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Theorem caures 31516
Description: The restriction of a Cauchy sequence to an upper set of integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caures.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caures.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
caures.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
caures.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
Assertion
Ref Expression
caures  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  |`  Z )  e.  ( Cau `  D
) ) )

Proof of Theorem caures
Dummy variables  j 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caures.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
21uztrn2 11062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
32adantll 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  Z )
43biantrurd 506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  e.  dom  F  <->  ( k  e.  Z  /\  k  e.  dom  F ) ) )
5 dmres 5235 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( F  |`  Z )  =  ( Z  i^i  dom  F )
65elin2 3629 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  <->  ( k  e.  Z  /\  k  e.  dom  F ) )
74, 6syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  e.  dom  F  <->  k  e.  dom  ( F  |`  Z ) ) )
873anbi1d 1305 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
98ralbidva 2839 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
109rexbidva 2914 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
1110ralbidv 2842 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
12 caures.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
1312biantrurd 506 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
14 caures.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
15 elfvdm 5831 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  e.  dom  Met )
1614, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  Met )
17 cnex 9523 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
18 ssid 3460 . . . . . . 7  |-  X  C_  X
19 uzssz 11064 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
20 zsscn 10833 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  CC
2119, 20sstri 3450 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
221, 21eqsstri 3471 . . . . . . 7  |-  Z  C_  CC
23 pmss12g 7403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  X  /\  Z  C_  CC )  /\  ( X  e. 
dom  Met  /\  CC  e.  _V ) )  ->  ( X  ^pm  Z )  C_  ( X  ^pm  CC ) )
2418, 22, 23mpanl12 680 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  dom  Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( X  ^pm  Z
)  C_  ( X  ^pm  CC ) )
2516, 17, 24sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  ^pm  Z
)  C_  ( X  ^pm  CC ) )
26 fvex 5815 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
271, 26eqeltri 2486 . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
28 pmresg 7404 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  -> 
( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  Z ) )
2927, 12, 28sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  Z ) )
3025, 29sseldd 3442 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  CC ) )
3130biantrurd 506 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  <->  ( ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
3211, 13, 313bitr3d 283 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )  <->  ( ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
33 metxmet 21021 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
3414, 33syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
35 caures.3 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
36 eqidd 2403 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
37 eqidd 2403 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  j ) )
381, 34, 35, 36, 37iscau4 21902 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
39 fvres 5819 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( F  |`  Z ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
4039adantl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F  |`  Z ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
41 fvres 5819 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( F  |`  Z ) `
 j )  =  ( F `  j
) )
4241adantl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( F  |`  Z ) `
 j )  =  ( F `  j
) )
431, 34, 35, 40, 42iscau4 21902 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  Z )  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
4432, 38, 433bitr4d 285 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  |`  Z )  e.  ( Cau `  D
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   dom cdm 4942    |` cres 4944   ` cfv 5525  (class class class)co 6234    ^pm cpm 7378   CCcc 9440    < clt 9578   ZZcz 10825   ZZ>=cuz 11045   RR+crp 11183   *Metcxmt 18615   Metcme 18616   Caucca 21876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-2 10555  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-cau 21879
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