Theorem caures 32089

Description: The restriction of a Cauchy sequence to an upper set of integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caures.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
caures.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
caures.4	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
caures.5	|- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )

Assertion

Ref	Expression
caures	|- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F |` Z ) e. ( Cau ` D ) ) )

Proof of Theorem caures

Dummy variables j k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caures.1	. . . . . . . . . . 11 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	uztrn2 11176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
3	2	adantll 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
4	3	biantrurd 511	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k e. dom F <-> ( k e. Z /\ k e. dom F ) ) )
5		dmres 5125	. . . . . . . . 9 |- dom ( F |` Z ) = ( Z i^i dom F )
6	5	elin2 3621	. . . . . . . 8 |- ( k e. dom ( F |` Z ) <-> ( k e. Z /\ k e. dom F ) )
7	4, 6	syl6bbr 267	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k e. dom F <-> k e. dom ( F |` Z ) ) )
8	7	3anbi1d 1343	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
9	8	ralbidva 2824	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
10	9	rexbidva 2898	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
11	10	ralbidv 2827	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
12		caures.5	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
13	12	biantrurd 511	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
14		caures.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
15		elfvdm 5891	. . . . . . 7 |- ( D e. ( Met ` X ) -> X e. dom Met )
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. dom Met )
17		cnex 9620	. . . . . 6 |- CC e. _V
18		ssid 3451	. . . . . . 7 |- X C_ X
19		uzssz 11178	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
20		zsscn 10945	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ CC
21	19, 20	sstri 3441	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ CC
22	1, 21	eqsstri 3462	. . . . . . 7 |- Z C_ CC
23		pmss12g 7498	. . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ X /\ Z C_ CC ) /\ ( X e. dom Met /\ CC e. _V ) ) -> ( X ^pm Z ) C_ ( X ^pm CC ) )
24	18, 22, 23	mpanl12 688	. . . . . 6 |- ( ( X e. dom Met /\ CC e. _V ) -> ( X ^pm Z ) C_ ( X ^pm CC ) )
25	16, 17, 24	sylancl 668	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ^pm Z ) C_ ( X ^pm CC ) )
26		fvex 5875	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
27	1, 26	eqeltri 2525	. . . . . 6 |- Z e. _V
28		pmresg 7499	. . . . . 6 |- ( ( Z e. _V /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> ( F |` Z ) e. ( X ^pm Z ) )
29	27, 12, 28	sylancr 669	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` Z ) e. ( X ^pm Z ) )
30	25, 29	sseldd 3433	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) )
31	30	biantrurd 511	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
32	11, 13, 31	3bitr3d 287	. 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) <-> ( ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
33		metxmet 21349	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
34	14, 33	syl 17	. . 3 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
35		caures.3	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
36		eqidd 2452	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
37		eqidd 2452	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) = ( F ` j ) )
38	1, 34, 35, 36, 37	iscau4 22249	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
39		fvres 5879	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( ( F |` Z ) ` k ) = ( F ` k ) )
40	39	adantl 468	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F |` Z ) ` k ) = ( F ` k ) )
41		fvres 5879	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( ( F |` Z ) ` j ) = ( F ` j ) )
42	41	adantl 468	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( F |` Z ) ` j ) = ( F ` j ) )
43	1, 34, 35, 40, 42	iscau4 22249	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` Z ) e. ( Cau ` D ) <-> ( ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
44	32, 38, 43	3bitr4d 289	1 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F |` Z ) e. ( Cau ` D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   C_ wss 3404   class class class wbr 4402   dom cdm 4834   |` cres 4836   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ^pm cpm 7473   CCcc 9537   < clt 9675   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   *Metcxmt 18955   Metcme 18956   Caucca 22223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-2 10668  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-cau 22226

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