Theorem caussi 9232

Description: Cauchy sequence on a metric subspace.

Assertion

Ref	Expression
caussi	|- ((D e. Met /\ F e. (Cau` (D |` (Y X. Y)))) -> F e. (Cau` D))

Proof of Theorem caussi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 2634	. . . . . . 7 |- CC C_ CC
2		resss 4237	. . . . . . . . 9 |- (D |` (Y X. Y)) C_ D
3		dmss 4156	. . . . . . . . 9 |- ((D |` (Y X. Y)) C_ D -> dom ( D |` (Y X. Y)) C_ dom D)
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- dom ( D |` (Y X. Y)) C_ dom D
5		dmss 4156	. . . . . . . 8 |- (dom ( D |` (Y X. Y)) C_ dom D -> dom dom ( D |` (Y X. Y)) C_ dom dom D)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- dom dom ( D |` (Y X. Y)) C_ dom dom D
7		xpss12 4089	. . . . . . 7 |- ((CC C_ CC /\ dom dom ( D |` (Y X. Y)) C_ dom dom D) -> (CC X. dom dom ( D |` (Y X. Y))) C_ (CC X. dom dom D))
8	1, 6, 7	mp2an 761	. . . . . 6 |- (CC X. dom dom ( D |` (Y X. Y))) C_ (CC X. dom dom D)
9		sstr 2625	. . . . . 6 |- ((F C_ (CC X. dom dom ( D |` (Y X. Y))) /\ (CC X. dom dom ( D |` (Y X. Y))) C_ (CC X. dom dom D)) -> F C_ (CC X. dom dom D))
10	8, 9	mpan2 760	. . . . 5 |- (F C_ (CC X. dom dom ( D |` (Y X. Y))) -> F C_ (CC X. dom dom D))
11	10	a1i 8	. . . 4 |- (D e. Met -> (F C_ (CC X. dom dom ( D |` (Y X. Y))) -> F C_ (CC X. dom dom D)))
12	6	sseli 2617	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) -> (F` j) e. dom dom D)
13	12	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . 11 |- (((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x) -> (F` j) e. dom dom D)
14	13	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (D e. Met -> (((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x) -> (F` j) e. dom dom D))
15	6	sseli 2617	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) -> (F` k) e. dom dom D)
16	15	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . 11 |- (((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x) -> (F` k) e. dom dom D)
17	16	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (D e. Met -> (((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x) -> (F` k) e. dom dom D))
18		oprvres 4963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F` j) e. Y /\ (F` k) e. Y) -> ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) = ((F` j)D(F` k)))
19		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- dom dom D = dom dom D
20	19	metssba 9086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (D e. Met -> (dom dom D i^i Y) = dom dom ( D |` (Y X. Y)))
21		inss2 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (dom dom D i^i Y) C_ Y
22	21	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (D e. Met -> (dom dom D i^i Y) C_ Y)
23	20, 22	eqsstr3d 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (D e. Met -> dom dom ( D |` (Y X. Y)) C_ Y)
24	23	sseld 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (D e. Met -> ((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) -> (F` j) e. Y))
25	24	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((D e. Met /\ (F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y))) -> (F` j) e. Y)
26	23	sseld 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (D e. Met -> ((F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) -> (F` k) e. Y))
27	26	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((D e. Met /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y))) -> (F` k) e. Y)
28	18, 25, 27	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((D e. Met /\ (F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y))) /\ (D e. Met /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)))) -> ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) = ((F` j)D(F` k)))
29	28	anandis 570	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((D e. Met /\ ((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)))) -> ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) = ((F` j)D(F` k)))
30	29	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((D e. Met /\ ((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)))) -> (((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x <-> ((F` j)D(F` k)) < x))
31	30	biimpd 170	. . . . . . . . . . . 12 |- ((D e. Met /\ ((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)))) -> (((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x -> ((F` j)D(F` k)) < x))
32	31	exp32 408	. . . . . . . . . . 11 |- (D e. Met -> ((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) -> ((F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) -> (((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x -> ((F` j)D(F` k)) < x))))
33	32	3impd 1082	. . . . . . . . . 10 |- (D e. Met -> (((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x) -> ((F` j)D(F` k)) < x))
34	14, 17, 33	3jcad 1051	. . . . . . . . 9 |- (D e. Met -> (((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x) -> ((F` j) e. dom dom D /\ (F` k) e. dom dom D /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))
35	34	imim2d 28	. . . . . . . 8 |- (D e. Met -> ((j <_ k -> ((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x)) -> (j <_ k -> ((F` j) e. dom dom D /\ (F` k) e. dom dom D /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
36	35	ralimdv 2172	. . . . . . 7 |- (D e. Met -> (A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x)) -> A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. dom dom D /\ (F` k) e. dom dom D /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
37	36	reximdv 2202	. . . . . 6 |- (D e. Met -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. dom dom D /\ (F` k) e. dom dom D /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
38	37	imim2d 28	. . . . 5 |- (D e. Met -> ((0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x))) -> (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. dom dom D /\ (F` k) e. dom dom D /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))))
39	38	ralimdv 2172	. . . 4 |- (D e. Met -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x))) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. dom dom D /\ (F` k) e. dom dom D /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))))
40	11, 39	anim12d 617	. . 3 |- (D e. Met -> ((F C_ (CC X. dom dom ( D |` (Y X. Y))) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x)))) -> (F C_ (CC X. dom dom D) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. dom dom D /\ (F` k) e. dom dom D /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
41		metres 9100	. . . 4 |- (D e. Met -> (D |` (Y X. Y)) e. Met)
42		eqid 1884	. . . . 5 |- dom dom ( D |` (Y X. Y)) = dom dom ( D |` (Y X. Y))
43		1z 7368	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
44		nnuz 7608	. . . . 5 |- NN = (ZZ>=` 1)
45	42, 43, 44	iscau3 9216	. . . 4 |- ((D |` (Y X. Y)) e. Met -> (F e. (Cau` (D |` (Y X. Y))) <-> (F C_ (CC X. dom dom ( D |` (Y X. Y))) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x))))))
46	41, 45	syl 12	. . 3 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` (D |` (Y X. Y))) <-> (F C_ (CC X. dom dom ( D |` (Y X. Y))) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ (F` k) e. dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x))))))
47	19, 43, 44	iscau3 9216	. . 3 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) <-> (F C_ (CC X. dom dom D) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. dom dom D /\ (F` k) e. dom dom D /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
48	40, 46, 47	3imtr4d 602	. 2 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` (D |` (Y X. Y))) -> F e. (Cau` D)))
49	48	imp 377	1 |- ((D e. Met /\ F e. (Cau` (D |` (Y X. Y)))) -> F e. (Cau` D))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  Metcme 9066  Caucca 9198

This theorem is referenced by:  cmsss 9275

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-z 7345  df-uz 7587  df-met 9070  df-cau 9201

Copyright terms: Public domain