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Theorem caucvgrlem2 13157
Description: Lemma for caucvgr 13158. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgr.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
caucvgr.2  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
caucvgr.3  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
caucvgr.4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
caucvgrlem2.5  |-  H : CC
--> RR
caucvgrlem2.6  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( H `  ( F `  k )
)  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgrlem2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  ( H `  ( F `  n )
) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( H  o.  F ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, n, x, A    j, F, k, n, x    j, H, k, n, x    ph, j,
k, n, x

Proof of Theorem caucvgrlem2
StepHypRef Expression
1 caucvgrlem2.5 . . 3  |-  H : CC
--> RR
2 caucvgr.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3 fcompt 5884 . . 3  |-  ( ( H : CC --> RR  /\  F : A --> CC )  ->  ( H  o.  F )  =  ( n  e.  A  |->  ( H `  ( F `
 n ) ) ) )
41, 2, 3sylancr 663 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  =  ( n  e.  A  |->  ( H `
 ( F `  n ) ) ) )
5 caucvgr.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6 fco 5573 . . . . . 6  |-  ( ( H : CC --> RR  /\  F : A --> CC )  ->  ( H  o.  F ) : A --> RR )
71, 2, 6sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
) : A --> RR )
8 caucvgr.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
9 caucvgr.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
102ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  F : A
--> CC )
11 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  k  e.  A )
1210, 11ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
13 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  j  e.  A )
1410, 13ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( F `  j )  e.  CC )
15 caucvgrlem2.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( H `  ( F `  k )
)  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )
1612, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( abs `  ( ( H `  ( F `  k ) )  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )
171ffvelrni 5847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( H `  ( F `  k ) )  e.  RR )
1812, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( H `  ( F `  k
) )  e.  RR )
191ffvelrni 5847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  j )  e.  CC  ->  ( H `  ( F `  j ) )  e.  RR )
2014, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( H `  ( F `  j
) )  e.  RR )
2118, 20resubcld 9781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( ( H `  ( F `  k ) )  -  ( H `  ( F `
 j ) ) )  e.  RR )
2221recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( ( H `  ( F `  k ) )  -  ( H `  ( F `
 j ) ) )  e.  CC )
2322abscld 12927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( abs `  ( ( H `  ( F `  k ) )  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  e.  RR )
2412, 14subcld 9724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) )  e.  CC )
2524abscld 12927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  e.  RR )
26 rpre 11002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  x  e.  RR )
28 lelttr 9470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  (
( H `  ( F `  k )
)  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( H `  ( F `  k )
)  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  ( abs `  ( ( H `  ( F `  k ) )  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <  x ) )
2923, 25, 27, 28syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( (
( abs `  (
( H `  ( F `  k )
)  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  ( abs `  ( ( H `  ( F `  k ) )  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <  x ) )
3016, 29mpand 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  ->  ( abs `  (
( H `  ( F `  k )
)  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <  x ) )
31 fvco3 5773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> CC  /\  k  e.  A )  ->  ( ( H  o.  F ) `  k
)  =  ( H `
 ( F `  k ) ) )
3210, 11, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  =  ( H `  ( F `
 k ) ) )
33 fvco3 5773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> CC  /\  j  e.  A )  ->  ( ( H  o.  F ) `  j
)  =  ( H `
 ( F `  j ) ) )
3410, 13, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  j )  =  ( H `  ( F `
 j ) ) )
3532, 34oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( (
( H  o.  F
) `  k )  -  ( ( H  o.  F ) `  j ) )  =  ( ( H `  ( F `  k ) )  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )
3635fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( abs `  ( ( ( H  o.  F ) `  k )  -  (
( H  o.  F
) `  j )
) )  =  ( abs `  ( ( H `  ( F `
 k ) )  -  ( H `  ( F `  j ) ) ) ) )
3736breq1d 4307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( H  o.  F ) `
 k )  -  ( ( H  o.  F ) `  j
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
( H `  ( F `  k )
)  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <  x ) )
3830, 37sylibrd 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  ->  ( abs `  (
( ( H  o.  F ) `  k
)  -  ( ( H  o.  F ) `
 j ) ) )  <  x ) )
3938imim2d 52 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  -> 
( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( ( H  o.  F ) `  k
)  -  ( ( H  o.  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4039anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  A
)  ->  ( (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  -> 
( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( ( H  o.  F ) `  k
)  -  ( ( H  o.  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4140ralimdva 2799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  A )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( ( H  o.  F ) `  k
)  -  ( ( H  o.  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4241reximdva 2833 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( ( H  o.  F ) `  k
)  -  ( ( H  o.  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4342ralimdva 2799 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( ( H  o.  F
) `  k )  -  ( ( H  o.  F ) `  j ) ) )  <  x ) ) )
449, 43mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( ( H  o.  F
) `  k )  -  ( ( H  o.  F ) `  j ) ) )  <  x ) )
455, 7, 8, 44caurcvgr 13156 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  ~~> r  ( limsup `  ( H  o.  F
) ) )
46 rlimrel 12976 . . . . 5  |-  Rel  ~~> r
4746releldmi 5081 . . . 4  |-  ( ( H  o.  F )  ~~> r  ( limsup `  ( H  o.  F )
)  ->  ( H  o.  F )  e.  dom  ~~> r  )
4845, 47syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  e.  dom  ~~> r  )
49 ax-resscn 9344 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
50 fss 5572 . . . . 5  |-  ( ( ( H  o.  F
) : A --> RR  /\  RR  C_  CC )  -> 
( H  o.  F
) : A --> CC )
517, 49, 50sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
) : A --> CC )
5251, 8rlimdm 13034 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H  o.  F )  e.  dom  ~~> r  <-> 
( H  o.  F
)  ~~> r  (  ~~> r  `  ( H  o.  F
) ) ) )
5348, 52mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  ~~> r  (  ~~> r  `  ( H  o.  F
) ) )
544, 53eqbrtrrd 4319 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  ( H `  ( F `  n )
) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( H  o.  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721    C_ wss 3333   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   dom cdm 4845    o. ccom 4849   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   supcsup 7695   CCcc 9285   RRcr 9286   +oocpnf 9420   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   RR+crp 10996   abscabs 12728   limsupclsp 12953    ~~> r crli 12968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-ico 11311  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-rlim 12972
This theorem is referenced by:  caucvgr  13158
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