Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caures Structured version   Unicode version

Theorem caures 29854
Description: The restriction of a Cauchy sequence to an upper set of integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caures.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caures.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
caures.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
caures.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
Assertion
Ref Expression
caures  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  |`  Z )  e.  ( Cau `  D
) ) )

Proof of Theorem caures
Dummy variables  j 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caures.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
21uztrn2 11095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
32adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  Z )
43biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  e.  dom  F  <->  ( k  e.  Z  /\  k  e.  dom  F ) ) )
5 dmres 5292 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( F  |`  Z )  =  ( Z  i^i  dom  F )
65elin2 3689 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  <->  ( k  e.  Z  /\  k  e.  dom  F ) )
74, 6syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  e.  dom  F  <->  k  e.  dom  ( F  |`  Z ) ) )
873anbi1d 1303 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
98ralbidva 2900 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
109rexbidva 2970 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
1110ralbidv 2903 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
12 caures.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
1312biantrurd 508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
14 caures.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
15 elfvdm 5890 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  e.  dom  Met )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  Met )
17 cnex 9569 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
18 ssid 3523 . . . . . . 7  |-  X  C_  X
19 uzssz 11097 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
20 zsscn 10868 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  CC
2119, 20sstri 3513 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
221, 21eqsstri 3534 . . . . . . 7  |-  Z  C_  CC
23 pmss12g 7442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  X  /\  Z  C_  CC )  /\  ( X  e. 
dom  Met  /\  CC  e.  _V ) )  ->  ( X  ^pm  Z )  C_  ( X  ^pm  CC ) )
2418, 22, 23mpanl12 682 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  dom  Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( X  ^pm  Z
)  C_  ( X  ^pm  CC ) )
2516, 17, 24sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  ^pm  Z
)  C_  ( X  ^pm  CC ) )
26 fvex 5874 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
271, 26eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
28 pmresg 7443 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  -> 
( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  Z ) )
2927, 12, 28sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  Z ) )
3025, 29sseldd 3505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  CC ) )
3130biantrurd 508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  <->  ( ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
3211, 13, 313bitr3d 283 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )  <->  ( ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
33 metxmet 20569 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
3414, 33syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
35 caures.3 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
36 eqidd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
37 eqidd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  j ) )
381, 34, 35, 36, 37iscau4 21450 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
39 fvres 5878 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( F  |`  Z ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
4039adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F  |`  Z ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
41 fvres 5878 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( F  |`  Z ) `
 j )  =  ( F `  j
) )
4241adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( F  |`  Z ) `
 j )  =  ( F `  j
) )
431, 34, 35, 40, 42iscau4 21450 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  Z )  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
4432, 38, 433bitr4d 285 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  |`  Z )  e.  ( Cau `  D
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   dom cdm 4999    |` cres 5001   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^pm cpm 7418   CCcc 9486    < clt 9624   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   *Metcxmt 18171   Metcme 18172   Caucca 21424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-2 10590  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-cau 21427
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator