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Theorem caubnd 13203
Description: A Cauchy sequence of complex numbers is bounded. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cau3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
caubnd  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y )
Distinct variable groups:    j, k, x, y, F    j, M, k, x    j, Z, k, x, y
Allowed substitution hint:    M( y)

Proof of Theorem caubnd
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abscl 13123 . . . 4  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
21ralimi 2850 . . 3  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
3 cau3.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
43r19.29uz 13195 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
54ex 434 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
65ralimdv 2867 . . . 4  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
73caubnd2 13202 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. z  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)
86, 7syl6 33 . . 3  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  E. z  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
) )
9 fzssuz 11750 . . . . . . . 8  |-  ( M ... j )  C_  ( ZZ>= `  M )
109, 3sseqtr4i 3532 . . . . . . 7  |-  ( M ... j )  C_  Z
11 ssralv 3560 . . . . . . 7  |-  ( ( M ... j ) 
C_  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  RR  ->  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR )
13 fzfi 12085 . . . . . . . 8  |-  ( M ... j )  e. 
Fin
14 fimaxre3 10512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M ... j
)  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  x )
1513, 14mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  x )
16 peano2re 9770 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
1716adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
18 ltp1 10401 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  ( x  +  1 ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  x  <  ( x  +  1 ) )
2016adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
21 lelttr 9692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
x  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  k
) )  <_  x  /\  x  <  ( x  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( x  +  1 ) ) )
2220, 21mpd3an3 1325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  ( F `  k
) )  <_  x  /\  x  <  ( x  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( x  +  1 ) ) )
2319, 22mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( x  + 
1 ) ) )
2423expcom 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
2524ralimdv 2867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  RR  ->  A. k  e.  ( M ... j
) ( ( abs `  ( F `  k
) )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( x  +  1 ) ) ) )
2625impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  A. k  e.  ( M ... j ) ( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( x  + 
1 ) ) )
27 ralim 2846 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
( x  +  1 ) )  ->  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  x  ->  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( x  +  1 ) ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( x  + 
1 ) ) )
29 breq2 4460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <  w  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
x  +  1 ) ) )
3029ralbidv 2896 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  w  <->  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( x  +  1 ) ) )
3130rspcev 3210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  RR  /\  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( x  + 
1 ) )  ->  E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  w )
3217, 28, 31syl6an 545 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  w
) )
3332rexlimdva 2949 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  w
) )
3415, 33mpd 15 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR  ->  E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  w )
3512, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w )
36 max1 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  w  <_  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) )
37363adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  w  <_  if ( w  <_ 
z ,  z ,  w ) )
38 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
39 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  w  e.  RR )
40 ifcl 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  if ( w  <_ 
z ,  z ,  w )  e.  RR )
4140ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  if ( w  <_ 
z ,  z ,  w )  e.  RR )
42413adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  e.  RR )
43 ltletr 9693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  w  e.  RR  /\  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  k
) )  <  w  /\  w  <_  if ( w  <_  z , 
z ,  w ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
4438, 39, 42, 43syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  /\  w  <_  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) ) )
4537, 44mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
46 max2 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  z  <_  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) )
47463adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  z  <_  if ( w  <_ 
z ,  z ,  w ) )
48 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
49 ltletr 9693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  k
) )  <  z  /\  z  <_  if ( w  <_  z , 
z ,  w ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
5038, 48, 42, 49syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  z  /\  z  <_  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) ) )
5147, 50mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <  z  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
5245, 51jaod 380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) ) )
53523expia 1198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) ) ) )
5453ralimdv 2867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  A. k  e.  Z  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) ) ) )
55 ralim 2846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  Z  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) )  ->  ( A. k  e.  Z  (
( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  ->  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
5654, 55syl6 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  ->  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) ) )
57 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  y  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
5857ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  -> 
( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y  <->  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k
) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
5958rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( w  <_ 
z ,  z ,  w )  e.  RR  /\ 
A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y )
6059ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( w  <_  z ,  z ,  w
)  e.  RR  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y ) )
6141, 60syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y ) )
6256, 61syl6d 69 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y ) ) )
63 uzssz 11125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
643, 63eqsstri 3529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Z  C_  ZZ
6564sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
6664sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
67 uztric 11127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  (
ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
6865, 66, 67syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( j  e.  (
ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
69 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
7069, 3syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )
71 elfzuzb 11707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( M ... j )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
7271baib 903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( M ... j
)  <->  j  e.  (
ZZ>= `  k ) ) )
7370, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( k  e.  ( M ... j )  <-> 
j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )
7473orbi1d 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( k  e.  ( M ... j
)  \/  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  <->  ( j  e.  ( ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) ) )
7568, 74mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( k  e.  ( M ... j )  \/  k  e.  (
ZZ>= `  j ) ) )
7675ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  Z  ->  (
k  e.  Z  -> 
( k  e.  ( M ... j )  \/  k  e.  (
ZZ>= `  j ) ) ) )
77 pm3.48 833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  ( M ... j )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  w )  /\  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  z )
)  ->  ( (
k  e.  ( M ... j )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z ) ) )
7876, 77syl9 71 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( ( k  e.  ( M ... j
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  w
)  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  z )
)  ->  ( k  e.  Z  ->  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  <  w  \/  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
z ) ) ) )
7978alimdv 1710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k ( ( k  e.  ( M ... j )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
w )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
z ) )  ->  A. k ( k  e.  Z  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  < 
w  \/  ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
) ) ) )
80 df-ral 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  w  <->  A. k ( k  e.  ( M ... j
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  w
) )
81 df-ral 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z  <->  A. k ( k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  z )
)
8280, 81anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)  <->  ( A. k
( k  e.  ( M ... j )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  w )  /\  A. k ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
) ) )
83 19.26 1681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k ( ( k  e.  ( M ... j )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
w )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
z ) )  <->  ( A. k ( k  e.  ( M ... j
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  w
)  /\  A. k
( k  e.  (
ZZ>= `  j )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  z )
) )
8482, 83bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)  <->  A. k ( ( k  e.  ( M ... j )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  w )  /\  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  z )
) )
85 df-ral 2812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  Z  (
( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  <->  A. k
( k  e.  Z  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z ) ) )
8679, 84, 853imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)  ->  A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k ) )  < 
w  \/  ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
) ) )
87863impib 1194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  w  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)  ->  A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k ) )  < 
w  \/  ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
) )
8887imim1i 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y )  -> 
( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
)
89883expd 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y )  -> 
( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) )
9062, 89syl6 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( j  e.  Z  -> 
( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) ) )
9190com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) ) )
9291expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  RR  ->  (
( z  e.  RR  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) ) )
9392com3r 79 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  ( w  e.  RR  ->  ( (
z  e.  RR  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) ) )
9493com34 83 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  ( w  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  w  ->  ( ( z  e.  RR  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) ) )
9594rexlimdv 2947 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  ( E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( ( z  e.  RR  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
y ) ) ) )
9635, 95mpd 15 . . . 4  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  ( (
z  e.  RR  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
y ) ) )
9796rexlimdvv 2955 . . 3  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  ( E. z  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
y ) )
982, 8, 97sylsyld 56 . 2  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y ) )
9998imp 429 1  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1393    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   ...cfz 11697   abscabs 13079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081
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