Theorem caures 28656

Description: The restriction of a Cauchy sequence to an upper set of integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caures.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
caures.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
caures.4	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
caures.5	|- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )

Assertion

Ref	Expression
caures	|- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F |` Z ) e. ( Cau ` D ) ) )

Proof of Theorem caures

Dummy variables j k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caures.1	. . . . . . . . . . 11 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	uztrn2 10878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
3	2	adantll 713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
4	3	biantrurd 508	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k e. dom F <-> ( k e. Z /\ k e. dom F ) ) )
5		dmres 5131	. . . . . . . . 9 |- dom ( F |` Z ) = ( Z i^i dom F )
6	5	elin2 3541	. . . . . . . 8 |- ( k e. dom ( F |` Z ) <-> ( k e. Z /\ k e. dom F ) )
7	4, 6	syl6bbr 263	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k e. dom F <-> k e. dom ( F |` Z ) ) )
8	7	3anbi1d 1293	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
9	8	ralbidva 2731	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
10	9	rexbidva 2732	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
11	10	ralbidv 2735	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
12		caures.5	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
13	12	biantrurd 508	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
14		caures.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
15		elfvdm 5716	. . . . . . 7 |- ( D e. ( Met ` X ) -> X e. dom Met )
16	14, 15	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. dom Met )
17		cnex 9363	. . . . . 6 |- CC e. _V
18		ssid 3375	. . . . . . 7 |- X C_ X
19		uzssz 10880	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
20		zsscn 10654	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ CC
21	19, 20	sstri 3365	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ CC
22	1, 21	eqsstri 3386	. . . . . . 7 |- Z C_ CC
23		pmss12g 7239	. . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ X /\ Z C_ CC ) /\ ( X e. dom Met /\ CC e. _V ) ) -> ( X ^pm Z ) C_ ( X ^pm CC ) )
24	18, 22, 23	mpanl12 682	. . . . . 6 |- ( ( X e. dom Met /\ CC e. _V ) -> ( X ^pm Z ) C_ ( X ^pm CC ) )
25	16, 17, 24	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ^pm Z ) C_ ( X ^pm CC ) )
26		fvex 5701	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
27	1, 26	eqeltri 2513	. . . . . 6 |- Z e. _V
28		pmresg 7240	. . . . . 6 |- ( ( Z e. _V /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> ( F |` Z ) e. ( X ^pm Z ) )
29	27, 12, 28	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` Z ) e. ( X ^pm Z ) )
30	25, 29	sseldd 3357	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) )
31	30	biantrurd 508	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
32	11, 13, 31	3bitr3d 283	. 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) <-> ( ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
33		metxmet 19909	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
34	14, 33	syl 16	. . 3 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
35		caures.3	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
36		eqidd 2444	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
37		eqidd 2444	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) = ( F ` j ) )
38	1, 34, 35, 36, 37	iscau4 20790	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
39		fvres 5704	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( ( F |` Z ) ` k ) = ( F ` k ) )
40	39	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F |` Z ) ` k ) = ( F ` k ) )
41		fvres 5704	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( ( F |` Z ) ` j ) = ( F ` j ) )
42	41	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( F |` Z ) ` j ) = ( F ` j ) )
43	1, 34, 35, 40, 42	iscau4 20790	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` Z ) e. ( Cau ` D ) <-> ( ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
44	32, 38, 43	3bitr4d 285	1 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F |` Z ) e. ( Cau ` D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   C_ wss 3328   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   |` cres 4842   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   ^pm cpm 7215   CCcc 9280   < clt 9418   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   RR+crp 10991   *Metcxmt 17801   Metcme 17802   Caucca 20764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-2 10380  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-cau 20767

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