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Theorem caucvgrlem 13714
Description: Lemma for caurcvgr 13716. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvgr.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
caurcvgr.2  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
caurcvgr.3  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
caurcvgr.4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
caucvgrlem.4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
caucvgrlem  |-  ( ph  ->  E. j  e.  A  ( ( limsup `  F
)  e.  RR  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `  F
) ) )  < 
( 3  x.  R
) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, A    j, F, k, x    ph, j, k, x    R, j, k, x

Proof of Theorem caucvgrlem
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caurcvgr.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
2 caurcvgr.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 reex 9629 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
43ssex 4569 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  A  e. 
_V )
52, 4syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
63a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
7 fex2 6762 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
81, 5, 6, 7syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
9 limsupcl 13507 . . . . . 6  |-  ( F  e.  _V  ->  ( limsup `
 F )  e. 
RR* )
108, 9syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( limsup `  F )  e.  RR* )
1110adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( limsup `  F )  e.  RR* )
121adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  F : A --> RR )
13 simprl 762 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
j  e.  A )
1412, 13ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( F `  j
)  e.  RR )
15 caucvgrlem.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1615rpred 11341 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
1716adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  R  e.  RR )
1814, 17readdcld 9669 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( ( F `  j )  +  R
)  e.  RR )
19 mnfxr 11414 . . . . . 6  |- -oo  e.  RR*
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> -oo  e.  RR* )
2114, 17resubcld 10046 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( ( F `  j )  -  R
)  e.  RR )
2221rexrd 9689 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( ( F `  j )  -  R
)  e.  RR* )
2321mnfltd 11426 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> -oo  <  ( ( F `
 j )  -  R ) )
242adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  A  C_  RR )
25 ressxr 9683 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
26 fss 5754 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> RR  /\  RR  C_  RR* )  ->  F : A --> RR* )
271, 25, 26sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> RR* )
2827adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  F : A --> RR* )
29 caurcvgr.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
3029adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
3124, 13sseldd 3471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
j  e.  RR )
32 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R ) )
33 breq2 4430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
j  <_  k  <->  j  <_  m ) )
34 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
3534oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 m )  -  ( F `  j ) ) )
3635fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) ) )
3736breq1d 4436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R  <->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) )
3833, 37imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R )  <-> 
( j  <_  m  ->  ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R ) ) )
3938cbvralv 3062 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R )  <->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) )
4032, 39sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R ) )
4112ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( F `  m )  e.  RR )
4214adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
4341, 42resubcld 10046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) )  e.  RR )
4443recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) )  e.  CC )
4544abscld 13476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  ( F `  j ) ) )  e.  RR )
4617adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  R  e.  RR )
47 ltle 9721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <_  R )
)
4845, 46, 47syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <_  R )
)
4941, 42, 46absdifled 13475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <_  R  <->  ( (
( F `  j
)  -  R )  <_  ( F `  m )  /\  ( F `  m )  <_  ( ( F `  j )  +  R
) ) ) )
5048, 49sylibd 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R  -> 
( ( ( F `
 j )  -  R )  <_  ( F `  m )  /\  ( F `  m
)  <_  ( ( F `  j )  +  R ) ) ) )
51 simpl 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( F `  m )  /\  ( F `  m )  <_  ( ( F `  j )  +  R
) )  ->  (
( F `  j
)  -  R )  <_  ( F `  m ) )
5250, 51syl6 34 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R  -> 
( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( F `  m ) ) )
5352imim2d 54 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( j  <_  m  ->  ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R )  ->  ( j  <_  m  ->  ( ( F `
 j )  -  R )  <_  ( F `  m )
) ) )
5453ralimdva 2840 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R )  ->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( F `  m ) ) ) )
5540, 54mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( F `  m ) ) )
56 breq1 4429 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
n  <_  m  <->  j  <_  m ) )
5756imbi1d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  (
( n  <_  m  ->  ( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( F `  m ) )  <->  ( j  <_  m  ->  ( ( F `  j )  -  R )  <_  ( F `  m )
) ) )
5857ralbidv 2871 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  ( A. m  e.  A  ( n  <_  m  -> 
( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( F `  m ) )  <->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( ( F `  j )  -  R )  <_  ( F `  m )
) ) )
5958rspcev 3188 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  RR  /\  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( ( F `  j
)  -  R )  <_  ( F `  m ) ) )  ->  E. n  e.  RR  A. m  e.  A  ( n  <_  m  ->  ( ( F `  j
)  -  R )  <_  ( F `  m ) ) )
6031, 55, 59syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  E. n  e.  RR  A. m  e.  A  ( n  <_  m  ->  ( ( F `  j
)  -  R )  <_  ( F `  m ) ) )
6124, 28, 22, 30, 60limsupbnd2 13524 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( limsup `  F ) )
6220, 22, 11, 23, 61xrltletrd 11458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> -oo  <  ( limsup `  F
) )
6318rexrd 9689 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( ( F `  j )  +  R
)  e.  RR* )
6445adantrr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  e.  RR )
6517adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  ->  R  e.  RR )
66 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  ->  m  e.  A )
67 simplrr 769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  ->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R ) )
68 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
j  <_  m )
6938rspcv 3184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R )  ->  ( j  <_  m  ->  ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R ) ) )
7066, 67, 68, 69syl3c 63 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R )
7164, 65, 70ltled 9782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <_  R )
7241adantrr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( F `  m
)  e.  RR )
7314adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( F `  j
)  e.  RR )
7472, 73, 65absdifled 13475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <_  R  <->  ( (
( F `  j
)  -  R )  <_  ( F `  m )  /\  ( F `  m )  <_  ( ( F `  j )  +  R
) ) ) )
7571, 74mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( ( F `
 j )  -  R )  <_  ( F `  m )  /\  ( F `  m
)  <_  ( ( F `  j )  +  R ) ) )
7675simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( F `  m
)  <_  ( ( F `  j )  +  R ) )
7776expr 618 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
j  <_  m  ->  ( F `  m )  <_  ( ( F `
 j )  +  R ) ) )
7877ralrimiva 2846 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( F `  m
)  <_  ( ( F `  j )  +  R ) ) )
7956imbi1d 318 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  (
( n  <_  m  ->  ( F `  m
)  <_  ( ( F `  j )  +  R ) )  <->  ( j  <_  m  ->  ( F `  m )  <_  (
( F `  j
)  +  R ) ) ) )
8079ralbidv 2871 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  ( A. m  e.  A  ( n  <_  m  -> 
( F `  m
)  <_  ( ( F `  j )  +  R ) )  <->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( F `  m )  <_  (
( F `  j
)  +  R ) ) ) )
8180rspcev 3188 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  RR  /\  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( F `  m )  <_  ( ( F `
 j )  +  R ) ) )  ->  E. n  e.  RR  A. m  e.  A  ( n  <_  m  ->  ( F `  m )  <_  ( ( F `
 j )  +  R ) ) )
8231, 78, 81syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  E. n  e.  RR  A. m  e.  A  ( n  <_  m  ->  ( F `  m )  <_  ( ( F `
 j )  +  R ) ) )
8324, 28, 63, 82limsupbnd1 13522 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( limsup `  F )  <_  ( ( F `  j )  +  R
) )
84 xrre 11464 . . . 4  |-  ( ( ( ( limsup `  F
)  e.  RR*  /\  (
( F `  j
)  +  R )  e.  RR )  /\  ( -oo  <  ( limsup `  F )  /\  ( limsup `
 F )  <_ 
( ( F `  j )  +  R
) ) )  -> 
( limsup `  F )  e.  RR )
8511, 18, 62, 83, 84syl22anc 1265 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( limsup `  F )  e.  RR )
8685adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( limsup `  F )  e.  RR )
8772, 86resubcld 10046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  ( limsup `
 F ) )  e.  RR )
8887recnd 9668 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  ( limsup `
 F ) )  e.  CC )
8988abscld 13476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( limsup `  F ) ) )  e.  RR )
90 2re 10679 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
91 remulcl 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( 2  x.  R
)  e.  RR )
9290, 65, 91sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( 2  x.  R
)  e.  RR )
93 3re 10683 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
94 remulcl 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( 3  x.  R
)  e.  RR )
9593, 65, 94sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( 3  x.  R
)  e.  RR )
9672recnd 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( F `  m
)  e.  CC )
9786recnd 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( limsup `  F )  e.  CC )
9896, 97abssubd 13493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( limsup `  F ) ) )  =  ( abs `  (
( limsup `  F )  -  ( F `  m ) ) ) )
9972, 92resubcld 10046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  (
2  x.  R ) )  e.  RR )
10021adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  j )  -  R
)  e.  RR )
10165recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  ->  R  e.  CC )
1021012timesd 10855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( 2  x.  R
)  =  ( R  +  R ) )
103102oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  (
2  x.  R ) )  =  ( ( F `  m )  -  ( R  +  R ) ) )
10496, 101, 101subsub4d 10016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( ( F `
 m )  -  R )  -  R
)  =  ( ( F `  m )  -  ( R  +  R ) ) )
105103, 104eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  (
2  x.  R ) )  =  ( ( ( F `  m
)  -  R )  -  R ) )
10672, 65resubcld 10046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  R
)  e.  RR )
10772, 65, 73lesubaddd 10209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( ( F `
 m )  -  R )  <_  ( F `  j )  <->  ( F `  m )  <_  ( ( F `
 j )  +  R ) ) )
10876, 107mpbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  R
)  <_  ( F `  j ) )
109106, 73, 65, 108lesub1dd 10228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( ( F `
 m )  -  R )  -  R
)  <_  ( ( F `  j )  -  R ) )
110105, 109eqbrtrd 4446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  (
2  x.  R ) )  <_  ( ( F `  j )  -  R ) )
11161adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( limsup `  F ) )
11299, 100, 86, 110, 111letrd 9791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  (
2  x.  R ) )  <_  ( limsup `  F ) )
11318adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  j )  +  R
)  e.  RR )
11472, 92readdcld 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  +  ( 2  x.  R ) )  e.  RR )
11583adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( limsup `  F )  <_  ( ( F `  j )  +  R
) )
11672, 65readdcld 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  +  R
)  e.  RR )
11775, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( F `  m ) )
11873, 65, 72lesubaddd 10209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( ( F `
 j )  -  R )  <_  ( F `  m )  <->  ( F `  j )  <_  ( ( F `
 m )  +  R ) ) )
119117, 118mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( F `  j
)  <_  ( ( F `  m )  +  R ) )
12073, 116, 65, 119leadd1dd 10226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  j )  +  R
)  <_  ( (
( F `  m
)  +  R )  +  R ) )
12196, 101, 101addassd 9664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( ( F `
 m )  +  R )  +  R
)  =  ( ( F `  m )  +  ( R  +  R ) ) )
122102oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  +  ( 2  x.  R ) )  =  ( ( F `  m )  +  ( R  +  R ) ) )
123121, 122eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( ( F `
 m )  +  R )  +  R
)  =  ( ( F `  m )  +  ( 2  x.  R ) ) )
124120, 123breqtrd 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  j )  +  R
)  <_  ( ( F `  m )  +  ( 2  x.  R ) ) )
12586, 113, 114, 115, 124letrd 9791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( limsup `  F )  <_  ( ( F `  m )  +  ( 2  x.  R ) ) )
12686, 72, 92absdifled 13475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( abs `  (
( limsup `  F )  -  ( F `  m ) ) )  <_  ( 2  x.  R )  <->  ( (
( F `  m
)  -  ( 2  x.  R ) )  <_  ( limsup `  F
)  /\  ( limsup `  F )  <_  (
( F `  m
)  +  ( 2  x.  R ) ) ) ) )
127112, 125, 126mpbir2and 930 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( abs `  (
( limsup `  F )  -  ( F `  m ) ) )  <_  ( 2  x.  R ) )
12898, 127eqbrtrd 4446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( limsup `  F ) ) )  <_  ( 2  x.  R ) )
129 2lt3 10777 . . . . . . . 8  |-  2  <  3
13090a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
2  e.  RR )
13193a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
3  e.  RR )
13215adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  R  e.  RR+ )
133132adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  ->  R  e.  RR+ )
134130, 131, 133ltmul1d 11379 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( 2  <  3  <->  ( 2  x.  R )  <  ( 3  x.  R ) ) )
135129, 134mpbii 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( 2  x.  R
)  <  ( 3  x.  R ) )
13689, 92, 95, 128, 135lelttrd 9792 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( limsup `  F ) ) )  <  ( 3  x.  R ) )
137136expr 618 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
j  <_  m  ->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( limsup `  F
) ) )  < 
( 3  x.  R
) ) )
138137ralrimiva 2846 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( limsup `  F ) ) )  <  ( 3  x.  R ) ) )
13934oveq1d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  -  ( limsup `  F ) )  =  ( ( F `  m )  -  ( limsup `
 F ) ) )
140139fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( limsup `  F )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( limsup `  F
) ) ) )
141140breq1d 4436 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( limsup `  F ) ) )  <  ( 3  x.  R )  <->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  R ) ) )
14233, 141imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  (
( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( limsup `  F ) ) )  <  ( 3  x.  R ) )  <->  ( j  <_  m  ->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  R ) ) ) )
143142cbvralv 3062 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `  F
) ) )  < 
( 3  x.  R
) )  <->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  R ) ) )
144138, 143sylibr 215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( limsup `  F ) ) )  <  ( 3  x.  R ) ) )
14585, 144jca 534 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( ( limsup `  F
)  e.  RR  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `  F
) ) )  < 
( 3  x.  R
) ) ) )
146 caurcvgr.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
147 breq2 4430 . . . . . 6  |-  ( x  =  R  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) )
148147imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( x  =  R  ->  (
( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <-> 
( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R ) ) )
149148rexralbidv 2954 . . . 4  |-  ( x  =  R  ->  ( E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R ) ) )
150149rspcv 3184 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)  ->  E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )
15115, 146, 150sylc 62 . 2  |-  ( ph  ->  E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R ) )
152145, 151reximddv 2908 1  |-  ( ph  ->  E. j  e.  A  ( ( limsup `  F
)  e.  RR  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `  F
) ) )  < 
( 3  x.  R
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   class class class wbr 4426   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7960   RRcr 9537    + caddc 9541    x. cmul 9543   +oocpnf 9671   -oocmnf 9672   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   2c2 10659   3c3 10660   RR+crp 11302   abscabs 13276   limsupclsp 13502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-inf 7963  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504
This theorem is referenced by:  caurcvgr  13716
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