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Theorem caucvg 13140
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvg.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caucvg.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
caucvg.3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)
caucvg.4  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
Assertion
Ref Expression
caucvg  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    ph, j, k, x   
j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    V( x, j, k)

Proof of Theorem caucvg
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5679 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
21cbvmptv 4371 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) )
3 caucvg.1 . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
4 uzssz 10868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
53, 4eqsstri 3374 . . . . . . . . 9  |-  Z  C_  ZZ
6 zssre 10641 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
75, 6sstri 3353 . . . . . . . 8  |-  Z  C_  RR
87a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  C_  RR )
9 caucvg.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
102eqcomi 2437 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )
119, 10fmptd 5855 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) : Z --> CC )
12 1rp 10983 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
13 ne0i 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  RR+  ->  RR+  =/=  (/) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  =/=  (/)
15 caucvg.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)
16 r19.2z 3757 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)
1714, 15, 16sylancr 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)
18 eluzel2 10854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
1918, 3eleq2s 2525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  Z  ->  M  e.  ZZ )
2019a1d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  ->  M  e.  ZZ ) )
2120rexlimiv 2825 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x  ->  M  e.  ZZ )
2221rexlimivw 2827 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  M  e.  ZZ )
2317, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
243uzsup 11686 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo )
2523, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo )
265sseli 3340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
275sseli 3340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
28 eluz 10862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  <->  j  <_  k ) )
2926, 27, 28syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  <->  j  <_  k ) )
3029biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( j  <_  k  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
31 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
32 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) )
33 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
3431, 32, 33fvmpt3i 5766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
35 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  j  ->  ( F `  n )  =  ( F `  j ) )
3635, 32, 33fvmpt3i 5766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) `  j
)  =  ( F `
 j ) )
3734, 36oveqan12rd 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) `
 k )  -  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  j ) )  =  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )
3837fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  k )  -  (
( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) `  j
) ) )  =  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) ) )
3938breq1d 4290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  k )  -  (
( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) `  j
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
4039biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  k )  -  (
( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) `  j
) ) )  < 
x ) )
4130, 40imim12d 74 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) `
 k )  -  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  j ) ) )  <  x ) ) )
4241ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  Z  ->  (
k  e.  Z  -> 
( ( k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) `
 k )  -  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  j ) ) )  <  x ) ) ) )
4342com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  j )  -> 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  ( k  e.  Z  ->  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) `
 k )  -  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  j ) ) )  <  x ) ) ) )
4443ralimdv2 2786 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  ->  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) `
 k )  -  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  j ) ) )  <  x ) ) )
4544reximia 2811 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  k )  -  (
( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) `  j
) ) )  < 
x ) )
4645ralimi 2781 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) `
 k )  -  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  j ) ) )  <  x ) )
4715, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  Z  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) `  k
)  -  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  j ) ) )  <  x
) )
488, 11, 25, 47caucvgr 13137 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) )  e.  dom  ~~> r  )
4911, 25rlimdm 13013 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) )  e. 
dom 
~~> r  <->  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) ) ) )
5048, 49mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) ) )
512, 50syl5eqbr 4313 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) ) )
52 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )
539, 52fmptd 5855 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) ) : Z --> CC )
543, 23, 53rlimclim 13008 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) )  <->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )  ~~>  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) ) ) )
5551, 54mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )  ~~>  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) ) )
56 caucvg.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
573, 52climmpt 13033 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) )  <->  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  ~~>  (  ~~> r  `  (
n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) ) ) )
5823, 56, 57syl2anc 654 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) )  <->  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  ~~>  (  ~~> r  `  (
n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) ) ) )
5955, 58mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) ) )
60 climrel 12954 . . 3  |-  Rel  ~~>
6160releldmi 5063 . 2  |-  ( F  ~~>  (  ~~> r  `  (
n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
6259, 61syl 16 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3316   (/)c0 3625   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   dom cdm 4827   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   supcsup 7678   CCcc 9268   RRcr 9269   1c1 9271   +oocpnf 9403   RR*cxr 9405    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   RR+crp 10979   abscabs 12707    ~~> cli 12946    ~~> r crli 12947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-ico 11294  df-fl 11626  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951
This theorem is referenced by:  caucvgb  13141  cvgcmpce  13264  ulmcau  21745  dchrisumlem3  22625  rrncmslem  28575
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