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Theorem causs 21605
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
causs  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )

Proof of Theorem causs
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caufpm 21589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
2 elfvdm 5898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
3 cnex 9585 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
4 elpmg 7446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  dom  *Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC ) 
<->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
52, 3, 4sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
65biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) )
71, 6syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) )
87simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  F  C_  ( CC  X.  X ) )
9 rnss 5237 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( CC  X.  X )  ->  ran  F 
C_  ran  ( CC  X.  X ) )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ran  F  C_  ran  ( CC  X.  X
) )
11 rnxpss 5445 . . . . . 6  |-  ran  ( CC  X.  X )  C_  X
1210, 11syl6ss 3521 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ran  F  C_  X )
1312adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F : NN
--> Y )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  ran  F 
C_  X )
14 frn 5743 . . . . 5  |-  ( F : NN --> Y  ->  ran  F  C_  Y )
1514ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F : NN
--> Y )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  ran  F 
C_  Y )
1613, 15ssind 3727 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F : NN
--> Y )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  ran  F 
C_  ( X  i^i  Y ) )
1716ex 434 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  ->  ran  F 
C_  ( X  i^i  Y ) ) )
18 xmetres 20735 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
19 caufpm 21589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y
) )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( ( X  i^i  Y )  ^pm  CC )
)
2018, 19sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )
)
21 inex1g 4596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  dom  *Met  ->  ( X  i^i  Y
)  e.  _V )
222, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  e. 
_V )
23 elpmg 7446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  -> 
( F  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
2422, 3, 23sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  ( ( X  i^i  Y )  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC 
X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
2524biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )
)  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) )
2620, 25syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC 
X.  ( X  i^i  Y ) ) ) )
2726simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )
28 rnss 5237 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  ->  ran  F  C_  ran  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )
2927, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ran  F  C_  ran  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )
30 rnxpss 5445 . . . . 5  |-  ran  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( X  i^i  Y )
3129, 30syl6ss 3521 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ran  F  C_  ( X  i^i  Y ) )
3231ex 434 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ran  F  C_  ( X  i^i  Y ) ) )
3332adantr 465 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ran  F  C_  ( X  i^i  Y ) ) )
34 ffn 5737 . . . 4  |-  ( F : NN --> Y  ->  F  Fn  NN )
35 df-f 5598 . . . . 5  |-  ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  <->  ( F  Fn  NN  /\  ran  F  C_  ( X  i^i  Y
) ) )
3635simplbi2 625 . . . 4  |-  ( F  Fn  NN  ->  ( ran  F  C_  ( X  i^i  Y )  ->  F : NN --> ( X  i^i  Y ) ) )
3734, 36syl 16 . . 3  |-  ( F : NN --> Y  -> 
( ran  F  C_  ( X  i^i  Y )  ->  F : NN --> ( X  i^i  Y ) ) )
38 inss2 3724 . . . . . . . . 9  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  Y )
40 fss 5745 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  /\  ( X  i^i  Y ) 
C_  Y )  ->  F : NN --> Y )
4139, 40sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  ->  F : NN --> Y )
4241ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  F : NN
--> Y )
43 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  ->  ( F `  y
)  e.  Y )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( F `  y )  e.  Y
)
45 eluznn 11164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y ) )  -> 
z  e.  NN )
46 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  z  e.  NN )  ->  ( F `  z
)  e.  Y )
4745, 46sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  Y
)
4847anassrs 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( F `  z )  e.  Y
)
4944, 48ovresd 6438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( ( F `
 y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  y ) D ( F `  z ) ) )
5049breq1d 4463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( ( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( F `  z
) )  <  x  <->  ( ( F `  y
) D ( F `
 z ) )  <  x ) )
5150ralbidva 2903 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x  <->  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
5251rexbidva 2975 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> Y  -> 
( E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x  <->  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
5352ralbidv 2906 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> Y  -> 
( A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( F `  z
) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
5442, 53syl 16 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
55 nnuz 11129 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5618adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
57 1zzd 10907 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  1  e.  ZZ )
58 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F : NN
--> ( X  i^i  Y
) )  /\  z  e.  NN )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
59 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F : NN
--> ( X  i^i  Y
) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
60 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  F : NN
--> ( X  i^i  Y
) )
6155, 56, 57, 58, 59, 60iscauf 21587 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x ) )
62 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
63 id 22 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  ->  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )
64 inss1 3723 . . . . . . . 8  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
6564a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  X )
66 fss 5745 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  /\  ( X  i^i  Y ) 
C_  X )  ->  F : NN --> X )
6763, 65, 66syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  F : NN
--> X )
6855, 62, 57, 58, 59, 67iscauf 21587 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  < 
x ) )
6954, 61, 683bitr4rd 286 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
7069ex 434 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  -> 
( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) ) )
7137, 70sylan9r 658 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( ran  F  C_  ( X  i^i  Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ) )
7217, 33, 71pm5.21ndd 354 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    i^i cin 3480    C_ wss 3481   class class class wbr 4453    X. cxp 5003   dom cdm 5005   ran crn 5006    |` cres 5007   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^pm cpm 7433   CCcc 9502   1c1 9505    < clt 9640   NNcn 10548   ZZ>=cuz 11094   RR+crp 11232   *Metcxmt 18273   Caucca 21560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-bl 18284  df-cau 21563
This theorem is referenced by:  minvecolem4a  25616  hhsscms  26018
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