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Theorem caushft 26357
Description: A shifted Cauchy sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caures.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caures.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
caures.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
caushft.4  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  N ) )
caushft.5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
caushft.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  N
) ) )
caushft.8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
caushft.9  |-  ( ph  ->  G : W --> X )
Assertion
Ref Expression
caushft  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Cau `  D ) )
Distinct variable groups:    D, k    k, G    ph, k    k, X   
k, F    k, N    k, Z
Allowed substitution hints:    M( k)    W( k)

Proof of Theorem caushft
Dummy variables  j  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caushft.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
2 caures.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 caures.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 18317 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
6 caures.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7 caushft.7 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  N
) ) )
87ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  N
) ) )
9 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
10 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
k  +  N )  =  ( j  +  N ) )
1110fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  ( G `  ( k  +  N ) )  =  ( G `  (
j  +  N ) ) )
129, 11eqeq12d 2418 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 ( k  +  N ) )  <->  ( F `  j )  =  ( G `  ( j  +  N ) ) ) )
1312rspccva 3011 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  N
) )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  ( G `  ( j  +  N
) ) )
148, 13sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  ( G `  ( j  +  N
) ) )
152, 5, 6, 7, 14iscau4 19185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( G `  ( k  +  N ) )  e.  X  /\  (
( G `  (
k  +  N ) ) D ( G `
 ( j  +  N ) ) )  <  x ) ) ) )
161, 15mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( G `  ( k  +  N ) )  e.  X  /\  (
( G `  (
k  +  N ) ) D ( G `
 ( j  +  N ) ) )  <  x ) ) )
1716simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( G `  ( k  +  N ) )  e.  X  /\  (
( G `  (
k  +  N ) ) D ( G `
 ( j  +  N ) ) )  <  x ) )
182eleq2i 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Z  <->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1918biimpi 187 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
20 caushft.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
21 eluzadd 10470 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
j  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  N )
) )
2219, 20, 21syl2anr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  N )
) )
23 caushft.4 . . . . . . 7  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  N ) )
2422, 23syl6eleqr 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  N )  e.  W )
25 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  j  e.  Z
)
2625, 2syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  M ) )
27 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
2920ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
30 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )
31 eluzsub 10471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( m  -  N )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
3228, 29, 30, 31syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( m  -  N )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
33 simp3 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( G `  (
k  +  N ) )  e.  X  /\  ( ( G `  ( k  +  N
) ) D ( G `  ( j  +  N ) ) )  <  x )  ->  ( ( G `
 ( k  +  N ) ) D ( G `  (
j  +  N ) ) )  <  x
)
3433ralimi 2741 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( G `  ( k  +  N ) )  e.  X  /\  (
( G `  (
k  +  N ) ) D ( G `
 ( j  +  N ) ) )  <  x )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  (
k  +  N ) ) D ( G `
 ( j  +  N ) ) )  <  x )
35 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( m  -  N )  ->  (
k  +  N )  =  ( ( m  -  N )  +  N ) )
3635fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( m  -  N )  ->  ( G `  ( k  +  N ) )  =  ( G `  (
( m  -  N
)  +  N ) ) )
3736oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( m  -  N )  ->  (
( G `  (
k  +  N ) ) D ( G `
 ( j  +  N ) ) )  =  ( ( G `
 ( ( m  -  N )  +  N ) ) D ( G `  (
j  +  N ) ) ) )
3837breq1d 4182 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( m  -  N )  ->  (
( ( G `  ( k  +  N
) ) D ( G `  ( j  +  N ) ) )  <  x  <->  ( ( G `  ( (
m  -  N )  +  N ) ) D ( G `  ( j  +  N
) ) )  < 
x ) )
3938rspcv 3008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  -  N )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  ( k  +  N ) ) D ( G `  ( j  +  N
) ) )  < 
x  ->  ( ( G `  ( (
m  -  N )  +  N ) ) D ( G `  ( j  +  N
) ) )  < 
x ) )
4032, 34, 39syl2im 36 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( G `  ( k  +  N
) )  e.  X  /\  ( ( G `  ( k  +  N
) ) D ( G `  ( j  +  N ) ) )  <  x )  ->  ( ( G `
 ( ( m  -  N )  +  N ) ) D ( G `  (
j  +  N ) ) )  <  x
) )
41 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  N ) )  ->  m  e.  ZZ )
4241adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
4342zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  m  e.  CC )
4420zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
4544ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  N  e.  CC )
4643, 45npcand 9371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( ( m  -  N )  +  N )  =  m )
4746fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( G `  ( ( m  -  N )  +  N
) )  =  ( G `  m ) )
4847oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( ( G `
 ( ( m  -  N )  +  N ) ) D ( G `  (
j  +  N ) ) )  =  ( ( G `  m
) D ( G `
 ( j  +  N ) ) ) )
493ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
50 caushft.9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G : W --> X )
5150ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  G : W --> X )
5223uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  +  N
)  e.  W  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N
) ) )  ->  m  e.  W )
5324, 52sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  m  e.  W
)
5451, 53ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( G `  m )  e.  X
)
5550adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  G : W --> X )
5655, 24ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( G `  ( j  +  N ) )  e.  X )
5756adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( G `  ( j  +  N
) )  e.  X
)
58 metsym 18333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( G `  m )  e.  X  /\  ( G `  ( j  +  N ) )  e.  X )  ->  (
( G `  m
) D ( G `
 ( j  +  N ) ) )  =  ( ( G `
 ( j  +  N ) ) D ( G `  m
) ) )
5949, 54, 57, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( ( G `
 m ) D ( G `  (
j  +  N ) ) )  =  ( ( G `  (
j  +  N ) ) D ( G `
 m ) ) )
6048, 59eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( ( G `
 ( ( m  -  N )  +  N ) ) D ( G `  (
j  +  N ) ) )  =  ( ( G `  (
j  +  N ) ) D ( G `
 m ) ) )
6160breq1d 4182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( ( ( G `  ( ( m  -  N )  +  N ) ) D ( G `  ( j  +  N
) ) )  < 
x  <->  ( ( G `
 ( j  +  N ) ) D ( G `  m
) )  <  x
) )
6240, 61sylibd 206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( G `  ( k  +  N
) )  e.  X  /\  ( ( G `  ( k  +  N
) ) D ( G `  ( j  +  N ) ) )  <  x )  ->  ( ( G `
 ( j  +  N ) ) D ( G `  m
) )  <  x
) )
6362ralrimdva 2756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( G `  (
k  +  N ) )  e.  X  /\  ( ( G `  ( k  +  N
) ) D ( G `  ( j  +  N ) ) )  <  x )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  ( j  +  N ) ) ( ( G `  (
j  +  N ) ) D ( G `
 m ) )  <  x ) )
64 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( j  +  N )  ->  ( ZZ>=
`  n )  =  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )
65 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( j  +  N )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( j  +  N
) ) )
6665oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( j  +  N )  ->  (
( G `  n
) D ( G `
 m ) )  =  ( ( G `
 ( j  +  N ) ) D ( G `  m
) ) )
6766breq1d 4182 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( j  +  N )  ->  (
( ( G `  n ) D ( G `  m ) )  <  x  <->  ( ( G `  ( j  +  N ) ) D ( G `  m
) )  <  x
) )
6864, 67raleqbidv 2876 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( j  +  N )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( ( G `  n
) D ( G `
 m ) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) ( ( G `  (
j  +  N ) ) D ( G `
 m ) )  <  x ) )
6968rspcev 3012 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  +  N
)  e.  W  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N
) ) ( ( G `  ( j  +  N ) ) D ( G `  m ) )  < 
x )  ->  E. n  e.  W  A. m  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( G `  n ) D ( G `  m ) )  <  x )
7024, 63, 69ee12an 1369 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( G `  (
k  +  N ) )  e.  X  /\  ( ( G `  ( k  +  N
) ) D ( G `  ( j  +  N ) ) )  <  x )  ->  E. n  e.  W  A. m  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( ( G `  n
) D ( G `
 m ) )  <  x ) )
7170rexlimdva 2790 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( G `  ( k  +  N
) )  e.  X  /\  ( ( G `  ( k  +  N
) ) D ( G `  ( j  +  N ) ) )  <  x )  ->  E. n  e.  W  A. m  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( ( G `  n
) D ( G `
 m ) )  <  x ) )
7271ralimdv 2745 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( G `  (
k  +  N ) )  e.  X  /\  ( ( G `  ( k  +  N
) ) D ( G `  ( j  +  N ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  W  A. m  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( G `  n ) D ( G `  m ) )  < 
x ) )
7317, 72mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  W  A. m  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( G `  n ) D ( G `  m ) )  < 
x )
746, 20zaddcld 10335 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
75 eqidd 2405 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  ( G `  m )  =  ( G `  m ) )
76 eqidd 2405 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  n ) )
7723, 5, 74, 75, 76, 50iscauf 19186 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  W  A. m  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( G `  n ) D ( G `  m ) )  <  x ) )
7873, 77mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Cau `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^pm cpm 6978   CCcc 8944    + caddc 8949    < clt 9076    - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   * Metcxmt 16641   Metcme 16642   Caucca 19159
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-cau 19162
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