Theorem cauimi 8180

Description: The imaginary part of a complex Caucy sequence is a Cauchy sequence.

Hypotheses

Ref	Expression
cauim.1	|- F:NN-->CC
cauim.2	|- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
cauim.3	|- G Fn NN
cauim.4	|- (x e. NN -> (G` x) = (Im` (F` x)))

Assertion

Ref	Expression
cauimi	|- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((G` y) - (G` w))) < z))

Distinct variable groups:   y,z,w   x,y,w   x,F   x,G

Proof of Theorem cauimi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cauim.2	. 2 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
2		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = y -> (G` x) = (G` y))
3		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = y -> (F` x) = (F` y))
4	3	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = y -> (Im` (F` x)) = (Im` (F` y)))
5	2, 4	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = y -> ((G` x) = (Im` (F` x)) <-> (G` y) = (Im` (F` y))))
6		cauim.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. NN -> (G` x) = (Im` (F` x)))
7	5, 6	vtoclga 2352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. NN -> (G` y) = (Im` (F` y)))
8		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = w -> (G` x) = (G` w))
9		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = w -> (F` x) = (F` w))
10	9	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = w -> (Im` (F` x)) = (Im` (F` w)))
11	8, 10	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = w -> ((G` x) = (Im` (F` x)) <-> (G` w) = (Im` (F` w))))
12	11, 6	vtoclga 2352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. NN -> (G` w) = (Im` (F` w)))
13	7, 12	opreqan12d 4902	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> ((G` y) - (G` w)) = ((Im` (F` y)) - (Im` (F` w))))
14		imsub 8059	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F` y) e. CC /\ (F` w) e. CC) -> (Im` ((F` y) - (F` w))) = ((Im` (F` y)) - (Im` (F` w))))
15		cauim.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F:NN-->CC
16	15	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. NN -> (F` y) e. CC)
17	15	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. NN -> (F` w) e. CC)
18	14, 16, 17	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (Im` ((F` y) - (F` w))) = ((Im` (F` y)) - (Im` (F` w))))
19	13, 18	eqtr4d 1928	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> ((G` y) - (G` w)) = (Im` ((F` y) - (F` w))))
20	19	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (abs` ((G` y) - (G` w))) = (abs` (Im` ((F` y) - (F` w)))))
21		subcl 6524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F` y) e. CC /\ (F` w) e. CC) -> ((F` y) - (F` w)) e. CC)
22	21, 16, 17	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> ((F` y) - (F` w)) e. CC)
23		absimle 8122	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` y) - (F` w)) e. CC -> (abs` (Im` ((F` y) - (F` w)))) <_ (abs` ((F` y) - (F` w))))
24	22, 23	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (abs` (Im` ((F` y) - (F` w)))) <_ (abs` ((F` y) - (F` w))))
25	20, 24	eqbrtrd 3357	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (abs` ((G` y) - (G` w))) <_ (abs` ((F` y) - (F` w))))
26	25	3adant3 896	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. NN /\ w e. NN /\ z e. RR) -> (abs` ((G` y) - (G` w))) <_ (abs` ((F` y) - (F` w))))
27		resubcl 6601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((G` y) e. RR /\ (G` w) e. RR) -> ((G` y) - (G` w)) e. RR)
28		ffnfv 4801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (G:NN-->RR <-> (G Fn NN /\ A.x e. NN (G` x) e. RR))
29		cauim.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- G Fn NN
30	15	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (x e. NN -> (F` x) e. CC)
31		imcl 8008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((F` x) e. CC -> (Im` (F` x)) e. RR)
32	30, 31	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x e. NN -> (Im` (F` x)) e. RR)
33	6, 32	eqeltrd 1971	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x e. NN -> (G` x) e. RR)
34	33	rgen 2159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- A.x e. NN (G` x) e. RR
35	28, 29, 34	mpbir2an 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- G:NN-->RR
36	35	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. NN -> (G` y) e. RR)
37	35	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. NN -> (G` w) e. RR)
38	27, 36, 37	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> ((G` y) - (G` w)) e. RR)
39	38	recnd 6468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> ((G` y) - (G` w)) e. CC)
40		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((G` y) - (G` w)) e. CC -> (abs` ((G` y) - (G` w))) e. RR)
41	39, 40	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (abs` ((G` y) - (G` w))) e. RR)
42	41	3adant3 896	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. NN /\ w e. NN /\ z e. RR) -> (abs` ((G` y) - (G` w))) e. RR)
43		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` y) - (F` w)) e. CC -> (abs` ((F` y) - (F` w))) e. RR)
44	22, 43	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (abs` ((F` y) - (F` w))) e. RR)
45	44	3adant3 896	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. NN /\ w e. NN /\ z e. RR) -> (abs` ((F` y) - (F` w))) e. RR)
46		simp3 878	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. NN /\ w e. NN /\ z e. RR) -> z e. RR)
47		lelttr 6693	. . . . . . . . . . 11 |- (((abs` ((G` y) - (G` w))) e. RR /\ (abs` ((F` y) - (F` w))) e. RR /\ z e. RR) -> (((abs` ((G` y) - (G` w))) <_ (abs` ((F` y) - (F` w))) /\ (abs` ((F` y) - (F` w))) < z) -> (abs` ((G` y) - (G` w))) < z))
48	42, 45, 46, 47	syl111anc 1100	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. NN /\ w e. NN /\ z e. RR) -> (((abs` ((G` y) - (G` w))) <_ (abs` ((F` y) - (F` w))) /\ (abs` ((F` y) - (F` w))) < z) -> (abs` ((G` y) - (G` w))) < z))
49	26, 48	mpand 765	. . . . . . . . 9 |- ((y e. NN /\ w e. NN /\ z e. RR) -> ((abs` ((F` y) - (F` w))) < z -> (abs` ((G` y) - (G` w))) < z))
50	49	3com13 1073	. . . . . . . 8 |- ((z e. RR /\ w e. NN /\ y e. NN) -> ((abs` ((F` y) - (F` w))) < z -> (abs` ((G` y) - (G` w))) < z))
51	50	3expa 1067	. . . . . . 7 |- (((z e. RR /\ w e. NN) /\ y e. NN) -> ((abs` ((F` y) - (F` w))) < z -> (abs` ((G` y) - (G` w))) < z))
52	51	imim2d 28	. . . . . 6 |- (((z e. RR /\ w e. NN) /\ y e. NN) -> ((w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z) -> (w < y -> (abs` ((G` y) - (G` w))) < z)))
53	52	ralimdvaa 2171	. . . . 5 |- ((z e. RR /\ w e. NN) -> (A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z) -> A.y e. NN (w < y -> (abs` ((G` y) - (G` w))) < z)))
54	53	reximdva 2203	. . . 4 |- (z e. RR -> (E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z) -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((G` y) - (G` w))) < z)))
55	54	imim2d 28	. . 3 |- (z e. RR -> ((0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z)) -> (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((G` y) - (G` w))) < z))))
56	55	ralimia 2166	. 2 |- (A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z)) -> A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((G` y) - (G` w))) < z)))
57	1, 56	ax-mp 7	1 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((G` y) - (G` w))) < z))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   - cmin 6445   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  Imcim 7998  abscabs 8000

This theorem is referenced by:  caucvg3ai 8424  caucvg3lem 8426

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004

Copyright terms: Public domain