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Theorem caucvgb 13823
Description: A function is convergent if and only if it is Cauchy. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
caucvgb.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
caucvgb  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  e.  dom  ~~>  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    j, Z, k, x    k, V
Allowed substitution hints:    V( x, j)

Proof of Theorem caucvgb
Dummy variables  i  m  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldm2g 5036 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  ( F  e.  dom  ~~>  <->  E. m <. F ,  m >.  e.  ~~>  ) )
21ibi 249 . . 3  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  E. m <. F ,  m >.  e.  ~~>  )
3 df-br 4396 . . . . 5  |-  ( F  ~~>  m  <->  <. F ,  m >.  e.  ~~>  )
4 caucvgb.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 simpll 768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  M  e.  ZZ )
6 1rp 11329 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  1  e.  RR+ )
8 eqidd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
9 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  F  ~~>  m )
104, 5, 7, 8, 9climi 13651 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  m ) )  <  1 ) )
11 simpl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  m ) )  <  1 )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
1211ralimi 2796 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  m ) )  <  1 )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC )
1312reximi 2852 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  m ) )  <  1 )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC )
1410, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC )
1514ex 441 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  m  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )
163, 15syl5bir 226 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( <. F ,  m >.  e.  ~~>  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )
1716exlimdv 1787 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( E. m <. F ,  m >.  e.  ~~>  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )
182, 17syl5 32 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  e.  dom  ~~>  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )
19 simpl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
2019ralimi 2796 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  CC )
2120reximi 2852 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  CC )
2221ralimi 2796 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  CC )
23 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  n  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  n )
)
2423raleqdv 2979 . . . . . . 7  |-  ( j  =  n  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  CC  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )
2524cbvrexv 3006 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  CC  <->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC )
2625a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  CC  <->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )
2726rspcv 3132 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  CC  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC ) )
286, 22, 27mpsyl 64 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC )
2928a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )
30 eluzelz 11192 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
3130, 4eleq2s 2567 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  Z  ->  n  e.  ZZ )
32 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  n )  =  (
ZZ>= `  n )
3332climcau 13811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
3431, 33sylan 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Z  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
3532r19.29uz 13490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC  /\  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )
3635ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) ) )
3736ralimdv 2806 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
3834, 37mpan9 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  Z  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
3938an32s 821 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
4039adantll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
41 simplrr 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC )
42 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
4342eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  m )  e.  CC ) )
4443rspccva 3135 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC  /\  m  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  m )  e.  CC )
4541, 44sylan 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
46 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  -> 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
4746ralimi 2796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
4842oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 m )  -  ( F `  j ) ) )
4948fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) ) )
5049breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  x
) )
5150cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)
5247, 51sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
5352reximi 2852 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)
5453ralimi 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
5554adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
56 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  i  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  i )
)
57 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  i  ->  ( F `  j )  =  ( F `  i ) )
5857oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  i  ->  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 m )  -  ( F `  i ) ) )
5958fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  i  ->  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i ) ) ) )
6059breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  i  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i )
) )  <  x
) )
6156, 60raleqbidv 2987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  i  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 i ) ) )  <  x ) )
6261cbvrexv 3006 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i ) ) )  <  x )
63 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 i ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i )
) )  <  y
) )
6463rexralbidv 2898 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( E. i  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i )
) )  <  x  <->  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 i ) ) )  <  y ) )
6562, 64syl5bb 265 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  x  <->  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 i ) ) )  <  y ) )
6665cbvralv 3005 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  <->  A. y  e.  RR+  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i ) ) )  <  y )
6755, 66sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  A. y  e.  RR+  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i ) ) )  <  y )
68 simpll 768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  F  e.  V )
6932, 45, 67, 68caucvg 13822 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
7069adantlll 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
7140, 70impbida 850 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )  ->  ( F  e.  dom  ~~> 
<-> 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
724, 32cau4 13496 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
7372ad2antrl 742 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
7471, 73bitr4d 264 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )  ->  ( F  e.  dom  ~~> 
<-> 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) ) )
7574rexlimdvaa 2872 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC  ->  ( F  e.  dom  ~~>  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
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 j ) ) )  <  x ) ) ) )
7618, 29, 75pm5.21ndd 361 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  e.  dom  ~~>  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   <.cop 3965   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   1c1 9558    < clt 9693    - cmin 9880   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   abscabs 13374    ~~> cli 13625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630
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