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Theorem cau3lem 13411
Description: Lemma for cau3 13412. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cau3lem.1  |-  Z  C_  ZZ
cau3lem.2  |-  ( ta 
->  ps )
cau3lem.3  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  j )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
cau3lem.4  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  m )  ->  ( ps 
<->  th ) )
cau3lem.5  |-  ( (
ph  /\  ch  /\  ps )  ->  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) ) )
cau3lem.6  |-  ( (
ph  /\  th  /\  ch )  ->  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
cau3lem.7  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th )  /\  ( ch  /\  x  e.  RR ) )  ->  (
( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
Assertion
Ref Expression
cau3lem  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
Distinct variable groups:    k, m, ch    x, k, D, m   
k, F, m, x   
j, k, m, x,
ph    k, G, m, x    ps, m, x    ta, x    th, k    x, Z
Allowed substitution hints:    ps( j, k)    ch( x, j)    th( x, j, m)    ta( j, k, m)    D( j)    F( j)    G( j)    Z( j, k, m)

Proof of Theorem cau3lem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4425 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z
) )
21anbi2d 709 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x )  <->  ( ta  /\  ( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  z ) ) )
32rexralbidv 2948 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z ) ) )
43cbvralv 3056 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x )  <->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z ) )
5 rphalfcl 11329 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
6 breq2 4425 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  z  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) )
76anbi2d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z )  <->  ( ta  /\  ( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) ) )
87rexralbidv 2948 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  / 
2 )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
z )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
98rspcv 3179 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) ) )
105, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) ) )
1110adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) ) )
12 cau3lem.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ta 
->  ps )
1312ralimi 2819 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
14 r19.26 2956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
15 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
16 cau3lem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  m )  ->  ( ps 
<->  th ) )
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  m  ->  ( ps 
<->  th ) )
1815oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )
1918fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) ) )
2019breq1d 4431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  m  ->  (
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 )  <->  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) )
2117, 20anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  (
( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  <->  ( th  /\  ( G `  (
( F `  m
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) ) )
2221cbvralv 3056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( th  /\  ( G `
 ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) )
2322biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ps  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
2514, 24syl5bir 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  (
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( th  /\  ( G `
 ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) ) )
2625expdimp 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
27 cau3lem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  C_  ZZ
2827sseli 3461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
29 uzid 11175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
31 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
32 cau3lem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  j )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( ps 
<->  ch ) )
3433rspcva 3181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ch )
3530, 34sylan 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ch )
3635adantll 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ch )
3726, 36jctild 546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  ( ch  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( th  /\  ( G `
 ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) ) ) )
38 simplll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ph )
39 simplrr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  th )
40 simplrl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ch )
41 cau3lem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  th  /\  ch )  ->  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
4238, 39, 40, 41syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( G `  (
( F `  m
) D ( F `
 j ) ) )  =  ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) ) )
4342breq1d 4431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 )  <-> 
( G `  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
4443anbi2d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( ( ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  ( ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  /\  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )
45 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ps )
46 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  x  e.  RR+ )
4746rpred 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  x  e.  RR )
48 cau3lem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th )  /\  ( ch  /\  x  e.  RR ) )  ->  (
( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
4938, 45, 39, 40, 47, 48syl122anc 1274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( ( ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  /\  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
5044, 49sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( ( ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
5150expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 )  ->  ( ( G `
 ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) ) )
5251impr 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ( ps  /\  ( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
5352an32s 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ch  /\  th ) )  ->  (
( G `  (
( F `  m
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 )  -> 
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
5453anassrs 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ch )  /\  th )  ->  ( ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
5554expimpd 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ch )  -> 
( ( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
5655ralimdv 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ch )  -> 
( A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
5756impr 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( th 
/\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x )
5857an32s 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x )
5958expr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )  /\  ps )  ->  ( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
60 uzss 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>=
`  j ) )
61 ssralv 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>= `  j )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
6359, 62sylan9 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( th 
/\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )  /\  ps )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
6463an32s 812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( th 
/\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  /\  ps )  ->  ( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
6564expimpd 607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
6665ralimdva 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
6766ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
6867com23 82 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
6968adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ps  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( th 
/\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) ) )
7014, 69syl5bir 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  (
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( ch 
/\  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( th  /\  ( G `
 ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
7170expdimp 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  ( ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
7237, 71mpdd 42 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
7313, 72sylan2 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ta )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
7473imdistanda 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  (
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) ) )
75 r19.26 2956 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ta 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
76 r19.26 2956 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ta 
/\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
7774, 75, 763imtr4g 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
7877reximdva 2901 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ta 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
7911, 78syld 46 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) ) )
8079ralrimdva 2844 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
z )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
814, 80syl5bi 221 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
82 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( ZZ>=
`  k )  =  ( ZZ>= `  j )
)
8331oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  =  ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )
8483fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
8584breq1d 4431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
8682, 85raleqbidv 3040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
8786rspcv 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
8887ad2antlr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
89 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
9089oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) )  =  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) ) )
9190fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) ) )
9291breq1d 4431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
( G `  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  <  x
) )
9392cbvralv 3056 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  <  x )
9434anim2i 572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps ) )  ->  ( ph  /\  ch ) )
9594anassrs 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( ph  /\ 
ch ) )
96 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
97 cau3lem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ch  /\  ps )  ->  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) ) )
9897breq1d 4431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ch  /\  ps )  ->  ( ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) ) )  < 
x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
) )
99983expia 1208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ch )  ->  ( ps  ->  (
( G `  (
( F `  j
) D ( F `
 k ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
) ) )
10099ralimdv 2836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ch )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( G `  (
( F `  j
) D ( F `
 k ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
) ) )
10195, 96, 100sylc 63 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
102 ralbi 2960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
10493, 103syl5bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
10588, 104sylibd 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
10613, 105sylan2 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
107106imdistanda 698 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ta 
/\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ta 
/\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
10830, 107sylan2 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
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 j ) ) )  <  x ) ) )
109 r19.26 2956 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ta 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
)  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
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110108, 76, 1093imtr4g 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
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( G `  (
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) ) )  < 
x ) ) )
111110reximdva 2901 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
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( G `  (
( F `  k
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/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
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( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
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x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777    C_ wss 3437   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   RRcr 9540    < clt 9677    / cdiv 10271   2c2 10661   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161   RR+crp 11304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-2 10670  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305
This theorem is referenced by:  cau3  13412  iscau3  22240
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