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Theorem caucfil 22146
Description: A Cauchy sequence predicate can be expressed in terms of the Cauchy filter predicate for a suitably chosen filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
caucfil.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caucfil.2  |-  L  =  ( ( X  FilMap  F ) `  ( ZZ>= " Z ) )
Assertion
Ref Expression
caucfil  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  L  e.  (CauFil `  D ) ) )

Proof of Theorem caucfil
Dummy variables  j 
k  m  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 984 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
2 caucfil.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32uztrn2 11176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
43adantll 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  Z )
5 simpll3 1046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  F : Z
--> X )
6 fdm 5750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : Z --> X  ->  dom  F  =  Z )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  dom  F  =  Z )
84, 7eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  dom  F )
95, 4ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k )  e.  X
)
108, 9jca 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )
1110biantrurd 510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x  <->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) )
12 uzss 11179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>=
`  j ) )
1312adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>=
`  j ) )
1413sseld 3469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
1514pm4.71rd 639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  <->  ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
) ) )
1615imbi1d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  ( (
m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) )
17 impexp 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  (
ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k ) )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <-> 
( m  e.  (
ZZ>= `  j )  -> 
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) )
1816, 17syl6bb 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) ) )
1918ralbidv2 2867 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
2011, 19bitr3d 258 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
211, 20syl5bb 260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) )
2221ralbidva 2868 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
23 r19.26-2 2963 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) ) )
24 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  k  ->  (
u  e.  ( ZZ>= `  m )  <->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
) )
25 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  k  ->  ( F `  u )  =  ( F `  k ) )
2625oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  k  ->  (
( F `  m
) D ( F `
 u ) )  =  ( ( F `
 m ) D ( F `  k
) ) )
2726breq1d 4436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  k  ->  (
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x  <->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  < 
x ) )
2824, 27imbi12d 321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  k  ->  (
( u  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) ) )
2928cbvralv 3062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. u  e.  ( ZZ>= `  j ) ( u  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )
3029ralbii 2863 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. u  e.  ( ZZ>= `  j )
( u  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x )  <->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  < 
x ) )
31 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  k )
)
3231eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  (
u  e.  ( ZZ>= `  m )  <->  u  e.  ( ZZ>= `  k )
) )
33 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
3433oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  m
) D ( F `
 u ) )  =  ( ( F `
 k ) D ( F `  u
) ) )
3534breq1d 4436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  u ) )  < 
x ) )
3632, 35imbi12d 321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
( u  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x )  <-> 
( u  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  u ) )  <  x ) ) )
37 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  m  ->  (
u  e.  ( ZZ>= `  k )  <->  m  e.  ( ZZ>= `  k )
) )
38 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  m  ->  ( F `  u )  =  ( F `  m ) )
3938oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  m  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 u ) )  =  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )
4039breq1d 4436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  m  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  u ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
4137, 40imbi12d 321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  m  ->  (
( u  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  u ) )  <  x )  <-> 
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) )
4236, 41cbvral2v 3070 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. u  e.  ( ZZ>= `  j )
( u  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
43 ralcom 2996 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  < 
x ) )
4430, 42, 433bitr3i 278 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  < 
x ) )
4544anbi2i 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) ) )
46 anidm 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
4723, 45, 463bitr2i 276 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
48 simpll1 1044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
49 simpll3 1046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  F : Z --> X )
502uztrn2 11176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  Z  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  Z )
5150ad2ant2l 750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  m  e.  Z )
5249, 51ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  m )  e.  X )
539adantrr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  k )  e.  X )
54 xmetsym 21293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  m )  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 m ) D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )
5548, 52, 53, 54syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( F `  m
) D ( F `
 k ) )  =  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )
5655breq1d 4436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
5756imbi2d 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) )
5857anbi2d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )  <->  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) ) )
59 jaob 790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  e.  (
ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <-> 
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) )
60 eluzelz 11168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  k  e.  ZZ )
61 eluzelz 11168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  m  e.  ZZ )
62 uztric 11180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  (
ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )
6360, 61, 62syl2an 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ) )
6463adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
m  e.  ( ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  m )
) )
65 pm5.5 337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>=
`  m ) )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
)  <->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
) )
6759, 66syl5bbr 262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )  <->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
) )
6858, 67bitrd 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )  <->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
) )
69682ralbidva 2874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
7047, 69syl5bbr 262 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
7122, 70bitrd 256 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
7271rexbidva 2943 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
73 uzf 11162 . . . . . 6  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
74 ffn 5746 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ZZ>=  Fn  ZZ )
7573, 74ax-mp 5 . . . . 5  |-  ZZ>=  Fn  ZZ
76 uzssz 11178 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
772, 76eqsstri 3500 . . . . 5  |-  Z  C_  ZZ
78 raleq 3032 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
7978raleqbi1dv 3040 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  u  A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
8079rexima 6159 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>=  Fn  ZZ  /\  Z  C_  ZZ )  ->  ( E. u  e.  ( ZZ>=
" Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
8175, 77, 80mp2an 676 . . . 4  |-  ( E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )
8272, 81syl6bbr 266 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
8382ralbidv 2871 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
84 elfvdm 5907 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
8584adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ )  ->  X  e.  dom  *Met )
86 cnex 9619 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
8785, 86jctir 540 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( X  e. 
dom  *Met  /\  CC  e.  _V ) )
88 zsscn 10945 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  CC
8977, 88sstri 3479 . . . . . 6  |-  Z  C_  CC
9089jctr 544 . . . . 5  |-  ( F : Z --> X  -> 
( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )
91 elpm2r 7497 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  dom  *Met  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)
9287, 90, 91syl2an 479 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ )  /\  F : Z
--> X )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
93 simpl 458 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
94 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
952, 93, 94iscau3 22141 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) ) )
9695baibd 917 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
9792, 96syldan 472 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ )  /\  F : Z
--> X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
98973impa 1200 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) )
99 caucfil.2 . . . 4  |-  L  =  ( ( X  FilMap  F ) `  ( ZZ>= " Z ) )
10099eleq1i 2506 . . 3  |-  ( L  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( ( X 
FilMap  F ) `  ( ZZ>=
" Z ) )  e.  (CauFil `  D
) )
1012uzfbas 20844 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
" Z )  e.  ( fBas `  Z
) )
102 fmcfil 22135 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ZZ>= " Z
)  e.  ( fBas `  Z )  /\  F : Z --> X )  -> 
( ( ( X 
FilMap  F ) `  ( ZZ>=
" Z ) )  e.  (CauFil `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
103101, 102syl3an2 1298 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( ( ( X  FilMap  F ) `  ( ZZ>= " Z ) )  e.  (CauFil `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
104100, 103syl5bb 260 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( L  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
10583, 98, 1043bitr4d 288 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  L  e.  (CauFil `  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   "cima 4857    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^pm cpm 7481   CCcc 9536    < clt 9674   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   *Metcxmt 18890   fBascfbas 18893    FilMap cfm 20879  CauFilccfil 22115   Caucca 22116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-rest 15280  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-bl 18900  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-fil 20792  df-fm 20884  df-cfil 22118  df-cau 22119
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