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Theorem caucfil 21485
Description: A Cauchy sequence predicate can be expressed in terms of the Cauchy filter predicate for a suitably chosen filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
caucfil.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caucfil.2  |-  L  =  ( ( X  FilMap  F ) `  ( ZZ>= " Z ) )
Assertion
Ref Expression
caucfil  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  L  e.  (CauFil `  D ) ) )

Proof of Theorem caucfil
Dummy variables  j 
k  m  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
2 caucfil.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32uztrn2 11099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
43adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  Z )
5 simpll3 1037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  F : Z
--> X )
6 fdm 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : Z --> X  ->  dom  F  =  Z )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  dom  F  =  Z )
84, 7eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  dom  F )
95, 4ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k )  e.  X
)
108, 9jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )
1110biantrurd 508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x  <->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) )
12 uzss 11102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>=
`  j ) )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>=
`  j ) )
1413sseld 3503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
1514pm4.71rd 635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  <->  ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
) ) )
1615imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  ( (
m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) )
17 impexp 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  (
ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k ) )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <-> 
( m  e.  (
ZZ>= `  j )  -> 
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) )
1816, 17syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) ) )
1918ralbidv2 2899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
2011, 19bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
211, 20syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) )
2221ralbidva 2900 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
23 r19.26-2 2990 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) ) )
24 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  k  ->  (
u  e.  ( ZZ>= `  m )  <->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
) )
25 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  k  ->  ( F `  u )  =  ( F `  k ) )
2625oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  k  ->  (
( F `  m
) D ( F `
 u ) )  =  ( ( F `
 m ) D ( F `  k
) ) )
2726breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  k  ->  (
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x  <->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  < 
x ) )
2824, 27imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  k  ->  (
( u  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) ) )
2928cbvralv 3088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. u  e.  ( ZZ>= `  j ) ( u  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )
3029ralbii 2895 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. u  e.  ( ZZ>= `  j )
( u  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x )  <->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  < 
x ) )
31 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  k )
)
3231eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  (
u  e.  ( ZZ>= `  m )  <->  u  e.  ( ZZ>= `  k )
) )
33 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
3433oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  m
) D ( F `
 u ) )  =  ( ( F `
 k ) D ( F `  u
) ) )
3534breq1d 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  u ) )  < 
x ) )
3632, 35imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
( u  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x )  <-> 
( u  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  u ) )  <  x ) ) )
37 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  m  ->  (
u  e.  ( ZZ>= `  k )  <->  m  e.  ( ZZ>= `  k )
) )
38 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  m  ->  ( F `  u )  =  ( F `  m ) )
3938oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  m  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 u ) )  =  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )
4039breq1d 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  m  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  u ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
4137, 40imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  m  ->  (
( u  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  u ) )  <  x )  <-> 
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) )
4236, 41cbvral2v 3096 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. u  e.  ( ZZ>= `  j )
( u  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
43 ralcom 3022 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  < 
x ) )
4430, 42, 433bitr3i 275 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  < 
x ) )
4544anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) ) )
46 anidm 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
4723, 45, 463bitr2i 273 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
48 simpll1 1035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
49 simpll3 1037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  F : Z --> X )
502uztrn2 11099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  Z  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  Z )
5150ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  m  e.  Z )
5249, 51ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  m )  e.  X )
539adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  k )  e.  X )
54 xmetsym 20613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  m )  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 m ) D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )
5548, 52, 53, 54syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( F `  m
) D ( F `
 k ) )  =  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )
5655breq1d 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
5756imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) )
5857anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )  <->  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) ) )
59 jaob 781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  e.  (
ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <-> 
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) )
60 eluzelz 11091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  k  e.  ZZ )
61 eluzelz 11091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  m  e.  ZZ )
62 uztric 11103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  (
ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )
6360, 61, 62syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ) )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
m  e.  ( ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  m )
) )
65 pm5.5 336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>=
`  m ) )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
)  <->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
) )
6759, 66syl5bbr 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )  <->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
) )
6858, 67bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )  <->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
) )
69682ralbidva 2906 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
7047, 69syl5bbr 259 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
7122, 70bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
7271rexbidva 2970 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
73 uzf 11085 . . . . . 6  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
74 ffn 5731 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ZZ>=  Fn  ZZ )
7573, 74ax-mp 5 . . . . 5  |-  ZZ>=  Fn  ZZ
76 uzssz 11101 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
772, 76eqsstri 3534 . . . . 5  |-  Z  C_  ZZ
78 raleq 3058 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
7978raleqbi1dv 3066 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  u  A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
8079rexima 6139 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>=  Fn  ZZ  /\  Z  C_  ZZ )  ->  ( E. u  e.  ( ZZ>=
" Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
8175, 77, 80mp2an 672 . . . 4  |-  ( E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )
8272, 81syl6bbr 263 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
8382ralbidv 2903 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
84 elfvdm 5892 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
8584adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ )  ->  X  e.  dom  *Met )
86 cnex 9573 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
8785, 86jctir 538 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( X  e. 
dom  *Met  /\  CC  e.  _V ) )
88 zsscn 10872 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  CC
8977, 88sstri 3513 . . . . . 6  |-  Z  C_  CC
9089jctr 542 . . . . 5  |-  ( F : Z --> X  -> 
( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )
91 elpm2r 7436 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  dom  *Met  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)
9287, 90, 91syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ )  /\  F : Z
--> X )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
93 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
94 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
952, 93, 94iscau3 21480 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) ) )
9695baibd 907 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
9792, 96syldan 470 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ )  /\  F : Z
--> X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
98973impa 1191 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) )
99 caucfil.2 . . . 4  |-  L  =  ( ( X  FilMap  F ) `  ( ZZ>= " Z ) )
10099eleq1i 2544 . . 3  |-  ( L  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( ( X 
FilMap  F ) `  ( ZZ>=
" Z ) )  e.  (CauFil `  D
) )
1012uzfbas 20162 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
" Z )  e.  ( fBas `  Z
) )
102 fmcfil 21474 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ZZ>= " Z
)  e.  ( fBas `  Z )  /\  F : Z --> X )  -> 
( ( ( X 
FilMap  F ) `  ( ZZ>=
" Z ) )  e.  (CauFil `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
103101, 102syl3an2 1262 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( ( ( X  FilMap  F ) `  ( ZZ>= " Z ) )  e.  (CauFil `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
104100, 103syl5bb 257 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( L  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
10583, 98, 1043bitr4d 285 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  L  e.  (CauFil `  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   "cima 5002    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    ^pm cpm 7421   CCcc 9490    < clt 9628   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11220   *Metcxmt 18202   fBascfbas 18205    FilMap cfm 20197  CauFilccfil 21454   Caucca 21455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ico 11535  df-rest 14678  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-bl 18213  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-fil 20110  df-fm 20202  df-cfil 21457  df-cau 21458
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