HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem cau5i 8171
Description: A relationship used to derive two ways to express a Cauchy sequence. ph is ph(j, k).
Hypotheses
Ref Expression
cau4i.1 |- M e. ZZ
cau4i.2 |- Z = (ZZ>=` M)
Assertion
Ref Expression
cau5i |- (E.m e. ZZ A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> E.m e. Z A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
Distinct variable groups:   j,k,m,M   j,Z,k,m   ph,m
Proof of Theorem cau5i
StepHypRef Expression
1 cau4i.1 . . 3 |- M e. ZZ
2 cau4i.2 . . 3 |- Z = (ZZ>=` M)
3 uzssz 7599 . . . 4 |- (ZZ>=` M) C_ ZZ
42, 3eqsstri 2647 . . 3 |- Z C_ ZZ
51, 2, 4, 4cau5ii 8169 . 2 |- (E.m e. ZZ A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> E.m e. Z A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
6 rexeq 2267 . . . . 5 |- (Z = (ZZ>=` M) -> (E.m e. Z A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> E.m e. (ZZ>=` M)A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
72, 6ax-mp 7 . . . 4 |- (E.m e. Z A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> E.m e. (ZZ>=` M)A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
8 rexuz 7613 . . . . 5 |- (M e. ZZ -> (E.m e. (ZZ>=` M)A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> E.m e. ZZ (M <_ m /\ A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))))
91, 8ax-mp 7 . . . 4 |- (E.m e. (ZZ>=` M)A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> E.m e. ZZ (M <_ m /\ A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
107, 9bitri 190 . . 3 |- (E.m e. Z A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> E.m e. ZZ (M <_ m /\ A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
111zrei 7350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- M e. RR
12 letr 6695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((M e. RR /\ m e. RR /\ j e. RR) -> ((M <_ m /\ m <_ j) -> M <_ j))
1311, 12mp3an1 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((m e. RR /\ j e. RR) -> ((M <_ m /\ m <_ j) -> M <_ j))
14 letr 6695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((M e. RR /\ m e. RR /\ k e. RR) -> ((M <_ m /\ m <_ k) -> M <_ k))
1511, 14mp3an1 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((m e. RR /\ k e. RR) -> ((M <_ m /\ m <_ k) -> M <_ k))
1613, 15im2anan9 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((m e. RR /\ j e. RR) /\ (m e. RR /\ k e. RR)) -> (((M <_ m /\ m <_ j) /\ (M <_ m /\ m <_ k)) -> (M <_ j /\ M <_ k)))
17 ancom 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((M <_ j /\ M <_ k) <-> (M <_ k /\ M <_ j))
1816, 17syl6ib 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((m e. RR /\ j e. RR) /\ (m e. RR /\ k e. RR)) -> (((M <_ m /\ m <_ j) /\ (M <_ m /\ m <_ k)) -> (M <_ k /\ M <_ j)))
1918anandis 570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((m e. RR /\ (j e. RR /\ k e. RR)) -> (((M <_ m /\ m <_ j) /\ (M <_ m /\ m <_ k)) -> (M <_ k /\ M <_ j)))
20 anandi 568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M <_ m /\ (m <_ j /\ m <_ k)) <-> ((M <_ m /\ m <_ j) /\ (M <_ m /\ m <_ k)))
2119, 20syl5ib 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((m e. RR /\ (j e. RR /\ k e. RR)) -> ((M <_ m /\ (m <_ j /\ m <_ k)) -> (M <_ k /\ M <_ j)))
22 zre 7348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (m e. ZZ -> m e. RR)
23 zre 7348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (j e. ZZ -> j e. RR)
24 zre 7348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k e. ZZ -> k e. RR)
2523, 24anim12i 360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((j e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (j e. RR /\ k e. RR))
2621, 22, 25syl2an 503 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((m e. ZZ /\ (j e. ZZ /\ k e. ZZ)) -> ((M <_ m /\ (m <_ j /\ m <_ k)) -> (M <_ k /\ M <_ j)))
2726exp4b 410 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (m e. ZZ -> ((j e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (M <_ m -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> (M <_ k /\ M <_ j)))))
2827com23 36 . . . . . . . . . . . . 13 |- (m e. ZZ -> (M <_ m -> ((j e. ZZ /\ k e. ZZ) -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> (M <_ k /\ M <_ j)))))
2928imp31 389 . . . . . . . . . . . 12 |- (((m e. ZZ /\ M <_ m) /\ (j e. ZZ /\ k e. ZZ)) -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> (M <_ k /\ M <_ j)))
3029anassrs 489 . . . . . . . . . . 11 |- ((((m e. ZZ /\ M <_ m) /\ j e. ZZ) /\ k e. ZZ) -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> (M <_ k /\ M <_ j)))
3130ancrd 323 . . . . . . . . . 10 |- ((((m e. ZZ /\ M <_ m) /\ j e. ZZ) /\ k e. ZZ) -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ((M <_ k /\ M <_ j) /\ (m <_ j /\ m <_ k))))
3231imim1d 33 . . . . . . . . 9 |- ((((m e. ZZ /\ M <_ m) /\ j e. ZZ) /\ k e. ZZ) -> ((((M <_ k /\ M <_ j) /\ (m <_ j /\ m <_ k)) -> ph) -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
33 impexp 374 . . . . . . . . . 10 |- ((((M <_ k /\ M <_ j) /\ (m <_ j /\ m <_ k)) -> ph) <-> ((M <_ k /\ M <_ j) -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
34 impexp 374 . . . . . . . . . 10 |- (((M <_ k /\ M <_ j) -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)) <-> (M <_ k -> (M <_ j -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))))
3533, 34bitri 190 . . . . . . . . 9 |- ((((M <_ k /\ M <_ j) /\ (m <_ j /\ m <_ k)) -> ph) <-> (M <_ k -> (M <_ j -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))))
3632, 35syl5ibr 224 . . . . . . . 8 |- ((((m e. ZZ /\ M <_ m) /\ j e. ZZ) /\ k e. ZZ) -> ((M <_ k -> (M <_ j -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))) -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
3736ralimdvaa 2171 . . . . . . 7 |- (((m e. ZZ /\ M <_ m) /\ j e. ZZ) -> (A.k e. ZZ (M <_ k -> (M <_ j -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))) -> A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
3837ralimdvaa 2171 . . . . . 6 |- ((m e. ZZ /\ M <_ m) -> (A.j e. ZZ A.k e. ZZ (M <_ k -> (M <_ j -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))) -> A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
39 raleq 2266 . . . . . . . 8 |- (Z = (ZZ>=` M) -> (A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> A.j e. (ZZ>=` M)A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
402, 39ax-mp 7 . . . . . . 7 |- (A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> A.j e. (ZZ>=` M)A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
41 raluz 7611 . . . . . . . 8 |- (M e. ZZ -> (A.j e. (ZZ>=` M)A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> A.j e. ZZ (M <_ j -> A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))))
421, 41ax-mp 7 . . . . . . 7 |- (A.j e. (ZZ>=` M)A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> A.j e. ZZ (M <_ j -> A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
43 raleq 2266 . . . . . . . . . 10 |- (Z = (ZZ>=` M) -> (A.k e. Z (M <_ j -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)) <-> A.k e. (ZZ>=` M)(M <_ j -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))))
442, 43ax-mp 7 . . . . . . . . 9 |- (A.k e. Z (M <_ j -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)) <-> A.k e. (ZZ>=` M)(M <_ j -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
45 r19.21v 2178 . . . . . . . . 9 |- (A.k e. Z (M <_ j -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)) <-> (M <_ j -> A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
46 raluz 7611 . . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> (A.k e. (ZZ>=` M)(M <_ j -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)) <-> A.k e. ZZ (M <_ k -> (M <_ j -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))))
471, 46ax-mp 7 . . . . . . . . 9 |- (A.k e. (ZZ>=` M)(M <_ j -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)) <-> A.k e. ZZ (M <_ k -> (M <_ j -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))))
4844, 45, 473bitr3i 198 . . . . . . . 8 |- ((M <_ j -> A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)) <-> A.k e. ZZ (M <_ k -> (M <_ j -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))))
4948ralbii 2127 . . . . . . 7 |- (A.j e. ZZ (M <_ j -> A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)) <-> A.j e. ZZ A.k e. ZZ (M <_ k -> (M <_ j -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))))
5040, 42, 493bitri 194 . . . . . 6 |- (A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> A.j e. ZZ A.k e. ZZ (M <_ k -> (M <_ j -> ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))))
5138, 50syl5ib 223 . . . . 5 |- ((m e. ZZ /\ M <_ m) -> (A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
5251expimpd 404 . . . 4 |- (m e. ZZ -> ((M <_ m /\ A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)) -> A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)))
5352reximia 2196 . . 3 |- (E.m e. ZZ (M <_ m /\ A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph)) -> E.m e. ZZ A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
5410, 53sylbi 216 . 2 |- (E.m e. Z A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> E.m e. ZZ A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
555, 54impbii 174 1 |- (E.m e. ZZ A.j e. ZZ A.k e. ZZ ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> E.m e. Z A.j e. Z A.k e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  RRcr 6385   <_ cle 6448  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586
This theorem is referenced by:  iscau2 9215  h2hcau 10481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-z 7345  df-uz 7587
Copyright terms: Public domain