Theorem cau5ii 8169

Description: A relationship used to derive two ways to express a Cauchy sequence. ph is ph(j, k).

Hypotheses

Ref	Expression
cau5i.1	|- M e. ZZ
cau5i.1a	|- Z = (ZZ>=` M)
cau5i.2	|- W C_ ZZ
cau5i.3	|- U C_ ZZ

Assertion

Ref	Expression
cau5ii	|- (E.m e. ZZ A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> E.m e. Z A.j e. W A.k e. U ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))

Distinct variable groups:   j,k,m,M   m,Z   ph,m

Proof of Theorem cau5ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 7348	. . . . 5 |- (n e. ZZ -> n e. RR)
2		cau5i.1	. . . . . . 7 |- M e. ZZ
3	2	zrei 7350	. . . . . 6 |- M e. RR
4	3	a1i 8	. . . . 5 |- (n e. ZZ -> M e. RR)
5		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((n e. RR /\ M e. RR /\ j e. RR) -> ((n <_ M /\ M <_ j) -> n <_ j))
6	3, 5	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((n e. RR /\ j e. RR) -> ((n <_ M /\ M <_ j) -> n <_ j))
7		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (j e. ZZ -> j e. RR)
8	6, 7	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((n e. RR /\ j e. ZZ) -> ((n <_ M /\ M <_ j) -> n <_ j))
9		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((n e. RR /\ M e. RR /\ k e. RR) -> ((n <_ M /\ M <_ k) -> n <_ k))
10	3, 9	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((n e. RR /\ k e. RR) -> ((n <_ M /\ M <_ k) -> n <_ k))
11		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k e. ZZ -> k e. RR)
12	10, 11	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((n e. RR /\ k e. ZZ) -> ((n <_ M /\ M <_ k) -> n <_ k))
13	8, 12	im2anan9 622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((n e. RR /\ j e. ZZ) /\ (n e. RR /\ k e. ZZ)) -> (((n <_ M /\ M <_ j) /\ (n <_ M /\ M <_ k)) -> (n <_ j /\ n <_ k)))
14	13	anandis 570	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((n e. RR /\ (j e. ZZ /\ k e. ZZ)) -> (((n <_ M /\ M <_ j) /\ (n <_ M /\ M <_ k)) -> (n <_ j /\ n <_ k)))
15	14, 1	sylan 497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((n e. ZZ /\ (j e. ZZ /\ k e. ZZ)) -> (((n <_ M /\ M <_ j) /\ (n <_ M /\ M <_ k)) -> (n <_ j /\ n <_ k)))
16		anandi 568	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((n <_ M /\ (M <_ j /\ M <_ k)) <-> ((n <_ M /\ M <_ j) /\ (n <_ M /\ M <_ k)))
17	15, 16	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . 12 |- ((n e. ZZ /\ (j e. ZZ /\ k e. ZZ)) -> ((n <_ M /\ (M <_ j /\ M <_ k)) -> (n <_ j /\ n <_ k)))
18	17	expdimp 406	. . . . . . . . . . 11 |- (((n e. ZZ /\ (j e. ZZ /\ k e. ZZ)) /\ n <_ M) -> ((M <_ j /\ M <_ k) -> (n <_ j /\ n <_ k)))
19	18	an1rs 547	. . . . . . . . . 10 |- (((n e. ZZ /\ n <_ M) /\ (j e. ZZ /\ k e. ZZ)) -> ((M <_ j /\ M <_ k) -> (n <_ j /\ n <_ k)))
20	19	anassrs 489	. . . . . . . . 9 |- ((((n e. ZZ /\ n <_ M) /\ j e. ZZ) /\ k e. ZZ) -> ((M <_ j /\ M <_ k) -> (n <_ j /\ n <_ k)))
21	20	imim1d 33	. . . . . . . 8 |- ((((n e. ZZ /\ n <_ M) /\ j e. ZZ) /\ k e. ZZ) -> (((n <_ j /\ n <_ k) -> ph) -> ((M <_ j /\ M <_ k) -> ph)))
22	21	ralimdvaa 2171	. . . . . . 7 |- (((n e. ZZ /\ n <_ M) /\ j e. ZZ) -> (A.k e. ZZ ((n <_ j /\ n <_ k) -> ph) -> A.k e. ZZ ((M <_ j /\ M <_ k) -> ph)))
23	22	ralimdvaa 2171	. . . . . 6 |- ((n e. ZZ /\ n <_ M) -> (A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((n <_ j /\ n <_ k) -> ph) -> A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((M <_ j /\ M <_ k) -> ph)))
24		uzid 7596	. . . . . . . 8 |- (M e. ZZ -> M e. (ZZ>=` M))
25	2, 24	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- M e. (ZZ>=` M)
26		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (m = M -> (m <_ j <-> M <_ j))
27		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (m = M -> (m <_ k <-> M <_ k))
28	26, 27	anbi12d 690	. . . . . . . . . 10 |- (m = M -> ((m <_ j /\ m <_ k) <-> (M <_ j /\ M <_ k)))
29	28	imbi1d 675	. . . . . . . . 9 |- (m = M -> (((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> ((M <_ j /\ M <_ k) -> ph)))
30	29	2ralbidv 2140	. . . . . . . 8 |- (m = M -> (A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((M <_ j /\ M <_ k) -> ph)))
31	30	rcla4ev 2381	. . . . . . 7 |- ((M e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((M <_ j /\ M <_ k) -> ph)) -> E.m e. (ZZ>=` M)A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
32	25, 31	mpan 759	. . . . . 6 |- (A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((M <_ j /\ M <_ k) -> ph) -> E.m e. (ZZ>=` M)A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
33	23, 32	syl6 25	. . . . 5 |- ((n e. ZZ /\ n <_ M) -> (A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((n <_ j /\ n <_ k) -> ph) -> E.m e. (ZZ>=` M)A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
34	2	eluz1i 7591	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>=` M) <-> (n e. ZZ /\ M <_ n))
35		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (m = n -> (m <_ j <-> n <_ j))
36		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (m = n -> (m <_ k <-> n <_ k))
37	35, 36	anbi12d 690	. . . . . . . . . 10 |- (m = n -> ((m <_ j /\ m <_ k) <-> (n <_ j /\ n <_ k)))
38	37	imbi1d 675	. . . . . . . . 9 |- (m = n -> (((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> ((n <_ j /\ n <_ k) -> ph)))
39	38	2ralbidv 2140	. . . . . . . 8 |- (m = n -> (A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((n <_ j /\ n <_ k) -> ph)))
40	39	rcla4ev 2381	. . . . . . 7 |- ((n e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((n <_ j /\ n <_ k) -> ph)) -> E.m e. (ZZ>=` M)A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
41	40	ex 402	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>=` M) -> (A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((n <_ j /\ n <_ k) -> ph) -> E.m e. (ZZ>=` M)A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
42	34, 41	sylbir 218	. . . . 5 |- ((n e. ZZ /\ M <_ n) -> (A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((n <_ j /\ n <_ k) -> ph) -> E.m e. (ZZ>=` M)A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
43	1, 4, 33, 42	lecasei 6804	. . . 4 |- (n e. ZZ -> (A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((n <_ j /\ n <_ k) -> ph) -> E.m e. (ZZ>=` M)A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
44	43	r19.23aiv 2211	. . 3 |- (E.n e. ZZ A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((n <_ j /\ n <_ k) -> ph) -> E.m e. (ZZ>=` M)A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
45		cau5i.2	. . . . . . 7 |- W C_ ZZ
46	45	sseli 2617	. . . . . 6 |- (j e. W -> j e. ZZ)
47		cau5i.3	. . . . . . . . 9 |- U C_ ZZ
48	47	sseli 2617	. . . . . . . 8 |- (k e. U -> k e. ZZ)
49	48	imim1i 19	. . . . . . 7 |- ((k e. ZZ -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)) -> (k e. U -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
50	49	ralimi2 2165	. . . . . 6 |- (A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> A.k e. U ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
51	46, 50	imim12i 21	. . . . 5 |- ((j e. ZZ -> A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)) -> (j e. W -> A.k e. U ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
52	51	ralimi2 2165	. . . 4 |- (A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> A.j e. W A.k e. U ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
53	52	reximi 2198	. . 3 |- (E.m e. (ZZ>=` M)A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> E.m e. (ZZ>=` M)A.j e. W A.k e. U ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
54	44, 53	syl 12	. 2 |- (E.n e. ZZ A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((n <_ j /\ n <_ k) -> ph) -> E.m e. (ZZ>=` M)A.j e. W A.k e. U ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
55	39	cbvrexv 2281	. 2 |- (E.m e. ZZ A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> E.n e. ZZ A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((n <_ j /\ n <_ k) -> ph))
56		cau5i.1a	. . 3 |- Z = (ZZ>=` M)
57		rexeq 2267	. . 3 |- (Z = (ZZ>=` M) -> (E.m e. Z A.j e. W A.k e. U ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> E.m e. (ZZ>=` M)A.j e. W A.k e. U ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
58	56, 57	ax-mp 7	. 2 |- (E.m e. Z A.j e. W A.k e. U ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> E.m e. (ZZ>=` M)A.j e. W A.k e. U ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
59	54, 55, 58	3imtr4i 236	1 |- (E.m e. ZZ A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> E.m e. Z A.j e. W A.k e. U ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  RRcr 6385   <_ cle 6448  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586

This theorem is referenced by:  cau5i 8171

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-z 7345  df-uz 7587

Copyright terms: Public domain