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Theorem caurcvg2 13451
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvg.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caurcvg2.2  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
caurcvg2.3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )
Assertion
Ref Expression
caurcvg2  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    ph, j, k, x   
j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    V( x, j, k)

Proof of Theorem caurcvg2
Dummy variables  i  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 11215 . . . 4  |-  1  e.  RR+
2 ne0i 3786 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR+  ->  RR+  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  RR+  =/=  (/)
4 caurcvg2.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )
5 r19.2z 3912 . . 3  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )  ->  E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
63, 4, 5sylancr 663 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )
7 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )
87ralimi 2852 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR )
9 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  j )  =  (
ZZ>= `  j )
10 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR )
11 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
1211eleq1d 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  n )  e.  RR ) )
1312rspccva 3208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( F `  k )  e.  RR  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
1410, 13sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  RR ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( F `  n
)  e.  RR )
15 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) )
1614, 15fmptd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> RR )
17 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  m  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  m )
)
18 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  m  ->  ( F `  j )  =  ( F `  m ) )
1918oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  m  ->  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )
2019fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  m  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  m ) ) ) )
2120breq1d 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  m  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  m )
) )  <  x
) )
2221anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  m  ->  (
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) ) )
2317, 22raleqbidv 3067 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  m  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) ) )
2423cbvrexv 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  <->  E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) )
25 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  k )  =  ( F `  i ) )
2625eleq1d 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  i )  e.  RR ) )
2725oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) )  =  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )
2827fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) ) )
2928breq1d 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m )
) )  <  x
) )
3026, 29anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  i )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) ) )
3130cbvralv 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  <->  A. i  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  i
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) )
32 recn 9573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  i )  e.  RR  ->  ( F `  i )  e.  CC )
3332anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3433ralimi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  i )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3531, 34sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3635reximi 2927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  ->  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3724, 36sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3837ralimi 2852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
) )
394, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
) )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
41 caucvg.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
4241, 9cau4 13140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) ) )
4342ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) ) )
4440, 43mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) )
45 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )
469uztrn2 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)
47 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  i  ->  ( F `  n )  =  ( F `  i ) )
48 fvex 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 i )  e. 
_V
4947, 15, 48fvmpt 5943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 i )  =  ( F `  i
) )
5046, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 i )  =  ( F `  i
) )
51 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
52 fvex 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 m )  e. 
_V
5351, 15, 52fvmpt 5943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 m )  =  ( F `  m
) )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 m )  =  ( F `  m
) )
5550, 54oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  m ) )  =  ( ( F `  i )  -  ( F `  m )
) )
5655fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  (
( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  m ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) ) )
5756breq1d 4452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 i )  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) `  m
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
5845, 57syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( abs `  (
( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) `  i
)  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 m ) ) )  <  x ) )
5958ralimdva 2867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) `  i
)  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 m ) ) )  <  x ) )
6059reximia 2925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )  ->  E. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  (
( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  m ) ) )  <  x
)
6160ralimi 2852 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( abs `  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  m ) ) )  <  x )
6244, 61syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( abs `  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  m ) ) )  <  x )
639, 16, 62caurcvg 13450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) )  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) ) )
64 eluzelz 11082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
6564, 41eleq2s 2570 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
6665ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  j  e.  ZZ )
67 caurcvg2.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
6867adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  F  e.  V )
69 fveq2 5859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
7069cbvmptv 4533 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) )  =  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  k ) )
719, 70climmpt 13345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) )  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) ) ) )
7266, 68, 71syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  ( F  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) )  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) ) ) )
7363, 72mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  F  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) ) )
74 climrel 13266 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~~>
7574releldmi 5232 . . . . . . 7  |-  ( F  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
7673, 75syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  F  e.  dom 
~~>  )
7776expr 615 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  RR  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
788, 77syl5 32 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
7978rexlimdva 2950 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
8079rexlimdvw 2953 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
816, 80mpd 15 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810   (/)c0 3780   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   dom cdm 4994   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   1c1 9484    < clt 9619    - cmin 9796   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073   RR+crp 11211   abscabs 13019   limsupclsp 13244    ~~> cli 13258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-ico 11526  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263
This theorem is referenced by:  iseralt  13458  cvgcmp  13581
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