Theorem caures 29854

Description: The restriction of a Cauchy sequence to an upper set of integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caures.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
caures.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
caures.4	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
caures.5	|- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )

Assertion

Ref	Expression
caures	|- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F |` Z ) e. ( Cau ` D ) ) )

Proof of Theorem caures

Dummy variables j k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caures.1	. . . . . . . . . . 11 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	uztrn2 11095	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
3	2	adantll 713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
4	3	biantrurd 508	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k e. dom F <-> ( k e. Z /\ k e. dom F ) ) )
5		dmres 5292	. . . . . . . . 9 |- dom ( F |` Z ) = ( Z i^i dom F )
6	5	elin2 3689	. . . . . . . 8 |- ( k e. dom ( F |` Z ) <-> ( k e. Z /\ k e. dom F ) )
7	4, 6	syl6bbr 263	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k e. dom F <-> k e. dom ( F |` Z ) ) )
8	7	3anbi1d 1303	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
9	8	ralbidva 2900	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
10	9	rexbidva 2970	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
11	10	ralbidv 2903	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
12		caures.5	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
13	12	biantrurd 508	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
14		caures.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
15		elfvdm 5890	. . . . . . 7 |- ( D e. ( Met ` X ) -> X e. dom Met )
16	14, 15	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. dom Met )
17		cnex 9569	. . . . . 6 |- CC e. _V
18		ssid 3523	. . . . . . 7 |- X C_ X
19		uzssz 11097	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
20		zsscn 10868	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ CC
21	19, 20	sstri 3513	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ CC
22	1, 21	eqsstri 3534	. . . . . . 7 |- Z C_ CC
23		pmss12g 7442	. . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ X /\ Z C_ CC ) /\ ( X e. dom Met /\ CC e. _V ) ) -> ( X ^pm Z ) C_ ( X ^pm CC ) )
24	18, 22, 23	mpanl12 682	. . . . . 6 |- ( ( X e. dom Met /\ CC e. _V ) -> ( X ^pm Z ) C_ ( X ^pm CC ) )
25	16, 17, 24	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ^pm Z ) C_ ( X ^pm CC ) )
26		fvex 5874	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
27	1, 26	eqeltri 2551	. . . . . 6 |- Z e. _V
28		pmresg 7443	. . . . . 6 |- ( ( Z e. _V /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> ( F |` Z ) e. ( X ^pm Z ) )
29	27, 12, 28	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` Z ) e. ( X ^pm Z ) )
30	25, 29	sseldd 3505	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) )
31	30	biantrurd 508	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
32	11, 13, 31	3bitr3d 283	. 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) <-> ( ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
33		metxmet 20569	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
34	14, 33	syl 16	. . 3 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
35		caures.3	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
36		eqidd 2468	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
37		eqidd 2468	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) = ( F ` j ) )
38	1, 34, 35, 36, 37	iscau4 21450	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
39		fvres 5878	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( ( F |` Z ) ` k ) = ( F ` k ) )
40	39	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F |` Z ) ` k ) = ( F ` k ) )
41		fvres 5878	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( ( F |` Z ) ` j ) = ( F ` j ) )
42	41	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( F |` Z ) ` j ) = ( F ` j ) )
43	1, 34, 35, 40, 42	iscau4 21450	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` Z ) e. ( Cau ` D ) <-> ( ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
44	32, 38, 43	3bitr4d 285	1 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F |` Z ) e. ( Cau ` D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   |` cres 5001   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ^pm cpm 7418   CCcc 9486   < clt 9624   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   *Metcxmt 18171   Metcme 18172   Caucca 21424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-2 10590  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-cau 21427

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