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Theorem causs 22317
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
causs  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )

Proof of Theorem causs
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caufpm 22301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
2 elfvdm 5914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
3 cnex 9646 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
4 elpmg 7513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  dom  *Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC ) 
<->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
52, 3, 4sylancl 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
65biimpa 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) )
71, 6syldan 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) )
87simprd 469 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  F  C_  ( CC  X.  X ) )
9 rnss 5082 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( CC  X.  X )  ->  ran  F 
C_  ran  ( CC  X.  X ) )
108, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ran  F  C_  ran  ( CC  X.  X
) )
11 rnxpss 5288 . . . . . 6  |-  ran  ( CC  X.  X )  C_  X
1210, 11syl6ss 3456 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ran  F  C_  X )
1312adantlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F : NN
--> Y )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  ran  F 
C_  X )
14 frn 5758 . . . . 5  |-  ( F : NN --> Y  ->  ran  F  C_  Y )
1514ad2antlr 738 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F : NN
--> Y )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  ran  F 
C_  Y )
1613, 15ssind 3668 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F : NN
--> Y )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  ran  F 
C_  ( X  i^i  Y ) )
1716ex 440 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  ->  ran  F 
C_  ( X  i^i  Y ) ) )
18 xmetres 21428 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
19 caufpm 22301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y
) )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( ( X  i^i  Y )  ^pm  CC )
)
2018, 19sylan 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )
)
21 inex1g 4560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  dom  *Met  ->  ( X  i^i  Y
)  e.  _V )
222, 21syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  e. 
_V )
23 elpmg 7513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  -> 
( F  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
2422, 3, 23sylancl 673 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  ( ( X  i^i  Y )  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC 
X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
2524biimpa 491 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )
)  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) )
2620, 25syldan 477 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC 
X.  ( X  i^i  Y ) ) ) )
2726simprd 469 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )
28 rnss 5082 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  ->  ran  F  C_  ran  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )
2927, 28syl 17 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ran  F  C_  ran  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )
30 rnxpss 5288 . . . . 5  |-  ran  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( X  i^i  Y )
3129, 30syl6ss 3456 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ran  F  C_  ( X  i^i  Y ) )
3231ex 440 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ran  F  C_  ( X  i^i  Y ) ) )
3332adantr 471 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ran  F  C_  ( X  i^i  Y ) ) )
34 ffn 5751 . . . 4  |-  ( F : NN --> Y  ->  F  Fn  NN )
35 df-f 5605 . . . . 5  |-  ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  <->  ( F  Fn  NN  /\  ran  F  C_  ( X  i^i  Y
) ) )
3635simplbi2 635 . . . 4  |-  ( F  Fn  NN  ->  ( ran  F  C_  ( X  i^i  Y )  ->  F : NN --> ( X  i^i  Y ) ) )
3734, 36syl 17 . . 3  |-  ( F : NN --> Y  -> 
( ran  F  C_  ( X  i^i  Y )  ->  F : NN --> ( X  i^i  Y ) ) )
38 inss2 3665 . . . . . . . . 9  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  Y )
40 fss 5760 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  /\  ( X  i^i  Y ) 
C_  Y )  ->  F : NN --> Y )
4139, 40sylan2 481 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  ->  F : NN --> Y )
4241ancoms 459 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  F : NN
--> Y )
43 ffvelrn 6043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  ->  ( F `  y
)  e.  Y )
4443adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( F `  y )  e.  Y
)
45 eluznn 11258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y ) )  -> 
z  e.  NN )
46 ffvelrn 6043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  z  e.  NN )  ->  ( F `  z
)  e.  Y )
4745, 46sylan2 481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  Y
)
4847anassrs 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( F `  z )  e.  Y
)
4944, 48ovresd 6464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( ( F `
 y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  y ) D ( F `  z ) ) )
5049breq1d 4426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( ( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( F `  z
) )  <  x  <->  ( ( F `  y
) D ( F `
 z ) )  <  x ) )
5150ralbidva 2836 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x  <->  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
5251rexbidva 2910 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> Y  -> 
( E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x  <->  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
5352ralbidv 2839 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> Y  -> 
( A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( F `  z
) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
5442, 53syl 17 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
55 nnuz 11223 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5618adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
57 1zzd 10997 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  1  e.  ZZ )
58 eqidd 2463 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F : NN
--> ( X  i^i  Y
) )  /\  z  e.  NN )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
59 eqidd 2463 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F : NN
--> ( X  i^i  Y
) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
60 simpr 467 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  F : NN
--> ( X  i^i  Y
) )
6155, 56, 57, 58, 59, 60iscauf 22299 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x ) )
62 simpl 463 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
63 id 22 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  ->  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )
64 inss1 3664 . . . . . . . 8  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
6564a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  X )
66 fss 5760 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  /\  ( X  i^i  Y ) 
C_  X )  ->  F : NN --> X )
6763, 65, 66syl2anr 485 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  F : NN
--> X )
6855, 62, 57, 58, 59, 67iscauf 22299 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  < 
x ) )
6954, 61, 683bitr4rd 294 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
7069ex 440 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  -> 
( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) ) )
7137, 70sylan9r 668 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( ran  F  C_  ( X  i^i  Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ) )
7217, 33, 71pm5.21ndd 360 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    i^i cin 3415    C_ wss 3416   class class class wbr 4416    X. cxp 4851   dom cdm 4853   ran crn 4854    |` cres 4855   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315    ^pm cpm 7499   CCcc 9563   1c1 9566    < clt 9701   NNcn 10637   ZZ>=cuz 11188   RR+crp 11331   *Metcxmt 19004   Caucca 22272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-z 10967  df-uz 11189  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-psmet 19011  df-xmet 19012  df-bl 19014  df-cau 22275
This theorem is referenced by:  minvecolem4a  26568  minvecolem4aOLD  26578  hhsscms  26979
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