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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > caussi | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.) |
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caussi |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | inss1 3643 |
. . . . . . . . 9
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2 | xpss2 4949 |
. . . . . . . . 9
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3 | 1, 2 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
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4 | sstr 3426 |
. . . . . . . 8
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5 | 3, 4 | mpan2 685 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | anim2i 579 |
. . . . . 6
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7 | 6 | a1i 11 |
. . . . 5
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8 | elfvdm 5905 |
. . . . . . 7
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9 | inex1g 4539 |
. . . . . . 7
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10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . . . 6
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11 | cnex 9638 |
. . . . . 6
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12 | elpmg 7505 |
. . . . . 6
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13 | 10, 11, 12 | sylancl 675 |
. . . . 5
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14 | elpmg 7505 |
. . . . . 6
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15 | 8, 11, 14 | sylancl 675 |
. . . . 5
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16 | 7, 13, 15 | 3imtr4d 276 |
. . . 4
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17 | uzid 11197 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 17 | adantl 473 |
. . . . . . . . 9
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19 | simp2 1031 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | ralimi 2796 |
. . . . . . . . 9
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21 | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 21 | eleq1d 2533 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 22 | rspcva 3134 |
. . . . . . . . 9
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24 | 18, 20, 23 | syl2an 485 |
. . . . . . . 8
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25 | inss2 3644 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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26 | simpr 468 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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27 | 25, 26 | sseldi 3416 |
. . . . . . . . . . . . 13
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28 | 25 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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29 | 28 | sselda 3418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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30 | simplr 770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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31 | 29, 30 | ovresd 6456 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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32 | 31 | breq1d 4405 |
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33 | 32 | biimpd 212 |
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34 | 33 | imdistanda 707 |
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35 | 1 | a1i 11 |
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36 | 35 | sseld 3417 |
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37 | 36 | anim1d 574 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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38 | 34, 37 | syld 44 |
. . . . . . . . . . . . 13
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39 | 27, 38 | syldan 478 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 39 | anim2d 575 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 3anass 1011 |
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42 | 3anass 1011 |
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43 | 40, 41, 42 | 3imtr4g 278 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 43 | ralimdv 2806 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-op 3966 df-uni 4191 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-er 7381 df-map 7492 df-pm 7493 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-neg 9883 df-z 10962 df-uz 11183 df-rp 11326 df-xadd 11433 df-psmet 19039 df-xmet 19040 df-bl 19042 df-cau 22304 |
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