Theorem caures 31516

Description: The restriction of a Cauchy sequence to an upper set of integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caures.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
caures.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
caures.4	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
caures.5	|- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )

Assertion

Ref	Expression
caures	|- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F |` Z ) e. ( Cau ` D ) ) )

Proof of Theorem caures

Dummy variables j k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caures.1	. . . . . . . . . . 11 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	uztrn2 11062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
3	2	adantll 712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
4	3	biantrurd 506	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k e. dom F <-> ( k e. Z /\ k e. dom F ) ) )
5		dmres 5235	. . . . . . . . 9 |- dom ( F |` Z ) = ( Z i^i dom F )
6	5	elin2 3629	. . . . . . . 8 |- ( k e. dom ( F |` Z ) <-> ( k e. Z /\ k e. dom F ) )
7	4, 6	syl6bbr 263	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k e. dom F <-> k e. dom ( F |` Z ) ) )
8	7	3anbi1d 1305	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
9	8	ralbidva 2839	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
10	9	rexbidva 2914	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
11	10	ralbidv 2842	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
12		caures.5	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
13	12	biantrurd 506	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
14		caures.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
15		elfvdm 5831	. . . . . . 7 |- ( D e. ( Met ` X ) -> X e. dom Met )
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. dom Met )
17		cnex 9523	. . . . . 6 |- CC e. _V
18		ssid 3460	. . . . . . 7 |- X C_ X
19		uzssz 11064	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
20		zsscn 10833	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ CC
21	19, 20	sstri 3450	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ CC
22	1, 21	eqsstri 3471	. . . . . . 7 |- Z C_ CC
23		pmss12g 7403	. . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ X /\ Z C_ CC ) /\ ( X e. dom Met /\ CC e. _V ) ) -> ( X ^pm Z ) C_ ( X ^pm CC ) )
24	18, 22, 23	mpanl12 680	. . . . . 6 |- ( ( X e. dom Met /\ CC e. _V ) -> ( X ^pm Z ) C_ ( X ^pm CC ) )
25	16, 17, 24	sylancl 660	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ^pm Z ) C_ ( X ^pm CC ) )
26		fvex 5815	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
27	1, 26	eqeltri 2486	. . . . . 6 |- Z e. _V
28		pmresg 7404	. . . . . 6 |- ( ( Z e. _V /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> ( F |` Z ) e. ( X ^pm Z ) )
29	27, 12, 28	sylancr 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` Z ) e. ( X ^pm Z ) )
30	25, 29	sseldd 3442	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) )
31	30	biantrurd 506	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
32	11, 13, 31	3bitr3d 283	. 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) <-> ( ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
33		metxmet 21021	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
34	14, 33	syl 17	. . 3 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
35		caures.3	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
36		eqidd 2403	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
37		eqidd 2403	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) = ( F ` j ) )
38	1, 34, 35, 36, 37	iscau4 21902	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
39		fvres 5819	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( ( F |` Z ) ` k ) = ( F ` k ) )
40	39	adantl 464	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F |` Z ) ` k ) = ( F ` k ) )
41		fvres 5819	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( ( F |` Z ) ` j ) = ( F ` j ) )
42	41	adantl 464	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( F |` Z ) ` j ) = ( F ` j ) )
43	1, 34, 35, 40, 42	iscau4 21902	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` Z ) e. ( Cau ` D ) <-> ( ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
44	32, 38, 43	3bitr4d 285	1 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F |` Z ) e. ( Cau ` D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   _Vcvv 3058   C_ wss 3413   class class class wbr 4394   dom cdm 4942   |` cres 4944   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   ^pm cpm 7378   CCcc 9440   < clt 9578   ZZcz 10825   ZZ>=cuz 11045   RR+crp 11183   *Metcxmt 18615   Metcme 18616   Caucca 21876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-2 10555  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-cau 21879

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