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Theorem caubnd 12845
Description: A Cauchy sequence of complex numbers is bounded. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cau3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
caubnd  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y )
Distinct variable groups:    j, k, x, y, F    j, M, k, x    j, Z, k, x, y
Allowed substitution hint:    M( y)

Proof of Theorem caubnd
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abscl 12766 . . . 4  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
21ralimi 2790 . . 3  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
3 cau3.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
43r19.29uz 12837 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
54ex 434 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
65ralimdv 2794 . . . 4  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
73caubnd2 12844 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. z  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)
86, 7syl6 33 . . 3  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  E. z  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
) )
9 fzssuz 11498 . . . . . . . 8  |-  ( M ... j )  C_  ( ZZ>= `  M )
109, 3sseqtr4i 3388 . . . . . . 7  |-  ( M ... j )  C_  Z
11 ssralv 3415 . . . . . . 7  |-  ( ( M ... j ) 
C_  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  RR  ->  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR )
13 fzfi 11793 . . . . . . . 8  |-  ( M ... j )  e. 
Fin
14 fimaxre3 10278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M ... j
)  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  x )
1513, 14mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  x )
16 peano2re 9541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
1716adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
18 ltp1 10166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  ( x  +  1 ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  x  <  ( x  +  1 ) )
2016adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
21 lelttr 9464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
x  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  k
) )  <_  x  /\  x  <  ( x  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( x  +  1 ) ) )
2220, 21mpd3an3 1315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  ( F `  k
) )  <_  x  /\  x  <  ( x  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( x  +  1 ) ) )
2319, 22mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( x  + 
1 ) ) )
2423expcom 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
2524ralimdv 2794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  RR  ->  A. k  e.  ( M ... j
) ( ( abs `  ( F `  k
) )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( x  +  1 ) ) ) )
2625impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  A. k  e.  ( M ... j ) ( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( x  + 
1 ) ) )
27 ralim 2786 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
( x  +  1 ) )  ->  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  x  ->  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( x  +  1 ) ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( x  + 
1 ) ) )
29 breq2 4295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <  w  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
x  +  1 ) ) )
3029ralbidv 2734 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  w  <->  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( x  +  1 ) ) )
3130rspcev 3072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  RR  /\  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( x  + 
1 ) )  ->  E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  w )
3217, 28, 31syl6an 545 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  w
) )
3332rexlimdva 2840 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  w
) )
3415, 33mpd 15 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR  ->  E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  w )
3512, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w )
36 max1 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  w  <_  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) )
37363adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  w  <_  if ( w  <_ 
z ,  z ,  w ) )
38 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
39 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  w  e.  RR )
40 ifcl 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  if ( w  <_ 
z ,  z ,  w )  e.  RR )
4140ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  if ( w  <_ 
z ,  z ,  w )  e.  RR )
42413adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  e.  RR )
43 ltletr 9465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  w  e.  RR  /\  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  k
) )  <  w  /\  w  <_  if ( w  <_  z , 
z ,  w ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
4438, 39, 42, 43syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  /\  w  <_  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) ) )
4537, 44mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
46 max2 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  z  <_  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) )
47463adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  z  <_  if ( w  <_ 
z ,  z ,  w ) )
48 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
49 ltletr 9465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  k
) )  <  z  /\  z  <_  if ( w  <_  z , 
z ,  w ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
5038, 48, 42, 49syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  z  /\  z  <_  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) ) )
5147, 50mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <  z  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
5245, 51jaod 380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) ) )
53523expia 1189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) ) ) )
5453ralimdv 2794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  A. k  e.  Z  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) ) ) )
55 ralim 2786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  Z  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) )  ->  ( A. k  e.  Z  (
( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  ->  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
5654, 55syl6 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  ->  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) ) )
57 breq2 4295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  y  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
5857ralbidv 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  -> 
( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y  <->  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k
) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
5958rspcev 3072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( w  <_ 
z ,  z ,  w )  e.  RR  /\ 
A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y )
6059ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( w  <_  z ,  z ,  w
)  e.  RR  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y ) )
6141, 60syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y ) )
6256, 61syl6d 69 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y ) ) )
63 uzssz 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
643, 63eqsstri 3385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Z  C_  ZZ
6564sseli 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
6664sseli 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
67 uztric 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  (
ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
6865, 66, 67syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( j  e.  (
ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
69 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
7069, 3syl6eleq 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )
71 elfzuzb 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( M ... j )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
7271baib 896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( M ... j
)  <->  j  e.  (
ZZ>= `  k ) ) )
7370, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( k  e.  ( M ... j )  <-> 
j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )
7473orbi1d 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( k  e.  ( M ... j
)  \/  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  <->  ( j  e.  ( ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) ) )
7568, 74mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( k  e.  ( M ... j )  \/  k  e.  (
ZZ>= `  j ) ) )
7675ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  Z  ->  (
k  e.  Z  -> 
( k  e.  ( M ... j )  \/  k  e.  (
ZZ>= `  j ) ) ) )
77 pm3.48 829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  ( M ... j )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  w )  /\  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  z )
)  ->  ( (
k  e.  ( M ... j )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z ) ) )
7876, 77syl9 71 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( ( k  e.  ( M ... j
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  w
)  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  z )
)  ->  ( k  e.  Z  ->  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  <  w  \/  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
z ) ) ) )
7978alimdv 1675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k ( ( k  e.  ( M ... j )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
w )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
z ) )  ->  A. k ( k  e.  Z  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  < 
w  \/  ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
) ) ) )
80 df-ral 2719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  w  <->  A. k ( k  e.  ( M ... j
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  w
) )
81 df-ral 2719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z  <->  A. k ( k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  z )
)
8280, 81anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)  <->  ( A. k
( k  e.  ( M ... j )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  w )  /\  A. k ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
) ) )
83 19.26 1647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k ( ( k  e.  ( M ... j )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
w )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
z ) )  <->  ( A. k ( k  e.  ( M ... j
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  w
)  /\  A. k
( k  e.  (
ZZ>= `  j )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  z )
) )
8482, 83bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)  <->  A. k ( ( k  e.  ( M ... j )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  w )  /\  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  z )
) )
85 df-ral 2719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  Z  (
( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  <->  A. k
( k  e.  Z  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z ) ) )
8679, 84, 853imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)  ->  A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k ) )  < 
w  \/  ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
) ) )
87863impib 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  w  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)  ->  A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k ) )  < 
w  \/  ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
) )
8887imim1i 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y )  -> 
( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
)
89883expd 1204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y )  -> 
( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) )
9062, 89syl6 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( j  e.  Z  -> 
( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) ) )
9190com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) ) )
9291expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  RR  ->  (
( z  e.  RR  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) ) )
9392com3r 79 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  ( w  e.  RR  ->  ( (
z  e.  RR  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) ) )
9493com34 83 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  ( w  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  w  ->  ( ( z  e.  RR  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) ) )
9594rexlimdv 2839 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  ( E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( ( z  e.  RR  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
y ) ) ) )
9635, 95mpd 15 . . . 4  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  ( (
z  e.  RR  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
y ) ) )
9796rexlimdvv 2846 . . 3  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  ( E. z  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
y ) )
982, 8, 97sylsyld 56 . 2  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y ) )
9998imp 429 1  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   E.wrex 2715    C_ wss 3327   ifcif 3790   class class class wbr 4291   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Fincfn 7309   CCcc 9279   RRcr 9280   1c1 9282    + caddc 9284    < clt 9417    <_ cle 9418    - cmin 9594   ZZcz 10645   ZZ>=cuz 10860   RR+crp 10990   ...cfz 11436   abscabs 12722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-rp 10991  df-fz 11437  df-seq 11806  df-exp 11865  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724
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