Theorem caufval 9204

Description: The set of Cauchy sequences on a metric space.

Hypothesis

Ref	Expression
lmfval.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
caufval	|- (D e. Met -> (Cau` D) = {f | (f C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})

Distinct variable groups:   f,j,k,m,x,D   f,X

Proof of Theorem caufval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmexg 4206	. . . . 5 |- (D e. Met -> dom D e. _V)
2		dmexg 4206	. . . . 5 |- (dom D e. _V -> dom dom D e. _V)
3	1, 2	syl 12	. . . 4 |- (D e. Met -> dom dom D e. _V)
4		lmfval.1	. . . 4 |- X = dom dom D
5	3, 4	syl5eqel 1975	. . 3 |- (D e. Met -> X e. _V)
6		axcnex 6419	. . . 4 |- CC e. _V
7		xpexg 4095	. . . 4 |- ((CC e. _V /\ X e. _V) -> (CC X. X) e. _V)
8	6, 7	mpan 759	. . 3 |- (X e. _V -> (CC X. X) e. _V)
9		abssexg 3490	. . 3 |- ((CC X. X) e. _V -> {f | (f C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} e. _V)
10	5, 8, 9	3syl 24	. 2 |- (D e. Met -> {f | (f C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} e. _V)
11		dmeq 4157	. . . . . . . . 9 |- (z = D -> dom z = dom D)
12	11	dmeqd 4159	. . . . . . . 8 |- (z = D -> dom dom z = dom dom D)
13	12, 4	syl6eqr 1946	. . . . . . 7 |- (z = D -> dom dom z = X)
14		xpeq2 4017	. . . . . . 7 |- (dom dom z = X -> (CC X. dom dom z) = (CC X. X))
15	13, 14	syl 12	. . . . . 6 |- (z = D -> (CC X. dom dom z) = (CC X. X))
16	15	sseq2d 2645	. . . . 5 |- (z = D -> (f C_ (CC X. dom dom z) <-> f C_ (CC X. X)))
17	13	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . 11 |- (z = D -> ((f` k) e. dom dom z <-> (f` k) e. X))
18	13	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . 11 |- (z = D -> ((f` m) e. dom dom z <-> (f` m) e. X))
19	17, 18	3anbi12d 1169	. . . . . . . . . 10 |- (z = D -> (((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x) <-> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))
20	19	imbi2d 674	. . . . . . . . 9 |- (z = D -> (((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))
21	20	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (z = D -> (A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))
22	21	rexralbidv 2142	. . . . . . 7 |- (z = D -> (E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))
23	22	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (z = D -> ((0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x))) <-> (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))))
24	23	ralbidv 2123	. . . . 5 |- (z = D -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))))
25	16, 24	anbi12d 690	. . . 4 |- (z = D -> ((f C_ (CC X. dom dom z) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))) <-> (f C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))))
26	25	abbidv 2008	. . 3 |- (z = D -> {f | (f C_ (CC X. dom dom z) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} = {f | (f C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})
27		df-cau 9201	. . 3 |- Cau = {<.z, w>. | (z e. Met /\ w = {f | (f C_ (CC X. dom dom z) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})}
28	26, 27	fvopab4g 4742	. 2 |- ((D e. Met /\ {f | (f C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} e. _V) -> (Cau` D) = {f | (f C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})
29	10, 28	mpdan 768	1 |- (D e. Met -> (Cau` D) = {f | (f C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  Metcme 9066  Caucca 9198

This theorem is referenced by:  iscau 9214  h2hcau 10481

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-qs 5323  df-ni 6152  df-nq 6190  df-np 6238  df-nr 6319  df-c 6392  df-cau 9201

Copyright terms: Public domain