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Theorem caurcvg2 13722
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvg.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caurcvg2.2  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
caurcvg2.3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )
Assertion
Ref Expression
caurcvg2  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    ph, j, k, x   
j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    V( x, j, k)

Proof of Theorem caurcvg2
Dummy variables  i  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 11306 . . . 4  |-  1  e.  RR+
21ne0ii 3774 . . 3  |-  RR+  =/=  (/)
3 caurcvg2.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )
4 r19.2z 3892 . . 3  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )  ->  E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
52, 3, 4sylancr 667 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )
6 simpl 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )
76ralimi 2825 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR )
8 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  j )  =  (
ZZ>= `  j )
9 simprr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR )
10 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
1110eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  n )  e.  RR ) )
1211rspccva 3187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( F `  k )  e.  RR  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
139, 12sylan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  RR ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( F `  n
)  e.  RR )
14 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) )
1513, 14fmptd 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> RR )
16 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  m  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  m )
)
17 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  m  ->  ( F `  j )  =  ( F `  m ) )
1817oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  m  ->  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )
1918fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  m  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  m ) ) ) )
2019breq1d 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  m  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  m )
) )  <  x
) )
2120anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  m  ->  (
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) ) )
2216, 21raleqbidv 3046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  m  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) ) )
2322cbvrexv 3063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  <->  E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) )
24 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  k )  =  ( F `  i ) )
2524eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  i )  e.  RR ) )
2624oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) )  =  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )
2726fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) ) )
2827breq1d 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m )
) )  <  x
) )
2925, 28anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  i )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) ) )
3029cbvralv 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  <->  A. i  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  i
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) )
31 recn 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  i )  e.  RR  ->  ( F `  i )  e.  CC )
3231anim1i 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3332ralimi 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  i )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3430, 33sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3534reximi 2900 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  ->  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3623, 35sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3736ralimi 2825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
) )
383, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
) )
3938adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
40 caucvg.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
4140, 8cau4 13398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) ) )
4241ad2antrl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) ) )
4339, 42mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) )
44 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )
458uztrn2 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)
46 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  i  ->  ( F `  n )  =  ( F `  i ) )
47 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 i )  e. 
_V
4846, 14, 47fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 i )  =  ( F `  i
) )
4945, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 i )  =  ( F `  i
) )
50 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
51 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 m )  e. 
_V
5250, 14, 51fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 m )  =  ( F `  m
) )
5352adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 m )  =  ( F `  m
) )
5449, 53oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  m ) )  =  ( ( F `  i )  -  ( F `  m )
) )
5554fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  (
( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  m ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) ) )
5655breq1d 4436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 i )  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) `  m
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
5744, 56syl5ibr 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( abs `  (
( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) `  i
)  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 m ) ) )  <  x ) )
5857ralimdva 2840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) `  i
)  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 m ) ) )  <  x ) )
5958reximia 2898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )  ->  E. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  (
( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  m ) ) )  <  x
)
6059ralimi 2825 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( abs `  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  m ) ) )  <  x )
6143, 60syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( abs `  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  m ) ) )  <  x )
628, 15, 61caurcvg 13720 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) )  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) ) )
63 eluzelz 11168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
6463, 40eleq2s 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
6564ad2antrl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  j  e.  ZZ )
66 caurcvg2.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
6766adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  F  e.  V )
68 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
6968cbvmptv 4518 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) )  =  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  k ) )
708, 69climmpt 13613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) )  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) ) ) )
7165, 67, 70syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  ( F  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) )  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) ) ) )
7262, 71mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  F  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) ) )
73 climrel 13534 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~~>
7473releldmi 5091 . . . . . . 7  |-  ( F  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
7572, 74syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  F  e.  dom 
~~>  )
7675expr 618 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  RR  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
777, 76syl5 33 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
7877rexlimdva 2924 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
7978rexlimdvw 2927 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
805, 79mpd 15 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   (/)c0 3767   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   1c1 9539    < clt 9674    - cmin 9859   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   abscabs 13276   limsupclsp 13502    ~~> cli 13526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-inf 7963  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531
This theorem is referenced by:  iseralt  13729  cvgcmp  13854
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