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Theorem caucvg3 8428
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). Warning: The HTML proof page is 0.6 megabyte in size.
Assertion
Ref Expression
caucvg3 |- ((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))) -> E.x e. CC F ~~> x)
Distinct variable group:   x,w,y,z,F
Proof of Theorem caucvg3
StepHypRef Expression
1 breq1 3341 . . 3 |- (F = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> (F ~~> x <-> if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) ~~> x))
21rexbidv 2124 . 2 |- (F = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> (E.x e. CC F ~~> x <-> E.x e. CC if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) ~~> x))
3 feq1 4551 . . . . . 6 |- (F = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> (F:NN-->CC <-> if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})):NN-->CC))
4 fveq1 4680 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (F = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> (F` u) = (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u))
5 fveq1 4680 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (F = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> (F` t) = (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))
64, 5opreq12d 4900 . . . . . . . . . . . . 13 |- (F = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> ((F` u) - (F` t)) = ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t)))
76fveq2d 4685 . . . . . . . . . . . 12 |- (F = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> (abs` ((F` u) - (F` t))) = (abs` ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))))
87breq1d 3348 . . . . . . . . . . 11 |- (F = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> ((abs` ((F` u) - (F` t))) < v <-> (abs` ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))) < v))
98imbi2d 674 . . . . . . . . . 10 |- (F = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> ((t <_ u -> (abs` ((F` u) - (F` t))) < v) <-> (t <_ u -> (abs` ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))) < v)))
109rexralbidv 2142 . . . . . . . . 9 |- (F = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> (E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((F` u) - (F` t))) < v) <-> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))) < v)))
1110imbi2d 674 . . . . . . . 8 |- (F = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> ((0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((F` u) - (F` t))) < v)) <-> (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))) < v))))
1211ralbidv 2123 . . . . . . 7 |- (F = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> (A.v e. RR (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((F` u) - (F` t))) < v)) <-> A.v e. RR (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))) < v))))
13 breq2 3342 . . . . . . . . 9 |- (z = v -> (0 < z <-> 0 < v))
14 breq2 3342 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = v -> ((abs` ((F` y) - (F` w))) < z <-> (abs` ((F` y) - (F` w))) < v))
1514imbi2d 674 . . . . . . . . . . . . 13 |- (z = v -> ((w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z) <-> (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < v)))
1615ralbidv 2123 . . . . . . . . . . . 12 |- (z = v -> (A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z) <-> A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < v)))
17 breq2 3342 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = u -> (w <_ y <-> w <_ u))
18 fveq2 4681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = u -> (F` y) = (F` u))
1918opreq1d 4897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = u -> ((F` y) - (F` w)) = ((F` u) - (F` w)))
2019fveq2d 4685 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = u -> (abs` ((F` y) - (F` w))) = (abs` ((F` u) - (F` w))))
2120breq1d 3348 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = u -> ((abs` ((F` y) - (F` w))) < v <-> (abs` ((F` u) - (F` w))) < v))
2217, 21imbi12d 688 . . . . . . . . . . . . 13 |- (y = u -> ((w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < v) <-> (w <_ u -> (abs` ((F` u) - (F` w))) < v)))
2322cbvralv 2280 . . . . . . . . . . . 12 |- (A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < v) <-> A.u e. NN (w <_ u -> (abs` ((F` u) - (F` w))) < v))
2416, 23syl6bb 595 . . . . . . . . . . 11 |- (z = v -> (A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z) <-> A.u e. NN (w <_ u -> (abs` ((F` u) - (F` w))) < v)))
2524rexbidv 2124 . . . . . . . . . 10 |- (z = v -> (E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z) <-> E.w e. NN A.u e. NN (w <_ u -> (abs` ((F` u) - (F` w))) < v)))
26 breq1 3341 . . . . . . . . . . . . 13 |- (w = t -> (w <_ u <-> t <_ u))
27 fveq2 4681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w = t -> (F` w) = (F` t))
2827opreq2d 4898 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w = t -> ((F` u) - (F` w)) = ((F` u) - (F` t)))
2928fveq2d 4685 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (w = t -> (abs` ((F` u) - (F` w))) = (abs` ((F` u) - (F` t))))
3029breq1d 3348 . . . . . . . . . . . . 13 |- (w = t -> ((abs` ((F` u) - (F` w))) < v <-> (abs` ((F` u) - (F` t))) < v))
3126, 30imbi12d 688 . . . . . . . . . . . 12 |- (w = t -> ((w <_ u -> (abs` ((F` u) - (F` w))) < v) <-> (t <_ u -> (abs` ((F` u) - (F` t))) < v)))
3231ralbidv 2123 . . . . . . . . . . 11 |- (w = t -> (A.u e. NN (w <_ u -> (abs` ((F` u) - (F` w))) < v) <-> A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((F` u) - (F` t))) < v)))
3332cbvrexv 2281 . . . . . . . . . 10 |- (E.w e. NN A.u e. NN (w <_ u -> (abs` ((F` u) - (F` w))) < v) <-> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((F` u) - (F` t))) < v))
3425, 33syl6bb 595 . . . . . . . . 9 |- (z = v -> (E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z) <-> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((F` u) - (F` t))) < v)))
3513, 34imbi12d 688 . . . . . . . 8 |- (z = v -> ((0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z)) <-> (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((F` u) - (F` t))) < v))))
3635cbvralv 2280 . . . . . . 7 |- (A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z)) <-> A.v e. RR (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((F` u) - (F` t))) < v)))
3712, 36syl5bb 591 . . . . . 6 |- (F = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> (A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z)) <-> A.v e. RR (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))) < v))))
383, 37anbi12d 690 . . . . 5 |- (F = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> ((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))) <-> (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})):NN-->CC /\ A.v e. RR (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))) < v)))))
39 feq1 4551 . . . . . 6 |- ((NN X. {0}) = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> ((NN X. {0}):NN-->CC <-> if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})):NN-->CC))
40 fveq1 4680 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((NN X. {0}) = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> ((NN X. {0})` u) = (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u))
41 fveq1 4680 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((NN X. {0}) = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> ((NN X. {0})` t) = (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))
4240, 41opreq12d 4900 . . . . . . . . . . . 12 |- ((NN X. {0}) = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t)) = ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t)))
4342fveq2d 4685 . . . . . . . . . . 11 |- ((NN X. {0}) = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> (abs` (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t))) = (abs` ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))))
4443breq1d 3348 . . . . . . . . . 10 |- ((NN X. {0}) = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> ((abs` (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t))) < v <-> (abs` ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))) < v))
4544imbi2d 674 . . . . . . . . 9 |- ((NN X. {0}) = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> ((t <_ u -> (abs` (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t))) < v) <-> (t <_ u -> (abs` ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))) < v)))
4645rexralbidv 2142 . . . . . . . 8 |- ((NN X. {0}) = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> (E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t))) < v) <-> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))) < v)))
4746imbi2d 674 . . . . . . 7 |- ((NN X. {0}) = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> ((0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t))) < v)) <-> (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))) < v))))
4847ralbidv 2123 . . . . . 6 |- ((NN X. {0}) = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> (A.v e. RR (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t))) < v)) <-> A.v e. RR (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))) < v))))
4939, 48anbi12d 690 . . . . 5 |- ((NN X. {0}) = if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) -> (((NN X. {0}):NN-->CC /\ A.v e. RR (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t))) < v))) <-> (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})):NN-->CC /\ A.v e. RR (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))) < v)))))
50 0cn 6481 . . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
5150elisseti 2301 . . . . . . . 8 |- 0 e. _V
5251fconst 4602 . . . . . . 7 |- (NN X. {0}):NN-->{0}
53 snssi 3129 . . . . . . . 8 |- (0 e. CC -> {0} C_ CC)
5450, 53ax-mp 7 . . . . . . 7 |- {0} C_ CC
55 fss 4571 . . . . . . 7 |- (((NN X. {0}):NN-->{0} /\ {0} C_ CC) -> (NN X. {0}):NN-->CC)
5652, 54, 55mp2an 761 . . . . . 6 |- (NN X. {0}):NN-->CC
57 breq1 3341 . . . . . . . . . . . 12 |- (t = 1 -> (t <_ u <-> 1 <_ u))
58 fveq2 4681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (t = 1 -> ((NN X. {0})` t) = ((NN X. {0})` 1))
59 1nn 7117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. NN
6051fvconst2 4822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (1 e. NN -> ((NN X. {0})` 1) = 0)
6159, 60ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((NN X. {0})` 1) = 0
6258, 61syl6eq 1944 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (t = 1 -> ((NN X. {0})` t) = 0)
6362opreq2d 4898 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (t = 1 -> (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t)) = (((NN X. {0})` u) - 0))
6463fveq2d 4685 . . . . . . . . . . . . 13 |- (t = 1 -> (abs` (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t))) = (abs` (((NN X. {0})` u) - 0)))
6564breq1d 3348 . . . . . . . . . . . 12 |- (t = 1 -> ((abs` (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t))) < v <-> (abs` (((NN X. {0})` u) - 0)) < v))
6657, 65imbi12d 688 . . . . . . . . . . 11 |- (t = 1 -> ((t <_ u -> (abs` (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t))) < v) <-> (1 <_ u -> (abs` (((NN X. {0})` u) - 0)) < v)))
6766ralbidv 2123 . . . . . . . . . 10 |- (t = 1 -> (A.u e. NN (t <_ u -> (abs` (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t))) < v) <-> A.u e. NN (1 <_ u -> (abs` (((NN X. {0})` u) - 0)) < v)))
6867rcla4ev 2381 . . . . . . . . 9 |- ((1 e. NN /\ A.u e. NN (1 <_ u -> (abs` (((NN X. {0})` u) - 0)) < v)) -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t))) < v))
6951fvconst2 4822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (u e. NN -> ((NN X. {0})` u) = 0)
7069opreq1d 4897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (u e. NN -> (((NN X. {0})` u) - 0) = (0 - 0))
7150subidi 6551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (0 - 0) = 0
7270, 71syl6eq 1944 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (u e. NN -> (((NN X. {0})` u) - 0) = 0)
7372fveq2d 4685 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (u e. NN -> (abs` (((NN X. {0})` u) - 0)) = (abs` 0))
74 abs0 8129 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (abs` 0) = 0
7573, 74syl6eq 1944 . . . . . . . . . . . . 13 |- (u e. NN -> (abs` (((NN X. {0})` u) - 0)) = 0)
7675breq1d 3348 . . . . . . . . . . . 12 |- (u e. NN -> ((abs` (((NN X. {0})` u) - 0)) < v <-> 0 < v))
7776biimparc 463 . . . . . . . . . . 11 |- ((0 < v /\ u e. NN) -> (abs` (((NN X. {0})` u) - 0)) < v)
7877a1d 15 . . . . . . . . . 10 |- ((0 < v /\ u e. NN) -> (1 <_ u -> (abs` (((NN X. {0})` u) - 0)) < v))
7978r19.21aiva 2176 . . . . . . . . 9 |- (0 < v -> A.u e. NN (1 <_ u -> (abs` (((NN X. {0})` u) - 0)) < v))
8068, 59, 79sylancr 526 . . . . . . . 8 |- (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t))) < v))
8180a1i 8 . . . . . . 7 |- (v e. RR -> (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t))) < v)))
8281rgen 2159 . . . . . 6 |- A.v e. RR (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t))) < v))
8356, 82pm3.2i 307 . . . . 5 |- ((NN X. {0}):NN-->CC /\ A.v e. RR (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` (((NN X. {0})` u) - ((NN X. {0})` t))) < v)))
8438, 49, 83elimhyp 3021 . . . 4 |- (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})):NN-->CC /\ A.v e. RR (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))) < v)))
8584simpli 347 . . 3 |- if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})):NN-->CC
8684simpri 351 . . 3 |- A.v e. RR (0 < v -> E.t e. NN A.u e. NN (t <_ u -> (abs` ((if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` u) - (if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0}))` t))) < v))
8785, 86caucvg3i 8427 . 2 |- E.x e. CC if((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))), F, (NN X. {0})) ~~> x
882, 87dedth 3011 1 |- ((F:NN-->CC /\ A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w <_ y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))) -> E.x e. CC F ~~> x)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  ifcif 2982  {csn 3044   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   - cmin 6445   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  abscabs 8000   ~~> cli 8234
This theorem is referenced by:  cncms 9276
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235
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