  1 ) ) )
108107fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( s  +  1 )  ->  ( T `  ( b `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( T `  (
b `  ( (
s  +  1 )  -  1 ) ) ) )
109105, 108oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( k  =  ( s  +  1 )  ->  (
( k  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( s  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
11026, 34, 6, 37, 89, 94, 99, 104, 109telgsumfz 17217 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( i  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
1  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( s  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )
11125, 110eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
1  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( s  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )
112111oveq1d 6285 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) ) ) ) ( +g  `  Y
) ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( 1  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
1  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( s  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) ( +g  `  Y
) ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ) )
11353, 10mulg1 16351 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
)  ->  ( 1 
.^  ( T `  M ) )  =  ( T `  M
) )
11450, 113syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
1  .^  ( T `  M ) )  =  ( T `  M
) )
115114adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( 1  .^  ( T `  M ) )  =  ( T `
 M ) )
116 1cnd 9601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  1  e.  CC )
117116subidd 9910 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( 1  -  1 )  =  0 )
118117fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( b `  ( 1  -  1 ) )  =  ( b `  0 ) )
119118fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  ( b `  (
1  -  1 ) ) )  =  ( T `  ( b `
 0 ) ) )
120115, 119oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( 1 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( 1  -  1 ) ) ) )  =  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) )
12170ad2antrl 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  s  e.  CC )
122121, 116pncand 9923 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( s  +  1 )  - 
1 )  =  s )
123122fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( b `  ( ( s  +  1 )  -  1 ) )  =  ( b `  s ) )
124123fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  ( b `  (
( s  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( T `  ( b `
 s ) ) )
125124oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( s  +  1 ) 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( ( s  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) ) )
126120, 125oveq12d 6288 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( 1  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( 1  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( ( s  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) ) ) )
127126oveq1d 6285 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( ( 1  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
1  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( s  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) ( +g  `  Y
) ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) ) ) ( +g  `  Y ) ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  s
) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ) )
128 ringgrp 17401 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
12931, 128syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Grp )
130129adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Grp )
131 nnnn0 10798 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  NN0 )
132 0elfz 11777 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... s
) )
133131, 132syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  NN  ->  0  e.  ( 0 ... s
) )
134133ad2antrl 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  0  e.  ( 0 ... s ) )
13563, 134ffvelrnd 6008 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( b ` 
0 )  e.  B
)
1368, 1, 2, 3, 4mat2pmatbas 19397 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  0 )  e.  B )  ->  ( T `  ( b `  0 ) )  e.  ( Base `  Y
) )
13756, 59, 135, 136syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  ( b `  0
) )  e.  (
Base `  Y )
)
13826, 5ringcl 17410 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( T `  ( b `  0
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) )  e.  (
Base `  Y )
)
13938, 51, 137, 138syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 0 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
140 simprl 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  s  e.  NN )
141140peano2nnd 10548 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( s  +  1 )  e.  NN )
14253, 10mulgnncl 16359 . . . . . 6  |-  ( ( (mulGrp `  Y )  e.  Mnd  /\  ( s  +  1 )  e.  NN  /\  ( T `
 M )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y
) )
14345, 141, 51, 142syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y ) )
144 nn0fz0 11778 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  NN0  <->  s  e.  ( 0 ... s ) )
145131, 144sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  ( 0 ... s
) )
146145ad2antrl 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  s  e.  ( 0 ... s ) )
14763, 146ffvelrnd 6008 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( b `  s )  e.  B
)
1488, 1, 2, 3, 4mat2pmatbas 19397 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  s )  e.  B )  ->  ( T `  ( b `  s ) )  e.  ( Base `  Y
) )
14956, 59, 147, 148syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  ( b `  s
) )  e.  (
Base `  Y )
)
15026, 5ringcl 17410 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  (
( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( T `  ( b `  s
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( (
( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
15138, 143, 149, 150syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( s  +  1 ) 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
15226, 11, 6, 7grpnpncan0 16336 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  ( ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 0 ) ) )  e.  ( Base `  Y )  /\  (
( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  s
) ) )  e.  ( Base `  Y
) ) )  -> 
( ( ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  s
) ) ) ) ( +g  `  Y
) ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) )  =  .0.  )
153130, 139, 151, 152syl12anc 1224 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( ( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  s
) ) ) ) ( +g  `  Y
) ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) )  =  .0.  )
154127, 153eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( ( 1  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
1  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
( s  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) ( +g  `  Y
) ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) )  =  .0.  )
15512, 112, 1543eqtrd 2499 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) ) ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   ifcif 3929   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   Fincfn 7509   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    - cmin 9796   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675   Basecbs 14719   +g cplusg 14787   .rcmulr 14788   0gc0g 14932    gsumg cgsu 14933   Mndcmnd 16121   Grpcgrp 16255   -gcsg 16257  .gcmg 16258   Abelcabl 17001  mulGrpcmgp 17339   Ringcrg 17396   CRingccrg 17397  Poly1cpl1 18414   Mat cmat 19079   matToPolyMat cmat2pmat 19375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-hash 12391  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-hom 14811  df-cco 14812  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-prds 14940  df-pws 14942  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-mulg 16262  df-subg 16400  df-ghm 16467  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-cring 17399  df-subrg 17625  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-sra 18016  df-rgmod 18017  df-ascl 18161  df-psr 18203  df-mpl 18205  df-opsr 18207  df-psr1 18417  df-ply1 18419  df-dsmm 18939  df-frlm 18954  df-mamu 19056  df-mat 19080  df-mat2pmat 19378
This theorem is referenced by:  cayleyhamilton0  19560  cayleyhamiltonALT  19562
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