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Theorem caucvgb 13724
Description: A function is convergent if and only if it is Cauchy. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
caucvgb.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
caucvgb  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  e.  dom  ~~>  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    j, Z, k, x    k, V
Allowed substitution hints:    V( x, j)

Proof of Theorem caucvgb
Dummy variables  i  m  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldm2g 5051 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  ( F  e.  dom  ~~>  <->  E. m <. F ,  m >.  e.  ~~>  ) )
21ibi 244 . . 3  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  E. m <. F ,  m >.  e.  ~~>  )
3 df-br 4427 . . . . 5  |-  ( F  ~~>  m  <->  <. F ,  m >.  e.  ~~>  )
4 caucvgb.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 simpll 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  M  e.  ZZ )
6 1rp 11306 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  1  e.  RR+ )
8 eqidd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
9 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  F  ~~>  m )
104, 5, 7, 8, 9climi 13552 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  m ) )  <  1 ) )
11 simpl 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  m ) )  <  1 )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
1211ralimi 2825 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  m ) )  <  1 )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC )
1312reximi 2900 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  m ) )  <  1 )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC )
1410, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC )
1514ex 435 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  m  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )
163, 15syl5bir 221 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( <. F ,  m >.  e.  ~~>  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )
1716exlimdv 1771 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( E. m <. F ,  m >.  e.  ~~>  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )
182, 17syl5 33 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  e.  dom  ~~>  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )
19 simpl 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
2019ralimi 2825 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  CC )
2120reximi 2900 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  CC )
2221ralimi 2825 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  CC )
23 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  n  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  n )
)
2423raleqdv 3038 . . . . . . 7  |-  ( j  =  n  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  CC  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )
2524cbvrexv 3063 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  CC  <->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC )
2625a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  CC  <->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )
2726rspcv 3184 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  CC  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC ) )
286, 22, 27mpsyl 65 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC )
2928a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )
30 eluzelz 11168 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
3130, 4eleq2s 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  Z  ->  n  e.  ZZ )
32 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  n )  =  (
ZZ>= `  n )
3332climcau 13712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
3431, 33sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Z  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
3532r19.29uz 13392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC  /\  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )
3635ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) ) )
3736ralimdv 2842 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
3834, 37mpan9 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  Z  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
3938an32s 811 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
4039adantll 718 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
41 simplrr 769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC )
42 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
4342eleq1d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  m )  e.  CC ) )
4443rspccva 3187 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC  /\  m  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  m )  e.  CC )
4541, 44sylan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
46 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  -> 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
4746ralimi 2825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
4842oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 m )  -  ( F `  j ) ) )
4948fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) ) )
5049breq1d 4436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  x
) )
5150cbvralv 3062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)
5247, 51sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
5352reximi 2900 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)
5453ralimi 2825 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
5554adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
56 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  i  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  i )
)
57 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  i  ->  ( F `  j )  =  ( F `  i ) )
5857oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  i  ->  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 m )  -  ( F `  i ) ) )
5958fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  i  ->  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i ) ) ) )
6059breq1d 4436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  i  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i )
) )  <  x
) )
6156, 60raleqbidv 3046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  i  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 i ) ) )  <  x ) )
6261cbvrexv 3063 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i ) ) )  <  x )
63 breq2 4430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 i ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i )
) )  <  y
) )
6463rexralbidv 2954 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( E. i  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i )
) )  <  x  <->  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 i ) ) )  <  y ) )
6562, 64syl5bb 260 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  x  <->  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 i ) ) )  <  y ) )
6665cbvralv 3062 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  <->  A. y  e.  RR+  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i ) ) )  <  y )
6755, 66sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  A. y  e.  RR+  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i ) ) )  <  y )
68 simpll 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  F  e.  V )
6932, 45, 67, 68caucvg 13723 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
7069adantlll 722 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
7140, 70impbida 840 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )  ->  ( F  e.  dom  ~~> 
<-> 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
724, 32cau4 13398 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
7372ad2antrl 732 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
7471, 73bitr4d 259 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )  ->  ( F  e.  dom  ~~> 
<-> 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) ) )
7574rexlimdvaa 2925 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC  ->  ( F  e.  dom  ~~>  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) ) )
7618, 29, 75pm5.21ndd 355 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  e.  dom  ~~>  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   <.cop 4008   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   1c1 9539    < clt 9674    - cmin 9859   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   abscabs 13276    ~~> cli 13526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-inf 7963  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531
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