Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caurcvgr Structured version   Unicode version

Theorem caurcvgr 13737
 Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The third hypothesis specifies that is a Cauchy sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvgr.1
caurcvgr.2
caurcvgr.3
caurcvgr.4
Assertion
Ref Expression
caurcvgr
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem caurcvgr
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caurcvgr.1 . . . . 5
2 caurcvgr.2 . . . . 5
3 caurcvgr.3 . . . . 5
4 caurcvgr.4 . . . . 5
5 1rp 11313 . . . . . 6
65a1i 11 . . . . 5
71, 2, 3, 4, 6caucvgrlem 13735 . . . 4
8 simpl 458 . . . . 5
98rexlimivw 2911 . . . 4
107, 9syl 17 . . 3
1110recnd 9676 . 2
121adantr 466 . . . . 5
132adantr 466 . . . . . . 7
143adantr 466 . . . . . . 7
154adantr 466 . . . . . . 7
16 simpr 462 . . . . . . . 8
17 3re 10690 . . . . . . . . 9
18 3pos 10710 . . . . . . . . 9
1917, 18elrpii 11312 . . . . . . . 8
20 rpdivcl 11332 . . . . . . . 8
2116, 19, 20sylancl 666 . . . . . . 7
2212, 13, 14, 15, 21caucvgrlem 13735 . . . . . 6
23 simpr 462 . . . . . . 7
2423reximi 2890 . . . . . 6
2522, 24syl 17 . . . . 5
26 ssrexv 3526 . . . . 5
2712, 25, 26sylc 62 . . . 4
28 rpcn 11317 . . . . . . . . 9
2928adantl 467 . . . . . . . 8
30 3cn 10691 . . . . . . . . 9
3130a1i 11 . . . . . . . 8
32 3ne0 10711 . . . . . . . . 9
3332a1i 11 . . . . . . . 8
3429, 31, 33divcan2d 10392 . . . . . . 7
3534breq2d 4435 . . . . . 6
3635imbi2d 317 . . . . 5
3736rexralbidv 2944 . . . 4
3827, 37mpbid 213 . . 3
3938ralrimiva 2836 . 2
40 ax-resscn 9603 . . . 4
41 fss 5754 . . . 4
422, 40, 41sylancl 666 . . 3
43 eqidd 2423 . . 3
4442, 1, 43rlim 13558 . 2
4511, 39, 44mpbir2and 930 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  wral 2771  wrex 2772   wss 3436   class class class wbr 4423  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  csup 7963  cc 9544  cr 9545  cc0 9546  c1 9547   cmul 9551   cpnf 9679  cxr 9681   clt 9682   cle 9683   cmin 9867   cdiv 10276  c3 10667  crp 11309  cabs 13297  clsp 13523   crli 13548 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-ico 11648  df-seq 12220  df-exp 12279  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-rlim 13552 This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  13739  caurcvg  13741
 Copyright terms: Public domain W3C validator