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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > caussi | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.) |
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caussi |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | inss1 3651 |
. . . . . . . . 9
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2 | xpss2 4943 |
. . . . . . . . 9
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3 | 1, 2 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
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4 | sstr 3439 |
. . . . . . . 8
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5 | 3, 4 | mpan2 676 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | anim2i 572 |
. . . . . 6
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7 | 6 | a1i 11 |
. . . . 5
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8 | elfvdm 5889 |
. . . . . . 7
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9 | inex1g 4545 |
. . . . . . 7
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10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . . . 6
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11 | cnex 9617 |
. . . . . 6
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12 | elpmg 7484 |
. . . . . 6
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13 | 10, 11, 12 | sylancl 667 |
. . . . 5
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14 | elpmg 7484 |
. . . . . 6
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15 | 8, 11, 14 | sylancl 667 |
. . . . 5
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16 | 7, 13, 15 | 3imtr4d 272 |
. . . 4
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17 | uzid 11170 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 17 | adantl 468 |
. . . . . . . . 9
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19 | simp2 1008 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | ralimi 2780 |
. . . . . . . . 9
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21 | fveq2 5863 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 21 | eleq1d 2512 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 22 | rspcva 3147 |
. . . . . . . . 9
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24 | 18, 20, 23 | syl2an 480 |
. . . . . . . 8
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25 | inss2 3652 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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26 | simpr 463 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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27 | 25, 26 | sseldi 3429 |
. . . . . . . . . . . . 13
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28 | 25 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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29 | 28 | sselda 3431 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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30 | simplr 761 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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31 | 29, 30 | ovresd 6434 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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32 | 31 | breq1d 4411 |
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33 | 32 | biimpd 211 |
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34 | 33 | imdistanda 698 |
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35 | 1 | a1i 11 |
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36 | 35 | sseld 3430 |
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37 | 36 | anim1d 567 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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38 | 34, 37 | syld 45 |
. . . . . . . . . . . . 13
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39 | 27, 38 | syldan 473 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 39 | anim2d 568 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 3anass 988 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 3anass 988 |
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43 | 40, 41, 42 | 3imtr4g 274 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 43 | ralimdv 2797 |
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45 | 44 | impancom 442 |
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46 | 24, 45 | mpd 15 |
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49 | 48 | ralimdv 2797 |
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50 | 16, 49 | anim12d 566 |
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51 | xmetres 21372 |
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55 | 50, 53, 54 | 3imtr4d 272 |
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56 | 55 | ssrdv 3437 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1668 ax-4 1681 ax-5 1757 ax-6 1804 ax-7 1850 ax-8 1888 ax-9 1895 ax-10 1914 ax-11 1919 ax-12 1932 ax-13 2090 ax-ext 2430 ax-sep 4524 ax-nul 4533 ax-pow 4580 ax-pr 4638 ax-un 6580 ax-cnex 9592 ax-resscn 9593 ax-1cn 9594 ax-icn 9595 ax-addcl 9596 ax-addrcl 9597 ax-mulcl 9598 ax-mulrcl 9599 ax-mulcom 9600 ax-addass 9601 ax-mulass 9602 ax-distr 9603 ax-i2m1 9604 ax-1ne0 9605 ax-1rid 9606 ax-rnegex 9607 ax-rrecex 9608 ax-cnre 9609 ax-pre-lttri 9610 ax-pre-lttrn 9611 ax-pre-ltadd 9612 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 985 df-3an 986 df-tru 1446 df-ex 1663 df-nf 1667 df-sb 1797 df-eu 2302 df-mo 2303 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2580 df-ne 2623 df-nel 2624 df-ral 2741 df-rex 2742 df-rab 2745 df-v 3046 df-sbc 3267 df-csb 3363 df-dif 3406 df-un 3408 df-in 3410 df-ss 3417 df-nul 3731 df-if 3881 df-pw 3952 df-sn 3968 df-pr 3970 df-op 3974 df-uni 4198 df-iun 4279 df-br 4402 df-opab 4461 df-mpt 4462 df-id 4748 df-po 4754 df-so 4755 df-xp 4839 df-rel 4840 df-cnv 4841 df-co 4842 df-dm 4843 df-rn 4844 df-res 4845 df-ima 4846 df-iota 5545 df-fun 5583 df-fn 5584 df-f 5585 df-f1 5586 df-fo 5587 df-f1o 5588 df-fv 5589 df-ov 6291 df-oprab 6292 df-mpt2 6293 df-1st 6790 df-2nd 6791 df-er 7360 df-map 7471 df-pm 7472 df-en 7567 df-dom 7568 df-sdom 7569 df-pnf 9674 df-mnf 9675 df-xr 9676 df-ltxr 9677 df-le 9678 df-neg 9860 df-z 10935 df-uz 11157 df-rp 11300 df-xadd 11407 df-psmet 18955 df-xmet 18956 df-bl 18958 df-cau 22219 |
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