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Theorem caussi 20650
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
caussi  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  C_  ( Cau `  D ) )

Proof of Theorem caussi
Dummy variables  x  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3558 . . . . . . . . 9  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
2 xpss2 4936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  X  ->  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( CC  X.  X ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( CC  X.  X )
4 sstr 3352 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y
) )  /\  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( CC  X.  X ) )  ->  f  C_  ( CC  X.  X ) )
53, 4mpan2 664 . . . . . . 7  |-  ( f 
C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  ->  f  C_  ( CC  X.  X
) )
65anim2i 564 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )  ->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  X ) ) )
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )  ->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  X
) ) ) )
8 elfvdm 5704 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
9 inex1g 4423 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  dom  *Met  ->  ( X  i^i  Y
)  e.  _V )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  e. 
_V )
11 cnex 9351 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
12 elpmg 7216 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  -> 
( f  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )  <->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
1310, 11, 12sylancl 655 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
f  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
^pm  CC )  <->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
14 elpmg 7216 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  dom  *Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC ) 
<->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
158, 11, 14sylancl 655 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
f  e.  ( X 
^pm  CC )  <->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
167, 13, 153imtr4d 268 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
f  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
^pm  CC )  ->  f  e.  ( X  ^pm  CC ) ) )
17 uzid 10863 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  ( ZZ>= `  y )
)
1817adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  (
ZZ>= `  y ) )
19 simp2 982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  -> 
( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y ) )
2019ralimi 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  ->  A. z  e.  ( ZZ>=
`  y ) ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y ) )
21 fveq2 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  (
f `  z )  =  ( f `  y ) )
2221eleq1d 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  (
( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( f `  y )  e.  ( X  i^i  Y ) ) )
2322rspcva 3060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  y )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( f `
 z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )
2418, 20, 23syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x ) )  ->  ( f `  y )  e.  ( X  i^i  Y ) )
25 inss2 3559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
26 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )
2725, 26sseldi 3342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  y )  e.  Y )
2825a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  Y )
2928sselda 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  z )  e.  Y )
30 simplr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  y )  e.  Y )
3129, 30ovresd 6220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( f `  z
) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  =  ( ( f `
 z ) D ( f `  y
) ) )
3231breq1d 4290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x  <->  ( (
f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) )
3332biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x  ->  (
( f `  z
) D ( f `
 y ) )  <  x ) )
3433imdistanda 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  (
( ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  ( ( f `
 z )  e.  ( X  i^i  Y
)  /\  ( (
f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) ) )
351a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  X )
3635sseld 3343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  (
( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  -> 
( f `  z
)  e.  X ) )
3736anim1d 559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  (
( ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) D ( f `  y
) )  <  x
)  ->  ( (
f `  z )  e.  X  /\  (
( f `  z
) D ( f `
 y ) )  <  x ) ) )
3834, 37syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  (
( ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  ( ( f `
 z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) ) )
3927, 38syldan 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  ( ( f `
 z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) ) )
4039anim2d 560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( z  e.  dom  f  /\  ( ( f `
 z )  e.  ( X  i^i  Y
)  /\  ( (
f `  z )
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y
) )  <  x
) )  ->  (
z  e.  dom  f  /\  ( ( f `  z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) ) )
41 3anass 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  <->  ( z  e.  dom  f  /\  (
( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x ) ) )
42 3anass 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x )  <-> 
( z  e.  dom  f  /\  ( ( f `
 z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) ) )
4340, 41, 423imtr4g 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  ( z  e. 
dom  f  /\  (
f `  z )  e.  X  /\  (
( f `  z
) D ( f `
 y ) )  <  x ) ) )
4443ralimdv 2785 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>=
`  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  ->  A. z  e.  ( ZZ>=
`  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
4544impancom 438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x ) )  ->  ( (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
)  ->  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
4624, 45mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x ) )  ->  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) )
4746ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  A. z  e.  (
ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
4847reximdva 2818 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  ->  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
4948ralimdv 2785 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
5016, 49anim12d 558 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( f  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x ) )  ->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) ) )
51 xmetres 19781 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
52 iscau2 20630 . . . 4  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( f  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <-> 
( f  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x ) ) ) )
5351, 52syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
f  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  ( f  e.  ( ( X  i^i  Y )  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x ) ) ) )
54 iscau2 20630 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
f  e.  ( Cau `  D )  <->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) ) )
5550, 53, 543imtr4d 268 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
f  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  f  e.  ( Cau `  D ) ) )
5655ssrdv 3350 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  C_  ( Cau `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962    i^i cin 3315    C_ wss 3316   class class class wbr 4280    X. cxp 4825   dom cdm 4827    |` cres 4829   Fun wfun 5400   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    ^pm cpm 7203   CCcc 9268    < clt 9406   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   RR+crp 10979   *Metcxmt 17645   Caucca 20606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-neg 9586  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-xadd 11078  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-bl 17656  df-cau 20609
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