Theorem caucvg3ai 8424

Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). This version shows the explicit value of the limit (which is why we need all the hypotheses) rather than just its existence.

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg3a.1	|- F:NN-->CC
caucvg3a.2	|- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
caucvg3a.3	|- G Fn NN
caucvg3a.4	|- (x e. NN -> (G` x) = (Re` (F` x)))
caucvg3a.4a	|- R = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (G` y))}
caucvg3a.5	|- H Fn NN
caucvg3a.6	|- (x e. NN -> (H` x) = (Im` (F` x)))
caucvg3a.6a	|- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (H` y))}
caucvg3a.7	|- D Fn NN
caucvg3a.8	|- (x e. NN -> (D` x) = (_i x. (H` x)))

Assertion

Ref	Expression
caucvg3ai	|- F ~~> (sup(R, RR, < ) + (_i x. sup(S, RR, < )))

Distinct variable groups:   x,v,u,F   x,y,z,w,G,v,u   x,H,y,z,w,v,u   x,D,u,v   x,R,z,w   z,S,w

Proof of Theorem caucvg3ai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv 4801	. . . . 5 |- (G:NN-->RR <-> (G Fn NN /\ A.x e. NN (G` x) e. RR))
2		caucvg3a.3	. . . . 5 |- G Fn NN
3		caucvg3a.4	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (G` x) = (Re` (F` x)))
4		caucvg3a.1	. . . . . . . . 9 |- F:NN-->CC
5	4	ffvelrni 4788	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (F` x) e. CC)
6		recl 8007	. . . . . . . 8 |- ((F` x) e. CC -> (Re` (F` x)) e. RR)
7	5, 6	syl 12	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (Re` (F` x)) e. RR)
8	3, 7	eqeltrd 1971	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (G` x) e. RR)
9	8	rgen 2159	. . . . 5 |- A.x e. NN (G` x) e. RR
10	1, 2, 9	mpbir2an 800	. . . 4 |- G:NN-->RR
11		caucvg3a.2	. . . . 5 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
12	4, 11, 2, 3	caurei 8179	. . . 4 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((G` y) - (G` w))) < z))
13		caucvg3a.4a	. . . 4 |- R = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (G` y))}
14	10, 12, 13	caucvgi 8423	. . 3 |- G ~~> sup(R, RR, < )
15		axicn 6423	. . . 4 |- _i e. CC
16		ltso 6681	. . . . 5 |- < Or RR
17	16	supex 5667	. . . 4 |- sup(S, RR, < ) e. _V
18		ffnfv 4801	. . . . . 6 |- (H:NN-->RR <-> (H Fn NN /\ A.x e. NN (H` x) e. RR))
19		caucvg3a.5	. . . . . 6 |- H Fn NN
20		caucvg3a.6	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (H` x) = (Im` (F` x)))
21		imcl 8008	. . . . . . . . 9 |- ((F` x) e. CC -> (Im` (F` x)) e. RR)
22	5, 21	syl 12	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (Im` (F` x)) e. RR)
23	20, 22	eqeltrd 1971	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (H` x) e. RR)
24	23	rgen 2159	. . . . . 6 |- A.x e. NN (H` x) e. RR
25	18, 19, 24	mpbir2an 800	. . . . 5 |- H:NN-->RR
26	4, 11, 19, 20	cauimi 8180	. . . . 5 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((H` y) - (H` w))) < z))
27		caucvg3a.6a	. . . . 5 |- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (H` y))}
28	25, 26, 27	caucvgi 8423	. . . 4 |- H ~~> sup(S, RR, < )
29		caucvg3a.7	. . . 4 |- D Fn NN
30	23	recnd 6468	. . . . 5 |- (x e. NN -> (H` x) e. CC)
31		caucvg3a.8	. . . . 5 |- (x e. NN -> (D` x) = (_i x. (H` x)))
32	30, 31	jca 310	. . . 4 |- (x e. NN -> ((H` x) e. CC /\ (D` x) = (_i x. (H` x))))
33	15, 17, 28, 29, 32	climmulci 8393	. . 3 |- D ~~> (_i x. sup(S, RR, < ))
34	14, 33	pm3.2i 307	. 2 |- (G ~~> sup(R, RR, < ) /\ D ~~> (_i x. sup(S, RR, < )))
35		1z 7368	. . 3 |- 1 e. ZZ
36		elnnuz 7609	. . . . 5 |- (x e. NN <-> x e. (ZZ>=` 1))
37	7	recnd 6468	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (Re` (F` x)) e. CC)
38	3, 37	eqeltrd 1971	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (G` x) e. CC)
39		mulcl 6456	. . . . . . . 8 |- ((_i e. CC /\ (H` x) e. CC) -> (_i x. (H` x)) e. CC)
40	39, 15, 30	sylancr 526	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (_i x. (H` x)) e. CC)
41	31, 40	eqeltrd 1971	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (D` x) e. CC)
42		replim 8011	. . . . . . . 8 |- ((F` x) e. CC -> (F` x) = ((Re` (F` x)) + (_i x. (Im` (F` x)))))
43	5, 42	syl 12	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (F` x) = ((Re` (F` x)) + (_i x. (Im` (F` x)))))
44	20	opreq2d 4898	. . . . . . . . 9 |- (x e. NN -> (_i x. (H` x)) = (_i x. (Im` (F` x))))
45	31, 44	eqtrd 1925	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (D` x) = (_i x. (Im` (F` x))))
46	3, 45	opreq12d 4900	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> ((G` x) + (D` x)) = ((Re` (F` x)) + (_i x. (Im` (F` x)))))
47	43, 46	eqtr4d 1928	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (F` x) = ((G` x) + (D` x)))
48	38, 41, 47	3jca 1050	. . . . 5 |- (x e. NN -> ((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x))))
49	36, 48	sylbir 218	. . . 4 |- (x e. (ZZ>=` 1) -> ((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x))))
50	49	rgen 2159	. . 3 |- A.x e. (ZZ>=` 1)((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x)))
51	35, 50	pm3.2i 307	. 2 |- (1 e. ZZ /\ A.x e. (ZZ>=` 1)((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x))))
52		nnex 7116	. . . 4 |- NN e. _V
53		fnex 4535	. . . 4 |- ((G Fn NN /\ NN e. _V) -> G e. _V)
54	2, 52, 53	mp2an 761	. . 3 |- G e. _V
55		fnex 4535	. . . 4 |- ((D Fn NN /\ NN e. _V) -> D e. _V)
56	29, 52, 55	mp2an 761	. . 3 |- D e. _V
57		fex 4595	. . . 4 |- ((F:NN-->CC /\ NN e. _V) -> F e. _V)
58	4, 52, 57	mp2an 761	. . 3 |- F e. _V
59	16	supex 5667	. . 3 |- sup(R, RR, < ) e. _V
60		oprex 4907	. . 3 |- (_i x. sup(S, RR, < )) e. _V
61	54, 56, 58, 59, 60	climadd 8377	. 2 |- (((G ~~> sup(R, RR, < ) /\ D ~~> (_i x. sup(S, RR, < ))) /\ (1 e. ZZ /\ A.x e. (ZZ>=` 1)((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x))))) -> F ~~> (sup(R, RR, < ) + (_i x. sup(S, RR, < ))))
62	34, 51, 61	mp2an 761	1 |- F ~~> (sup(R, RR, < ) + (_i x. sup(S, RR, < )))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   <_ cle 6448  NNcn 6449  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  Recre 7997  Imcim 7998  abscabs 8000   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  cvgcmp3ci 8447

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235

Copyright terms: Public domain