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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > causs | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.) |
Ref | Expression |
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causs |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | caufpm 22301 |
. . . . . . . . 9
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2 | elfvdm 5914 |
. . . . . . . . . . 11
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3 | cnex 9646 |
. . . . . . . . . . 11
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4 | elpmg 7513 |
. . . . . . . . . . 11
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5 | 2, 3, 4 | sylancl 673 |
. . . . . . . . . 10
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6 | 5 | biimpa 491 |
. . . . . . . . 9
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7 | 1, 6 | syldan 477 |
. . . . . . . 8
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8 | 7 | simprd 469 |
. . . . . . 7
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9 | rnss 5082 |
. . . . . . 7
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10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . . . 6
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11 | rnxpss 5288 |
. . . . . 6
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12 | 10, 11 | syl6ss 3456 |
. . . . 5
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13 | 12 | adantlr 726 |
. . . 4
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14 | frn 5758 |
. . . . 5
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15 | 14 | ad2antlr 738 |
. . . 4
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16 | 13, 15 | ssind 3668 |
. . 3
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17 | 16 | ex 440 |
. 2
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18 | xmetres 21428 |
. . . . . . . . 9
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19 | caufpm 22301 |
. . . . . . . . 9
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20 | 18, 19 | sylan 478 |
. . . . . . . 8
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21 | inex1g 4560 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 2, 21 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
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23 | elpmg 7513 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 22, 3, 23 | sylancl 673 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | biimpa 491 |
. . . . . . . 8
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26 | 20, 25 | syldan 477 |
. . . . . . 7
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27 | 26 | simprd 469 |
. . . . . 6
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28 | rnss 5082 |
. . . . . 6
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29 | 27, 28 | syl 17 |
. . . . 5
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30 | rnxpss 5288 |
. . . . 5
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31 | 29, 30 | syl6ss 3456 |
. . . 4
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32 | 31 | ex 440 |
. . 3
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33 | 32 | adantr 471 |
. 2
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34 | ffn 5751 |
. . . 4
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35 | df-f 5605 |
. . . . 5
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36 | 35 | simplbi2 635 |
. . . 4
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37 | 34, 36 | syl 17 |
. . 3
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38 | inss2 3665 |
. . . . . . . . 9
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39 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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40 | fss 5760 |
. . . . . . . 8
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41 | 39, 40 | sylan2 481 |
. . . . . . 7
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42 | 41 | ancoms 459 |
. . . . . 6
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43 | ffvelrn 6043 |
. . . . . . . . . . . 12
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44 | 43 | adantr 471 |
. . . . . . . . . . 11
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45 | eluznn 11258 |
. . . . . . . . . . . . 13
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46 | ffvelrn 6043 |
. . . . . . . . . . . . 13
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47 | 45, 46 | sylan2 481 |
. . . . . . . . . . . 12
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48 | 47 | anassrs 658 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | 44, 48 | ovresd 6464 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 49 | breq1d 4426 |
. . . . . . . . 9
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51 | 50 | ralbidva 2836 |
. . . . . . . 8
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52 | 51 | rexbidva 2910 |
. . . . . . 7
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53 | 52 | ralbidv 2839 |
. . . . . 6
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54 | 42, 53 | syl 17 |
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55 | nnuz 11223 |
. . . . . 6
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56 | 18 | adantr 471 |
. . . . . 6
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57 | 1zzd 10997 |
. . . . . 6
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58 | eqidd 2463 |
. . . . . 6
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59 | eqidd 2463 |
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60 | simpr 467 |
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61 | 55, 56, 57, 58, 59, 60 | iscauf 22299 |
. . . . 5
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62 | simpl 463 |
. . . . . 6
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63 | id 22 |
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64 | inss1 3664 |
. . . . . . . 8
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65 | 64 | a1i 11 |
. . . . . . 7
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66 | fss 5760 |
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67 | 63, 65, 66 | syl2anr 485 |
. . . . . 6
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68 | 55, 62, 57, 58, 59, 67 | iscauf 22299 |
. . . . 5
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69 | 54, 61, 68 | 3bitr4rd 294 |
. . . 4
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70 | 69 | ex 440 |
. . 3
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71 | 37, 70 | sylan9r 668 |
. 2
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72 | 17, 33, 71 | pm5.21ndd 360 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1680 ax-4 1693 ax-5 1769 ax-6 1816 ax-7 1862 ax-8 1900 ax-9 1907 ax-10 1926 ax-11 1931 ax-12 1944 ax-13 2102 ax-ext 2442 ax-sep 4539 ax-nul 4548 ax-pow 4595 ax-pr 4653 ax-un 6610 ax-cnex 9621 ax-resscn 9622 ax-1cn 9623 ax-icn 9624 ax-addcl 9625 ax-addrcl 9626 ax-mulcl 9627 ax-mulrcl 9628 ax-mulcom 9629 ax-addass 9630 ax-mulass 9631 ax-distr 9632 ax-i2m1 9633 ax-1ne0 9634 ax-1rid 9635 ax-rnegex 9636 ax-rrecex 9637 ax-cnre 9638 ax-pre-lttri 9639 ax-pre-lttrn 9640 ax-pre-ltadd 9641 ax-pre-mulgt0 9642 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1458 df-ex 1675 df-nf 1679 df-sb 1809 df-eu 2314 df-mo 2315 df-clab 2449 df-cleq 2455 df-clel 2458 df-nfc 2592 df-ne 2635 df-nel 2636 df-ral 2754 df-rex 2755 df-reu 2756 df-rmo 2757 df-rab 2758 df-v 3059 df-sbc 3280 df-csb 3376 df-dif 3419 df-un 3421 df-in 3423 df-ss 3430 df-pss 3432 df-nul 3744 df-if 3894 df-pw 3965 df-sn 3981 df-pr 3983 df-tp 3985 df-op 3987 df-uni 4213 df-iun 4294 df-br 4417 df-opab 4476 df-mpt 4477 df-tr 4512 df-eprel 4764 df-id 4768 df-po 4774 df-so 4775 df-fr 4812 df-we 4814 df-xp 4859 df-rel 4860 df-cnv 4861 df-co 4862 df-dm 4863 df-rn 4864 df-res 4865 df-ima 4866 df-pred 5399 df-ord 5445 df-on 5446 df-lim 5447 df-suc 5448 df-iota 5565 df-fun 5603 df-fn 5604 df-f 5605 df-f1 5606 df-fo 5607 df-f1o 5608 df-fv 5609 df-riota 6277 df-ov 6318 df-oprab 6319 df-mpt2 6320 df-om 6720 df-1st 6820 df-2nd 6821 df-wrecs 7054 df-recs 7116 df-rdg 7154 df-er 7389 df-map 7500 df-pm 7501 df-en 7596 df-dom 7597 df-sdom 7598 df-pnf 9703 df-mnf 9704 df-xr 9705 df-ltxr 9706 df-le 9707 df-sub 9888 df-neg 9889 df-div 10298 df-nn 10638 df-2 10696 df-z 10967 df-uz 11189 df-rp 11332 df-xneg 11438 df-xadd 11439 df-psmet 19011 df-xmet 19012 df-bl 19014 df-cau 22275 |
This theorem is referenced by: minvecolem4a 26568 minvecolem4aOLD 26578 hhsscms 26979 |
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