Theorem caucvglem6 8422

Description: Lemma for caucvgi 8423.

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg.1	|- F:NN-->RR
caucvg.2	|- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
caucvg.3	|- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (F` y))}

Assertion

Ref	Expression
caucvglem6	|- ((x e. RR /\ w e. NN) -> (A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> (sup(S, RR, < ) - (F` w)) <_ (x / 2)))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,u,v,F   x,S,z,w

Proof of Theorem caucvglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 6455	. . . . . 6 |- (((x / 2) e. RR /\ (F` w) e. RR) -> ((x / 2) + (F` w)) e. RR)
2		caucvg.1	. . . . . . 7 |- F:NN-->RR
3	2	ffvelrni 4788	. . . . . 6 |- (w e. NN -> (F` w) e. RR)
4	1, 3	sylan2 500	. . . . 5 |- (((x / 2) e. RR /\ w e. NN) -> ((x / 2) + (F` w)) e. RR)
5		nnaddcl 7123	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. NN /\ v e. NN) -> (w + v) e. NN)
6		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w + v) e. NN -> (w + v) e. RR)
7	5, 6	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. NN /\ v e. NN) -> (w + v) e. RR)
8		leid 6701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w + v) e. RR -> (w + v) <_ (w + v))
9	7, 8	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. NN /\ v e. NN) -> (w + v) <_ (w + v))
10		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = (w + v) -> ((w + v) <_ y <-> (w + v) <_ (w + v)))
11	10	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . 12 |- (((w + v) e. NN /\ (w + v) <_ (w + v)) -> E.y e. NN (w + v) <_ y)
12	5, 9, 11	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- ((w e. NN /\ v e. NN) -> E.y e. NN (w + v) <_ y)
13	12	adantll 428	. . . . . . . . . 10 |- ((((x / 2) e. RR /\ w e. NN) /\ v e. NN) -> E.y e. NN (w + v) <_ y)
14		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x / 2) e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) -> A.y((x / 2) e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)))
15		hbra1 2147	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> A.yA.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)))
16		hbra1 2147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)) -> A.yA.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
17	16	hbn 1351	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)) -> A.y -. A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
18	15, 17	hbim 1354	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> -. A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y))) -> A.y(A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> -. A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y))))
19		nngt0 7129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (v e. NN -> 0 < v)
20	19	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((w e. NN /\ v e. NN) -> 0 < v)
21		ltaddpos 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((v e. RR /\ w e. RR) -> (0 < v <-> w < (w + v)))
22	21	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((w e. RR /\ v e. RR) -> (0 < v <-> w < (w + v)))
23		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (w e. NN -> w e. RR)
24		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (v e. NN -> v e. RR)
25	22, 23, 24	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((w e. NN /\ v e. NN) -> (0 < v <-> w < (w + v)))
26	20, 25	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((w e. NN /\ v e. NN) -> w < (w + v))
27	26	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((y e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) -> w < (w + v))
28	23	ad2antrl 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((y e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) -> w e. RR)
29	7	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((y e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) -> (w + v) e. RR)
30		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((y e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) -> y e. RR)
31		ltletr 6694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((w e. RR /\ (w + v) e. RR /\ y e. RR) -> ((w < (w + v) /\ (w + v) <_ y) -> w < y))
32	28, 29, 30, 31	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((y e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) -> ((w < (w + v) /\ (w + v) <_ y) -> w < y))
33	27, 32	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((y e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) -> ((w + v) <_ y -> w < y))
34		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (y e. NN -> y e. RR)
35	33, 34	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. NN /\ (w e. NN /\ v e. NN)) -> ((w + v) <_ y -> w < y))
36	35	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((y e. NN /\ ((x / 2) e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN))) -> ((w + v) <_ y -> w < y))
37		abslt 8132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((((F` y) - (F` w)) e. RR /\ (x / 2) e. RR) -> ((abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2) <-> (-u(x / 2) < ((F` y) - (F` w)) /\ ((F` y) - (F` w)) < (x / 2))))
38		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((-u(x / 2) < ((F` y) - (F` w)) /\ ((F` y) - (F` w)) < (x / 2)) -> ((F` y) - (F` w)) < (x / 2))
39	37, 38	syl6bi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((((F` y) - (F` w)) e. RR /\ (x / 2) e. RR) -> ((abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2) -> ((F` y) - (F` w)) < (x / 2)))
40	39	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((x / 2) e. RR /\ ((F` y) - (F` w)) e. RR) -> ((abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2) -> ((F` y) - (F` w)) < (x / 2)))
41		resubcl 6601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((F` y) e. RR /\ (F` w) e. RR) -> ((F` y) - (F` w)) e. RR)
42	40, 41	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((x / 2) e. RR /\ ((F` y) e. RR /\ (F` w) e. RR)) -> ((abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2) -> ((F` y) - (F` w)) < (x / 2)))
43	42	an1s 544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((F` y) e. RR /\ ((x / 2) e. RR /\ (F` w) e. RR)) -> ((abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2) -> ((F` y) - (F` w)) < (x / 2)))
44		ltsubadd 6810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((F` y) e. RR /\ (F` w) e. RR /\ (x / 2) e. RR) -> (((F` y) - (F` w)) < (x / 2) <-> (F` y) < ((x / 2) + (F` w))))
45	44	3com23 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((F` y) e. RR /\ (x / 2) e. RR /\ (F` w) e. RR) -> (((F` y) - (F` w)) < (x / 2) <-> (F` y) < ((x / 2) + (F` w))))
46	45	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((F` y) e. RR /\ ((x / 2) e. RR /\ (F` w) e. RR)) -> (((F` y) - (F` w)) < (x / 2) <-> (F` y) < ((x / 2) + (F` w))))
47	43, 46	sylibd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((F` y) e. RR /\ ((x / 2) e. RR /\ (F` w) e. RR)) -> ((abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2) -> (F` y) < ((x / 2) + (F` w))))
48		ltnsym 6702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((F` y) e. RR /\ ((x / 2) + (F` w)) e. RR) -> ((F` y) < ((x / 2) + (F` w)) -> -. ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
49	48, 1	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((F` y) e. RR /\ ((x / 2) e. RR /\ (F` w) e. RR)) -> ((F` y) < ((x / 2) + (F` w)) -> -. ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
50	47, 49	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((F` y) e. RR /\ ((x / 2) e. RR /\ (F` w) e. RR)) -> ((abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2) -> -. ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
51	2	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (y e. NN -> (F` y) e. RR)
52	50, 51	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((y e. NN /\ ((x / 2) e. RR /\ (F` w) e. RR)) -> ((abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2) -> -. ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
53	52, 3	sylanr2 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. NN /\ ((x / 2) e. RR /\ w e. NN)) -> ((abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2) -> -. ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
54	53	adantrrr 439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((y e. NN /\ ((x / 2) e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN))) -> ((abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2) -> -. ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
55	36, 54	imim12d 69	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y e. NN /\ ((x / 2) e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN))) -> ((w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> ((w + v) <_ y -> -. ((x / 2) + (F` w)) < (F` y))))
56	55	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y e. NN -> (((x / 2) e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) -> ((w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> ((w + v) <_ y -> -. ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))))
57	56	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. NN -> ((w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> (((x / 2) e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) -> ((w + v) <_ y -> -. ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))))
58	57	a2i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. NN -> (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2))) -> (y e. NN -> (((x / 2) e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) -> ((w + v) <_ y -> -. ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))))
59	58	imp4d 394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. NN -> (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2))) -> ((y e. NN /\ (((x / 2) e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) /\ (w + v) <_ y)) -> -. ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
60	59	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. NN /\ (((x / 2) e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) /\ (w + v) <_ y)) -> ((y e. NN -> (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2))) -> -. ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
61		ra4 2155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> (y e. NN -> (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2))))
62	60, 61	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. NN /\ (((x / 2) e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) /\ (w + v) <_ y)) -> (A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> -. ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
63		nngt0 7129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (w e. NN -> 0 < w)
64	63	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((w e. NN /\ v e. NN) -> 0 < w)
65		ltaddpos2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((w e. RR /\ v e. RR) -> (0 < w <-> v < (w + v)))
66	65, 23, 24	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((w e. NN /\ v e. NN) -> (0 < w <-> v < (w + v)))
67	64, 66	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((w e. NN /\ v e. NN) -> v < (w + v))
68	67	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((w e. NN /\ v e. NN) /\ y e. RR) -> v < (w + v))
69	24	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((w e. NN /\ v e. NN) /\ y e. RR) -> v e. RR)
70	7	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((w e. NN /\ v e. NN) /\ y e. RR) -> (w + v) e. RR)
71		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((w e. NN /\ v e. NN) /\ y e. RR) -> y e. RR)
72		ltletr 6694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((v e. RR /\ (w + v) e. RR /\ y e. RR) -> ((v < (w + v) /\ (w + v) <_ y) -> v < y))
73	69, 70, 71, 72	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((w e. NN /\ v e. NN) /\ y e. RR) -> ((v < (w + v) /\ (w + v) <_ y) -> v < y))
74	68, 73	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((w e. NN /\ v e. NN) /\ y e. RR) -> ((w + v) <_ y -> v < y))
75		ltle 6690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((v e. RR /\ y e. RR) -> (v < y -> v <_ y))
76	75, 24	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((v e. NN /\ y e. RR) -> (v < y -> v <_ y))
77	76	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((w e. NN /\ v e. NN) /\ y e. RR) -> (v < y -> v <_ y))
78	74, 77	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((w e. NN /\ v e. NN) /\ y e. RR) -> ((w + v) <_ y -> v <_ y))
79	78, 34	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((w e. NN /\ v e. NN) /\ y e. NN) -> ((w + v) <_ y -> v <_ y))
80	79	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. NN /\ (w e. NN /\ v e. NN)) -> ((w + v) <_ y -> v <_ y))
81	80	imim1d 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((y e. NN /\ (w e. NN /\ v e. NN)) -> ((v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)) -> ((w + v) <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y))))
82	81	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. NN -> ((w e. NN /\ v e. NN) -> ((v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)) -> ((w + v) <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))))
83	82	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y e. NN -> ((v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)) -> ((w e. NN /\ v e. NN) -> ((w + v) <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))))
84	83	a2i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y e. NN -> (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y))) -> (y e. NN -> ((w e. NN /\ v e. NN) -> ((w + v) <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))))
85	84	imp4d 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. NN -> (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y))) -> ((y e. NN /\ ((w e. NN /\ v e. NN) /\ (w + v) <_ y)) -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
86	85	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. NN /\ ((w e. NN /\ v e. NN) /\ (w + v) <_ y)) -> ((y e. NN -> (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y))) -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
87		ra4 2155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)) -> (y e. NN -> (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y))))
88	86, 87	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. NN /\ ((w e. NN /\ v e. NN) /\ (w + v) <_ y)) -> (A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)) -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
89	88	adantrll 436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. NN /\ (((x / 2) e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) /\ (w + v) <_ y)) -> (A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)) -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
90	62, 89	nsyld 132	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. NN /\ (((x / 2) e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) /\ (w + v) <_ y)) -> (A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> -. A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y))))
91	90	exp32 408	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. NN -> (((x / 2) e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) -> ((w + v) <_ y -> (A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> -. A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y))))))
92	91	com12 14	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x / 2) e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) -> (y e. NN -> ((w + v) <_ y -> (A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> -. A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y))))))
93	14, 18, 92	r19.23ad 2213	. . . . . . . . . . 11 |- (((x / 2) e. RR /\ (w e. NN /\ v e. NN)) -> (E.y e. NN (w + v) <_ y -> (A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> -. A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))))
94	93	anassrs 489	. . . . . . . . . 10 |- ((((x / 2) e. RR /\ w e. NN) /\ v e. NN) -> (E.y e. NN (w + v) <_ y -> (A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> -. A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))))
95	13, 94	mpd 29	. . . . . . . . 9 |- ((((x / 2) e. RR /\ w e. NN) /\ v e. NN) -> (A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> -. A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y))))
96	95	imp 377	. . . . . . . 8 |- (((((x / 2) e. RR /\ w e. NN) /\ v e. NN) /\ A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2))) -> -. A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
97	96	an1rs 547	. . . . . . 7 |- (((((x / 2) e. RR /\ w e. NN) /\ A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2))) /\ v e. NN) -> -. A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
98	97	nrexdv 2193	. . . . . 6 |- ((((x / 2) e. RR /\ w e. NN) /\ A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2))) -> -. E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
99	98	ex 402	. . . . 5 |- (((x / 2) e. RR /\ w e. NN) -> (A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> -. E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y))))
100		caucvg.2	. . . . . . . 8 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
101		caucvg.3	. . . . . . . 8 |- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (F` y))}
102	2, 100, 101	caucvglem4 8420	. . . . . . 7 |- (((x / 2) + (F` w)) e. RR -> (((x / 2) + (F` w)) < sup(S, RR, < ) -> ((x / 2) + (F` w)) e. S))
103	2, 100, 101	caucvglem1 8417	. . . . . . . 8 |- (((x / 2) + (F` w)) e. S <-> (((x / 2) + (F` w)) e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y))))
104	103	simprbi 353	. . . . . . 7 |- (((x / 2) + (F` w)) e. S -> E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)))
105	102, 104	syl6 25	. . . . . 6 |- (((x / 2) + (F` w)) e. RR -> (((x / 2) + (F` w)) < sup(S, RR, < ) -> E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y))))
106	105	con3d 111	. . . . 5 |- (((x / 2) + (F` w)) e. RR -> (-. E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> ((x / 2) + (F` w)) < (F` y)) -> -. ((x / 2) + (F` w)) < sup(S, RR, < )))
107	4, 99, 106	sylsyld 32	. . . 4 |- (((x / 2) e. RR /\ w e. NN) -> (A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> -. ((x / 2) + (F` w)) < sup(S, RR, < )))
108		lenlt 6679	. . . . 5 |- ((sup(S, RR, < ) e. RR /\ ((x / 2) + (F` w)) e. RR) -> (sup(S, RR, < ) <_ ((x / 2) + (F` w)) <-> -. ((x / 2) + (F` w)) < sup(S, RR, < )))
109	2, 100, 101	caucvglem3 8419	. . . . 5 |- sup(S, RR, < ) e. RR
110	108, 109, 4	sylancr 526	. . . 4 |- (((x / 2) e. RR /\ w e. NN) -> (sup(S, RR, < ) <_ ((x / 2) + (F` w)) <-> -. ((x / 2) + (F` w)) < sup(S, RR, < )))
111	107, 110	sylibrd 221	. . 3 |- (((x / 2) e. RR /\ w e. NN) -> (A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> sup(S, RR, < ) <_ ((x / 2) + (F` w))))
112		lesubadd 6812	. . . . . 6 |- ((sup(S, RR, < ) e. RR /\ (F` w) e. RR /\ (x / 2) e. RR) -> ((sup(S, RR, < ) - (F` w)) <_ (x / 2) <-> sup(S, RR, < ) <_ ((x / 2) + (F` w))))
113	109, 112	mp3an1 1178	. . . . 5 |- (((F` w) e. RR /\ (x / 2) e. RR) -> ((sup(S, RR, < ) - (F` w)) <_ (x / 2) <-> sup(S, RR, < ) <_ ((x / 2) + (F` w))))
114	113, 3	sylan 497	. . . 4 |- ((w e. NN /\ (x / 2) e. RR) -> ((sup(S, RR, < ) - (F` w)) <_ (x / 2) <-> sup(S, RR, < ) <_ ((x / 2) + (F` w))))
115	114	ancoms 484	. . 3 |- (((x / 2) e. RR /\ w e. NN) -> ((sup(S, RR, < ) - (F` w)) <_ (x / 2) <-> sup(S, RR, < ) <_ ((x / 2) + (F` w))))
116	111, 115	sylibrd 221	. 2 |- (((x / 2) e. RR /\ w e. NN) -> (A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> (sup(S, RR, < ) - (F` w)) <_ (x / 2)))
117		rehalfcl 7220	. 2 |- (x e. RR -> (x / 2) e. RR)
118	116, 117	sylan 497	1 |- ((x e. RR /\ w e. NN) -> (A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < (x / 2)) -> (sup(S, RR, < ) - (F` w)) <_ (x / 2)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   - cmin 6445  -ucneg 6446   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  2c2 7145  abscabs 8000

This theorem is referenced by:  caucvgi 8423

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004

Copyright terms: Public domain