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Theorem caurcvgr 13447
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The third hypothesis specifies that  F is a Cauchy sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvgr.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
caurcvgr.2  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
caurcvgr.3  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
caurcvgr.4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
Assertion
Ref Expression
caurcvgr  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  ( limsup `  F ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, A    j, F, k, x    ph, j, k, x

Proof of Theorem caurcvgr
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caurcvgr.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 caurcvgr.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
3 caurcvgr.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
4 caurcvgr.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
5 1rp 11215 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
71, 2, 3, 4, 6caucvgrlem 13446 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. j  e.  A  ( ( limsup `  F
)  e.  RR  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `  F
) ) )  < 
( 3  x.  1 ) ) ) )
8 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( ( limsup `  F )  e.  RR  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  1 ) ) )  ->  ( limsup `  F )  e.  RR )
98rexlimivw 2947 . . . 4  |-  ( E. j  e.  A  ( ( limsup `  F )  e.  RR  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  1 ) ) )  ->  ( limsup `  F )  e.  RR )
107, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( limsup `  F )  e.  RR )
1110recnd 9613 . 2  |-  ( ph  ->  ( limsup `  F )  e.  CC )
121adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  A  C_  RR )
132adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  F : A
--> RR )
143adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
154adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
) )
16 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
17 3re 10600 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
18 3pos 10620 . . . . . . . . 9  |-  0  <  3
1917, 18elrpii 11214 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR+
20 rpdivcl 11233 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  (
y  /  3 )  e.  RR+ )
2116, 19, 20sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( y  /  3 )  e.  RR+ )
2212, 13, 14, 15, 21caucvgrlem 13446 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  A  ( ( limsup `
 F )  e.  RR  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  ( y  / 
3 ) ) ) ) )
23 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( limsup `  F )  e.  RR  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  ( y  / 
3 ) ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  ( y  / 
3 ) ) ) )
2423reximi 2927 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  A  ( ( limsup `  F )  e.  RR  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  ( y  / 
3 ) ) ) )  ->  E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  ( y  / 
3 ) ) ) )
2522, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  ( y  / 
3 ) ) ) )
26 ssrexv 3560 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `  F
) ) )  < 
( 3  x.  (
y  /  3 ) ) )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  ( y  / 
3 ) ) ) ) )
2712, 25, 26sylc 60 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  ( y  / 
3 ) ) ) )
28 rpcn 11219 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  CC )
2928adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  CC )
30 3cn 10601 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  CC
3130a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  3  e.  CC )
32 3ne0 10621 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  0
3332a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  3  =/=  0 )
3429, 31, 33divcan2d 10313 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( 3  x.  ( y  / 
3 ) )  =  y )
3534breq2d 4454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( limsup `  F )
) )  <  (
3  x.  ( y  /  3 ) )  <-> 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( limsup `  F ) ) )  <  y ) )
3635imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `  F
) ) )  < 
( 3  x.  (
y  /  3 ) ) )  <->  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  y ) ) )
3736rexralbidv 2976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  ( y  / 
3 ) ) )  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `  F
) ) )  < 
y ) ) )
3827, 37mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  y ) )
3938ralrimiva 2873 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `  F
) ) )  < 
y ) )
40 ax-resscn 9540 . . . 4  |-  RR  C_  CC
41 fss 5732 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  F : A --> CC )
422, 40, 41sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
43 eqidd 2463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
4442, 1, 43rlim 13269 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  (
limsup `  F )  <->  ( ( limsup `
 F )  e.  CC  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  y ) ) ) )
4511, 39, 44mpbir2and 915 1  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  ( limsup `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810    C_ wss 3471   class class class wbr 4442   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   supcsup 7891   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    x. cmul 9488   +oocpnf 9616   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9796    / cdiv 10197   3c3 10577   RR+crp 11211   abscabs 13019   limsupclsp 13244    ~~> r crli 13259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-ico 11526  df-seq 12066  df-exp 12125  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-rlim 13263
This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  13448  caurcvg  13450
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