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Theorem caubnd2 12837
Description: A Cauchy sequence of complex numbers is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cau3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
caubnd2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y
)
Distinct variable groups:    j, k, x, y, F    j, M, k, x    j, Z, k, x, y
Allowed substitution hint:    M( y)

Proof of Theorem caubnd2
StepHypRef Expression
1 1rp 10987 . . 3  |-  1  e.  RR+
2 breq2 4291 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
) )
32anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) ) )
43rexralbidv 2754 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) ) )
54rspcv 3064 . . 3  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 ) ) )
61, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 ) )
7 eluzelz 10862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
8 cau3.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
97, 8eleq2s 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
10 uzid 10867 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
12 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
1312ralimi 2786 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  CC )
14 fveq2 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
1514eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  j )  e.  CC ) )
1615rspcva 3066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  CC )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
1711, 13, 16syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
18 abscl 12759 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  j )  e.  CC  ->  ( abs `  ( F `  j ) )  e.  RR )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  ( abs `  ( F `  j ) )  e.  RR )
20 1re 9377 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
21 readdcl 9357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  ( F `  j )
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  j )
)  +  1 )  e.  RR )
2219, 20, 21sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 )  e.  RR )
23 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
24 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
25 abs2dif 12812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) ) )
2623, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( F `  k
) )  -  ( abs `  ( F `  j ) ) )  <_  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) ) )
27 abscl 12759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
2823, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR )
2924, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  e.  RR )
3028, 29resubcld 9768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( F `  k
) )  -  ( abs `  ( F `  j ) ) )  e.  RR )
3123, 24subcld 9711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) )  e.  CC )
32 abscl 12759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  e.  RR )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  e.  RR )
34 lelttr 9457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( abs `  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) )
3520, 34mp3an3 1303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( abs `  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) )
3630, 33, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( abs `  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) )
3726, 36mpand 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <  1 ) )
38 ltsubadd2 9802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 j ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) ) )
3920, 38mp3an3 1303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 j ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  k
) )  -  ( abs `  ( F `  j ) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4028, 29, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 k ) )  -  ( abs `  ( F `  j )
) )  <  1  <->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 ) ) )
4137, 40sylibd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) ) )
4241expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4342ralimdv 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  1 )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 ) ) )
4443impancom 440 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4517, 44mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) )
46 breq2 4291 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 )  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  < 
y  <->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) ) )
4746ralbidv 2730 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4847rspcev 3068 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  j )
)  +  1 )  e.  RR  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
4922, 45, 48syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
5049ex 434 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y
) )
5150reximia 2816 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
)  ->  E. j  e.  Z  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
52 rexcom 2877 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y  <->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
5351, 52sylib 196 . 2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
)  ->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
546, 53syl 16 1  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   1c1 9275    + caddc 9277    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   abscabs 12715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717
This theorem is referenced by:  caubnd  12838
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