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Theorem causs 20831
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
causs  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )

Proof of Theorem causs
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caufpm 20815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
2 elfvdm 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
3 cnex 9384 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
4 elpmg 7249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  dom  *Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC ) 
<->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
52, 3, 4sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
65biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) )
71, 6syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) )
87simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  F  C_  ( CC  X.  X ) )
9 rnss 5089 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( CC  X.  X )  ->  ran  F 
C_  ran  ( CC  X.  X ) )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ran  F  C_  ran  ( CC  X.  X
) )
11 rnxpss 5291 . . . . . 6  |-  ran  ( CC  X.  X )  C_  X
1210, 11syl6ss 3389 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ran  F  C_  X )
1312adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F : NN
--> Y )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  ran  F 
C_  X )
14 frn 5586 . . . . 5  |-  ( F : NN --> Y  ->  ran  F  C_  Y )
1514ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F : NN
--> Y )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  ran  F 
C_  Y )
1613, 15ssind 3595 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F : NN
--> Y )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  ran  F 
C_  ( X  i^i  Y ) )
1716ex 434 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  ->  ran  F 
C_  ( X  i^i  Y ) ) )
18 xmetres 19961 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
19 caufpm 20815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y
) )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( ( X  i^i  Y )  ^pm  CC )
)
2018, 19sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )
)
21 inex1g 4456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  dom  *Met  ->  ( X  i^i  Y
)  e.  _V )
222, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  e. 
_V )
23 elpmg 7249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  -> 
( F  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
2422, 3, 23sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  ( ( X  i^i  Y )  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC 
X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
2524biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )
)  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) )
2620, 25syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC 
X.  ( X  i^i  Y ) ) ) )
2726simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )
28 rnss 5089 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  ->  ran  F  C_  ran  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )
2927, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ran  F  C_  ran  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )
30 rnxpss 5291 . . . . 5  |-  ran  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( X  i^i  Y )
3129, 30syl6ss 3389 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ran  F  C_  ( X  i^i  Y ) )
3231ex 434 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ran  F  C_  ( X  i^i  Y ) ) )
3332adantr 465 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ran  F  C_  ( X  i^i  Y ) ) )
34 ffn 5580 . . . 4  |-  ( F : NN --> Y  ->  F  Fn  NN )
35 df-f 5443 . . . . 5  |-  ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  <->  ( F  Fn  NN  /\  ran  F  C_  ( X  i^i  Y
) ) )
3635simplbi2 625 . . . 4  |-  ( F  Fn  NN  ->  ( ran  F  C_  ( X  i^i  Y )  ->  F : NN --> ( X  i^i  Y ) ) )
3734, 36syl 16 . . 3  |-  ( F : NN --> Y  -> 
( ran  F  C_  ( X  i^i  Y )  ->  F : NN --> ( X  i^i  Y ) ) )
38 inss2 3592 . . . . . . . . 9  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  Y )
40 fss 5588 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  /\  ( X  i^i  Y ) 
C_  Y )  ->  F : NN --> Y )
4139, 40sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  ->  F : NN --> Y )
4241ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  F : NN
--> Y )
43 ffvelrn 5862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  ->  ( F `  y
)  e.  Y )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( F `  y )  e.  Y
)
45 eluznn 10946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y ) )  -> 
z  e.  NN )
46 ffvelrn 5862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  z  e.  NN )  ->  ( F `  z
)  e.  Y )
4745, 46sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  Y
)
4847anassrs 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( F `  z )  e.  Y
)
4944, 48ovresd 6252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( ( F `
 y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  y ) D ( F `  z ) ) )
5049breq1d 4323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( ( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( F `  z
) )  <  x  <->  ( ( F `  y
) D ( F `
 z ) )  <  x ) )
5150ralbidva 2752 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x  <->  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
5251rexbidva 2753 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> Y  -> 
( E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x  <->  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
5352ralbidv 2756 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> Y  -> 
( A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( F `  z
) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
5442, 53syl 16 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
55 nnuz 10917 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5618adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
57 1zzd 10698 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  1  e.  ZZ )
58 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F : NN
--> ( X  i^i  Y
) )  /\  z  e.  NN )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
59 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F : NN
--> ( X  i^i  Y
) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
60 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  F : NN
--> ( X  i^i  Y
) )
6155, 56, 57, 58, 59, 60iscauf 20813 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x ) )
62 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
63 id 22 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  ->  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )
64 inss1 3591 . . . . . . . 8  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
6564a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  X )
66 fss 5588 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  /\  ( X  i^i  Y ) 
C_  X )  ->  F : NN --> X )
6763, 65, 66syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  F : NN
--> X )
6855, 62, 57, 58, 59, 67iscauf 20813 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  < 
x ) )
6954, 61, 683bitr4rd 286 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
7069ex 434 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  -> 
( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) ) )
7137, 70sylan9r 658 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( ran  F  C_  ( X  i^i  Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ) )
7217, 33, 71pm5.21ndd 354 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   class class class wbr 4313    X. cxp 4859   dom cdm 4861   ran crn 4862    |` cres 4863   Fun wfun 5433    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    ^pm cpm 7236   CCcc 9301   1c1 9304    < clt 9439   NNcn 10343   ZZ>=cuz 10882   RR+crp 11012   *Metcxmt 17823   Caucca 20786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-bl 17834  df-cau 20789
This theorem is referenced by:  minvecolem4a  24300  hhsscms  24702
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