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Theorem caussi 22345
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
caussi  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  C_  ( Cau `  D ) )

Proof of Theorem caussi
Dummy variables  x  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3643 . . . . . . . . 9  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
2 xpss2 4949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  X  ->  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( CC  X.  X ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( CC  X.  X )
4 sstr 3426 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y
) )  /\  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( CC  X.  X ) )  ->  f  C_  ( CC  X.  X ) )
53, 4mpan2 685 . . . . . . 7  |-  ( f 
C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  ->  f  C_  ( CC  X.  X
) )
65anim2i 579 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )  ->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  X ) ) )
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )  ->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  X
) ) ) )
8 elfvdm 5905 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
9 inex1g 4539 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  dom  *Met  ->  ( X  i^i  Y
)  e.  _V )
108, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  e. 
_V )
11 cnex 9638 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
12 elpmg 7505 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  -> 
( f  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )  <->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
1310, 11, 12sylancl 675 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
f  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
^pm  CC )  <->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
14 elpmg 7505 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  dom  *Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC ) 
<->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
158, 11, 14sylancl 675 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
f  e.  ( X 
^pm  CC )  <->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
167, 13, 153imtr4d 276 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
f  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
^pm  CC )  ->  f  e.  ( X  ^pm  CC ) ) )
17 uzid 11197 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  ( ZZ>= `  y )
)
1817adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  (
ZZ>= `  y ) )
19 simp2 1031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  -> 
( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y ) )
2019ralimi 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  ->  A. z  e.  ( ZZ>=
`  y ) ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y ) )
21 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  (
f `  z )  =  ( f `  y ) )
2221eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  (
( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( f `  y )  e.  ( X  i^i  Y ) ) )
2322rspcva 3134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  y )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( f `
 z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )
2418, 20, 23syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x ) )  ->  ( f `  y )  e.  ( X  i^i  Y ) )
25 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
26 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )
2725, 26sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  y )  e.  Y )
2825a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  Y )
2928sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  z )  e.  Y )
30 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  y )  e.  Y )
3129, 30ovresd 6456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( f `  z
) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  =  ( ( f `
 z ) D ( f `  y
) ) )
3231breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x  <->  ( (
f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) )
3332biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x  ->  (
( f `  z
) D ( f `
 y ) )  <  x ) )
3433imdistanda 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  (
( ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  ( ( f `
 z )  e.  ( X  i^i  Y
)  /\  ( (
f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) ) )
351a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  X )
3635sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  (
( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  -> 
( f `  z
)  e.  X ) )
3736anim1d 574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  (
( ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) D ( f `  y
) )  <  x
)  ->  ( (
f `  z )  e.  X  /\  (
( f `  z
) D ( f `
 y ) )  <  x ) ) )
3834, 37syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  (
( ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  ( ( f `
 z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) ) )
3927, 38syldan 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  ( ( f `
 z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) ) )
4039anim2d 575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( z  e.  dom  f  /\  ( ( f `
 z )  e.  ( X  i^i  Y
)  /\  ( (
f `  z )
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y
) )  <  x
) )  ->  (
z  e.  dom  f  /\  ( ( f `  z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) ) )
41 3anass 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  <->  ( z  e.  dom  f  /\  (
( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x ) ) )
42 3anass 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x )  <-> 
( z  e.  dom  f  /\  ( ( f `
 z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) ) )
4340, 41, 423imtr4g 278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  ( z  e. 
dom  f  /\  (
f `  z )  e.  X  /\  (
( f `  z
) D ( f `
 y ) )  <  x ) ) )
4443ralimdv 2806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>=
`  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  ->  A. z  e.  ( ZZ>=
`  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
4544impancom 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x ) )  ->  ( (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
)  ->  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
4624, 45mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x ) )  ->  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) )
4746ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  A. z  e.  (
ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
4847reximdva 2858 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  ->  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
4948ralimdv 2806 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
5016, 49anim12d 572 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( f  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x ) )  ->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) ) )
51 xmetres 21457 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
52 iscau2 22325 . . . 4  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( f  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <-> 
( f  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x ) ) ) )
5351, 52syl 17 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
f  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  ( f  e.  ( ( X  i^i  Y )  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x ) ) ) )
54 iscau2 22325 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
f  e.  ( Cau `  D )  <->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) ) )
5550, 53, 543imtr4d 276 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
f  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  f  e.  ( Cau `  D ) ) )
5655ssrdv 3424 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  C_  ( Cau `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    X. cxp 4837   dom cdm 4839    |` cres 4841   Fun wfun 5583   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^pm cpm 7491   CCcc 9555    < clt 9693   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   *Metcxmt 19032   Caucca 22301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-neg 9883  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-bl 19042  df-cau 22304
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