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Theorem caures 28656
Description: The restriction of a Cauchy sequence to an upper set of integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caures.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caures.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
caures.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
caures.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
Assertion
Ref Expression
caures  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  |`  Z )  e.  ( Cau `  D
) ) )

Proof of Theorem caures
Dummy variables  j 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caures.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
21uztrn2 10878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
32adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  Z )
43biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  e.  dom  F  <->  ( k  e.  Z  /\  k  e.  dom  F ) ) )
5 dmres 5131 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( F  |`  Z )  =  ( Z  i^i  dom  F )
65elin2 3541 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  <->  ( k  e.  Z  /\  k  e.  dom  F ) )
74, 6syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  e.  dom  F  <->  k  e.  dom  ( F  |`  Z ) ) )
873anbi1d 1293 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
98ralbidva 2731 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
109rexbidva 2732 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
1110ralbidv 2735 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
12 caures.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
1312biantrurd 508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
14 caures.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
15 elfvdm 5716 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  e.  dom  Met )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  Met )
17 cnex 9363 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
18 ssid 3375 . . . . . . 7  |-  X  C_  X
19 uzssz 10880 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
20 zsscn 10654 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  CC
2119, 20sstri 3365 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
221, 21eqsstri 3386 . . . . . . 7  |-  Z  C_  CC
23 pmss12g 7239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  X  /\  Z  C_  CC )  /\  ( X  e. 
dom  Met  /\  CC  e.  _V ) )  ->  ( X  ^pm  Z )  C_  ( X  ^pm  CC ) )
2418, 22, 23mpanl12 682 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  dom  Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( X  ^pm  Z
)  C_  ( X  ^pm  CC ) )
2516, 17, 24sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  ^pm  Z
)  C_  ( X  ^pm  CC ) )
26 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
271, 26eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
28 pmresg 7240 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  -> 
( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  Z ) )
2927, 12, 28sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  Z ) )
3025, 29sseldd 3357 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  CC ) )
3130biantrurd 508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  <->  ( ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
3211, 13, 313bitr3d 283 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )  <->  ( ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
33 metxmet 19909 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
3414, 33syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
35 caures.3 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
36 eqidd 2444 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
37 eqidd 2444 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  j ) )
381, 34, 35, 36, 37iscau4 20790 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
39 fvres 5704 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( F  |`  Z ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
4039adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F  |`  Z ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
41 fvres 5704 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( F  |`  Z ) `
 j )  =  ( F `  j
) )
4241adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( F  |`  Z ) `
 j )  =  ( F `  j
) )
431, 34, 35, 40, 42iscau4 20790 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  Z )  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
4432, 38, 433bitr4d 285 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  |`  Z )  e.  ( Cau `  D
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   class class class wbr 4292   dom cdm 4840    |` cres 4842   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^pm cpm 7215   CCcc 9280    < clt 9418   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   RR+crp 10991   *Metcxmt 17801   Metcme 17802   Caucca 20764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-2 10380  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-cau 20767
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