Theorem caushft 15851

Description: A shifted Cauchy sequence is Cauchy.

Hypotheses

Ref	Expression
caushft.1	|- K e. NN
caushft.2	|- N e. NN
caushft.3	|- Z = (ZZ>=` K)
caushft.4	|- W = (ZZ>=` (K + N))
caushft.5	|- X = dom dom M

Assertion

Ref	Expression
caushft	|- ((M e. Met /\ (F:Z-->X /\ G:W-->X) /\ A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N))) -> (F e. (Cau` M) <-> G e. (Cau` M)))

Distinct variable groups:   k,K   k,N   k,Z   k,W   k,M   k,X   k,F   k,G

Proof of Theorem caushft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caushft.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K e. NN
2		nnz 7362	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (K e. NN -> K e. ZZ)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- K e. ZZ
4		caushft.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- N e. NN
5		nnz 7362	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (N e. NN -> N e. ZZ)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- N e. ZZ
7	3, 6	eluzaddi 7605	. . . . . . . . . . . 12 |- (j e. (ZZ>=` K) -> (j + N) e. (ZZ>=` (K + N)))
8		caushft.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = (ZZ>=` K)
9	8	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . 12 |- (j e. Z <-> j e. (ZZ>=` K))
10		caushft.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- W = (ZZ>=` (K + N))
11	10	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . 12 |- ((j + N) e. W <-> (j + N) e. (ZZ>=` (K + N)))
12	7, 9, 11	3imtr4i 236	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. Z -> (j + N) e. W)
13	12	a1d 15	. . . . . . . . . 10 |- (j e. Z -> (A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x) -> (j + N) e. W))
14	13	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ j e. Z) -> (A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x) -> (j + N) e. W))
15	3, 6	eluzsubi 7606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (p e. (ZZ>=` (K + N)) -> (p - N) e. (ZZ>=` K))
16	10	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (p e. W <-> p e. (ZZ>=` (K + N)))
17	8	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((p - N) e. Z <-> (p - N) e. (ZZ>=` K))
18	15, 16, 17	3imtr4i 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- (p e. W -> (p - N) e. Z)
19	18	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ j e. Z) /\ p e. W) -> (p - N) e. Z)
20		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (m = (p - N) -> (j <_ m <-> j <_ (p - N)))
21		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (m = (p - N) -> (F` m) = (F` (p - N)))
22	21	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (m = (p - N) -> ((F` j)M(F` m)) = ((F` j)M(F` (p - N))))
23	22	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (m = (p - N) -> (((F` j)M(F` m)) < x <-> ((F` j)M(F` (p - N))) < x))
24	20, 23	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . 13 |- (m = (p - N) -> ((j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x) <-> (j <_ (p - N) -> ((F` j)M(F` (p - N))) < x)))
25	24	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . 12 |- ((p - N) e. Z -> (A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x) -> (j <_ (p - N) -> ((F` j)M(F` (p - N))) < x)))
26	19, 25	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ j e. Z) /\ p e. W) -> (A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x) -> (j <_ (p - N) -> ((F` j)M(F` (p - N))) < x)))
27	9	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (j e. Z -> j e. (ZZ>=` K))
28		eluzelz 7592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (j e. (ZZ>=` K) -> j e. ZZ)
29		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (j e. ZZ -> j e. RR)
30	27, 28, 29	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (j e. Z -> j e. RR)
31	30	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((j e. Z /\ p e. W) -> j e. RR)
32	4	nnrei 7114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- N e. RR
33	32	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((j e. Z /\ p e. W) -> N e. RR)
34	16	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (p e. W -> p e. (ZZ>=` (K + N)))
35		eluzelz 7592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (p e. (ZZ>=` (K + N)) -> p e. ZZ)
36		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (p e. ZZ -> p e. RR)
37	34, 35, 36	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (p e. W -> p e. RR)
38	37	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((j e. Z /\ p e. W) -> p e. RR)
39		leaddsub 6816	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((j e. RR /\ N e. RR /\ p e. RR) -> ((j + N) <_ p <-> j <_ (p - N)))
40	31, 33, 38, 39	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((j e. Z /\ p e. W) -> ((j + N) <_ p <-> j <_ (p - N)))
41	40	bicomd 580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((j e. Z /\ p e. W) -> (j <_ (p - N) <-> (j + N) <_ p))
42	41	adantll 428	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ j e. Z) /\ p e. W) -> (j <_ (p - N) <-> (j + N) <_ p))
43		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k = j -> (F` k) = (F` j))
44		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k = j -> (k + N) = (j + N))
45	44	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k = j -> (G` (k + N)) = (G` (j + N)))
46	43, 45	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k = j -> ((F` k) = (G` (k + N)) <-> (F` j) = (G` (j + N))))
47	46	rcla4cva 2379	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ j e. Z) -> (F` j) = (G` (j + N)))
48	47	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ j e. Z) /\ p e. W) -> (F` j) = (G` (j + N)))
49		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k = (p - N) -> (F` k) = (F` (p - N)))
50		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (k = (p - N) -> (k + N) = ((p - N) + N))
51	50	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k = (p - N) -> (G` (k + N)) = (G` ((p - N) + N)))
52	49, 51	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k = (p - N) -> ((F` k) = (G` (k + N)) <-> (F` (p - N)) = (G` ((p - N) + N))))
53	52	rcla4cva 2379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ (p - N) e. Z) -> (F` (p - N)) = (G` ((p - N) + N)))
54	53, 18	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ p e. W) -> (F` (p - N)) = (G` ((p - N) + N)))
55		npcan 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((p e. CC /\ N e. CC) -> ((p - N) + N) = p)
56	37	recnd 6468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (p e. W -> p e. CC)
57	4	nncni 7115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- N e. CC
58	55, 56, 57	sylancl 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (p e. W -> ((p - N) + N) = p)
59	58	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (p e. W -> (G` ((p - N) + N)) = (G` p))
60	59	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ p e. W) -> (G` ((p - N) + N)) = (G` p))
61	54, 60	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ p e. W) -> (F` (p - N)) = (G` p))
62	61	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ j e. Z) /\ p e. W) -> (F` (p - N)) = (G` p))
63	48, 62	opreq12d 4900	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ j e. Z) /\ p e. W) -> ((F` j)M(F` (p - N))) = ((G` (j + N))M(G` p)))
64	63	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ j e. Z) /\ p e. W) -> (((F` j)M(F` (p - N))) < x <-> ((G` (j + N))M(G` p)) < x))
65	42, 64	imbi12d 688	. . . . . . . . . . 11 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ j e. Z) /\ p e. W) -> ((j <_ (p - N) -> ((F` j)M(F` (p - N))) < x) <-> ((j + N) <_ p -> ((G` (j + N))M(G` p)) < x)))
66	26, 65	sylibd 219	. . . . . . . . . 10 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ j e. Z) /\ p e. W) -> (A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x) -> ((j + N) <_ p -> ((G` (j + N))M(G` p)) < x)))
67	66	r19.21adva 2182	. . . . . . . . 9 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ j e. Z) -> (A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x) -> A.p e. W ((j + N) <_ p -> ((G` (j + N))M(G` p)) < x)))
68	14, 67	jcad 661	. . . . . . . 8 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ j e. Z) -> (A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x) -> ((j + N) e. W /\ A.p e. W ((j + N) <_ p -> ((G` (j + N))M(G` p)) < x))))
69		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (n = (j + N) -> (n <_ p <-> (j + N) <_ p))
70		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- (n = (j + N) -> (G` n) = (G` (j + N)))
71	70	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . 12 |- (n = (j + N) -> ((G` n)M(G` p)) = ((G` (j + N))M(G` p)))
72	71	breq1d 3348	. . . . . . . . . . 11 |- (n = (j + N) -> (((G` n)M(G` p)) < x <-> ((G` (j + N))M(G` p)) < x))
73	69, 72	imbi12d 688	. . . . . . . . . 10 |- (n = (j + N) -> ((n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x) <-> ((j + N) <_ p -> ((G` (j + N))M(G` p)) < x)))
74	73	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (n = (j + N) -> (A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x) <-> A.p e. W ((j + N) <_ p -> ((G` (j + N))M(G` p)) < x)))
75	74	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- (((j + N) e. W /\ A.p e. W ((j + N) <_ p -> ((G` (j + N))M(G` p)) < x)) -> E.n e. W A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x))
76	68, 75	syl6 25	. . . . . . 7 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ j e. Z) -> (A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x) -> E.n e. W A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x)))
77	76	r19.23adva 2216	. . . . . 6 |- (A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) -> (E.j e. Z A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x) -> E.n e. W A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x)))
78	3, 6	eluzsubi 7606	. . . . . . . . . . . 12 |- (n e. (ZZ>=` (K + N)) -> (n - N) e. (ZZ>=` K))
79	10	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . 12 |- (n e. W <-> n e. (ZZ>=` (K + N)))
80	8	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . 12 |- ((n - N) e. Z <-> (n - N) e. (ZZ>=` K))
81	78, 79, 80	3imtr4i 236	. . . . . . . . . . 11 |- (n e. W -> (n - N) e. Z)
82	81	a1d 15	. . . . . . . . . 10 |- (n e. W -> (A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x) -> (n - N) e. Z))
83	82	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ n e. W) -> (A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x) -> (n - N) e. Z))
84	3, 6	eluzaddi 7605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (m e. (ZZ>=` K) -> (m + N) e. (ZZ>=` (K + N)))
85	8	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (m e. Z <-> m e. (ZZ>=` K))
86	10	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((m + N) e. W <-> (m + N) e. (ZZ>=` (K + N)))
87	84, 85, 86	3imtr4i 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- (m e. Z -> (m + N) e. W)
88	87	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ n e. W) /\ m e. Z) -> (m + N) e. W)
89		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (p = (m + N) -> (n <_ p <-> n <_ (m + N)))
90		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (p = (m + N) -> (G` p) = (G` (m + N)))
91	90	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (p = (m + N) -> ((G` n)M(G` p)) = ((G` n)M(G` (m + N))))
92	91	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (p = (m + N) -> (((G` n)M(G` p)) < x <-> ((G` n)M(G` (m + N))) < x))
93	89, 92	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . 13 |- (p = (m + N) -> ((n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x) <-> (n <_ (m + N) -> ((G` n)M(G` (m + N))) < x)))
94	93	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . 12 |- ((m + N) e. W -> (A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x) -> (n <_ (m + N) -> ((G` n)M(G` (m + N))) < x)))
95	88, 94	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ n e. W) /\ m e. Z) -> (A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x) -> (n <_ (m + N) -> ((G` n)M(G` (m + N))) < x)))
96	79	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n e. W -> n e. (ZZ>=` (K + N)))
97		eluzelz 7592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n e. (ZZ>=` (K + N)) -> n e. ZZ)
98		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n e. ZZ -> n e. RR)
99	96, 97, 98	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (n e. W -> n e. RR)
100	99	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((n e. W /\ m e. Z) -> n e. RR)
101	32	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((n e. W /\ m e. Z) -> N e. RR)
102	85	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (m e. Z -> m e. (ZZ>=` K))
103		eluzelz 7592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (m e. (ZZ>=` K) -> m e. ZZ)
104		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (m e. ZZ -> m e. RR)
105	102, 103, 104	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (m e. Z -> m e. RR)
106	105	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((n e. W /\ m e. Z) -> m e. RR)
107		lesubadd 6812	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((n e. RR /\ N e. RR /\ m e. RR) -> ((n - N) <_ m <-> n <_ (m + N)))
108	100, 101, 106, 107	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((n e. W /\ m e. Z) -> ((n - N) <_ m <-> n <_ (m + N)))
109	108	bicomd 580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((n e. W /\ m e. Z) -> (n <_ (m + N) <-> (n - N) <_ m))
110	109	adantll 428	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ n e. W) /\ m e. Z) -> (n <_ (m + N) <-> (n - N) <_ m))
111		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (k = (n - N) -> (F` k) = (F` (n - N)))
112		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (k = (n - N) -> (k + N) = ((n - N) + N))
113	112	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (k = (n - N) -> (G` (k + N)) = (G` ((n - N) + N)))
114	111, 113	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k = (n - N) -> ((F` k) = (G` (k + N)) <-> (F` (n - N)) = (G` ((n - N) + N))))
115	114	rcla4cva 2379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ (n - N) e. Z) -> (F` (n - N)) = (G` ((n - N) + N)))
116	115, 81	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ n e. W) -> (F` (n - N)) = (G` ((n - N) + N)))
117		npcan 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((n e. CC /\ N e. CC) -> ((n - N) + N) = n)
118		zcn 7349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (n e. ZZ -> n e. CC)
119	96, 97, 118	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (n e. W -> n e. CC)
120	117, 119, 57	sylancl 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (n e. W -> ((n - N) + N) = n)
121	120	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (n e. W -> (G` ((n - N) + N)) = (G` n))
122	121	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ n e. W) -> (G` ((n - N) + N)) = (G` n))
123	116, 122	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ n e. W) -> (F` (n - N)) = (G` n))
124	123	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ n e. W) /\ m e. Z) -> (F` (n - N)) = (G` n))
125		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k = m -> (F` k) = (F` m))
126		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k = m -> (k + N) = (m + N))
127	126	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k = m -> (G` (k + N)) = (G` (m + N)))
128	125, 127	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k = m -> ((F` k) = (G` (k + N)) <-> (F` m) = (G` (m + N))))
129	128	rcla4cva 2379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ m e. Z) -> (F` m) = (G` (m + N)))
130	129	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ n e. W) /\ m e. Z) -> (F` m) = (G` (m + N)))
131	124, 130	opreq12d 4900	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ n e. W) /\ m e. Z) -> ((F` (n - N))M(F` m)) = ((G` n)M(G` (m + N))))
132	131	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ n e. W) /\ m e. Z) -> ((G` n)M(G` (m + N))) = ((F` (n - N))M(F` m)))
133	132	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ n e. W) /\ m e. Z) -> (((G` n)M(G` (m + N))) < x <-> ((F` (n - N))M(F` m)) < x))
134	110, 133	imbi12d 688	. . . . . . . . . . 11 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ n e. W) /\ m e. Z) -> ((n <_ (m + N) -> ((G` n)M(G` (m + N))) < x) <-> ((n - N) <_ m -> ((F` (n - N))M(F` m)) < x)))
135	95, 134	sylibd 219	. . . . . . . . . 10 |- (((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ n e. W) /\ m e. Z) -> (A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x) -> ((n - N) <_ m -> ((F` (n - N))M(F` m)) < x)))
136	135	r19.21adva 2182	. . . . . . . . 9 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ n e. W) -> (A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x) -> A.m e. Z ((n - N) <_ m -> ((F` (n - N))M(F` m)) < x)))
137	83, 136	jcad 661	. . . . . . . 8 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ n e. W) -> (A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x) -> ((n - N) e. Z /\ A.m e. Z ((n - N) <_ m -> ((F` (n - N))M(F` m)) < x))))
138		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (j = (n - N) -> (j <_ m <-> (n - N) <_ m))
139		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- (j = (n - N) -> (F` j) = (F` (n - N)))
140	139	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . 12 |- (j = (n - N) -> ((F` j)M(F` m)) = ((F` (n - N))M(F` m)))
141	140	breq1d 3348	. . . . . . . . . . 11 |- (j = (n - N) -> (((F` j)M(F` m)) < x <-> ((F` (n - N))M(F` m)) < x))
142	138, 141	imbi12d 688	. . . . . . . . . 10 |- (j = (n - N) -> ((j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x) <-> ((n - N) <_ m -> ((F` (n - N))M(F` m)) < x)))
143	142	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (j = (n - N) -> (A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x) <-> A.m e. Z ((n - N) <_ m -> ((F` (n - N))M(F` m)) < x)))
144	143	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- (((n - N) e. Z /\ A.m e. Z ((n - N) <_ m -> ((F` (n - N))M(F` m)) < x)) -> E.j e. Z A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x))
145	137, 144	syl6 25	. . . . . . 7 |- ((A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) /\ n e. W) -> (A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x) -> E.j e. Z A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x)))
146	145	r19.23adva 2216	. . . . . 6 |- (A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) -> (E.n e. W A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x) -> E.j e. Z A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x)))
147	77, 146	impbid 574	. . . . 5 |- (A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N)) -> (E.j e. Z A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x) <-> E.n e. W A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x)))
148	147	3ad2ant3 899	. . . 4 |- ((M e. Met /\ (F:Z-->X /\ G:W-->X) /\ A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N))) -> (E.j e. Z A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x) <-> E.n e. W A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x)))
149	148	imbi2d 674	. . 3 |- ((M e. Met /\ (F:Z-->X /\ G:W-->X) /\ A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N))) -> ((0 < x -> E.j e. Z A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x)) <-> (0 < x -> E.n e. W A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x))))
150	149	ralbidv 2123	. 2 |- ((M e. Met /\ (F:Z-->X /\ G:W-->X) /\ A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N))) -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.n e. W A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x))))
151		caushft.5	. . . . 5 |- X = dom dom M
152	151, 3, 8	iscauf 9217	. . . 4 |- ((M e. Met /\ F:Z-->X) -> (F e. (Cau` M) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x))))
153	152	adantrr 431	. . 3 |- ((M e. Met /\ (F:Z-->X /\ G:W-->X)) -> (F e. (Cau` M) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x))))
154	153	3adant3 896	. 2 |- ((M e. Met /\ (F:Z-->X /\ G:W-->X) /\ A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N))) -> (F e. (Cau` M) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.m e. Z (j <_ m -> ((F` j)M(F` m)) < x))))
155		zaddcl 7374	. . . . . 6 |- ((K e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K + N) e. ZZ)
156	3, 6, 155	mp2an 761	. . . . 5 |- (K + N) e. ZZ
157	151, 156, 10	iscauf 9217	. . . 4 |- ((M e. Met /\ G:W-->X) -> (G e. (Cau` M) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.n e. W A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x))))
158	157	adantrl 430	. . 3 |- ((M e. Met /\ (F:Z-->X /\ G:W-->X)) -> (G e. (Cau` M) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.n e. W A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x))))
159	158	3adant3 896	. 2 |- ((M e. Met /\ (F:Z-->X /\ G:W-->X) /\ A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N))) -> (G e. (Cau` M) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.n e. W A.p e. W (n <_ p -> ((G` n)M(G` p)) < x))))
160	150, 154, 159	3bitr4d 609	1 |- ((M e. Met /\ (F:Z-->X /\ G:W-->X) /\ A.k e. Z (F` k) = (G` (k + N))) -> (F e. (Cau` M) <-> G e. (Cau` M)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448  NNcn 6449  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  Metcme 9066  Caucca 9198

This theorem is referenced by:  heiborlem33 15987

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-met 9070  df-cau 9201

Copyright terms: Public domain