Theorem cau3ii 8166

Description: A relationship used to derive two ways to express a Cauchy sequence.

Hypothesis

Ref	Expression
cau3i.1	|- Z C_ ZZ

Assertion

Ref	Expression
cau3ii	|- (E.m e. Z A.j e. Z A.k e. W ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ph))

Distinct variable groups:   ph,m   j,m,W   j,k,Z,m

Proof of Theorem cau3ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- ((m <_ m /\ m <_ k) -> A.j(m <_ m /\ m <_ k))
2		hbs1 1722	. . . . . . . 8 |- ([m / j]ph -> A.j[m / j]ph)
3	1, 2	hbim 1354	. . . . . . 7 |- (((m <_ m /\ m <_ k) -> [m / j]ph) -> A.j((m <_ m /\ m <_ k) -> [m / j]ph))
4		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- (j = m -> (m <_ j <-> m <_ m))
5	4	anbi1d 679	. . . . . . . 8 |- (j = m -> ((m <_ j /\ m <_ k) <-> (m <_ m /\ m <_ k)))
6		sbequ12 1545	. . . . . . . 8 |- (j = m -> (ph <-> [m / j]ph))
7	5, 6	imbi12d 688	. . . . . . 7 |- (j = m -> (((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> ((m <_ m /\ m <_ k) -> [m / j]ph)))
8	3, 7	rcla4 2373	. . . . . 6 |- (m e. Z -> (A.j e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> ((m <_ m /\ m <_ k) -> [m / j]ph)))
9		cau3i.1	. . . . . . . . . . 11 |- Z C_ ZZ
10		zssre 7351	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ C_ RR
11	9, 10	sstri 2626	. . . . . . . . . 10 |- Z C_ RR
12	11	sseli 2617	. . . . . . . . 9 |- (m e. Z -> m e. RR)
13		leid 6701	. . . . . . . . 9 |- (m e. RR -> m <_ m)
14	12, 13	syl 12	. . . . . . . 8 |- (m e. Z -> m <_ m)
15	14	biantrurd 796	. . . . . . 7 |- (m e. Z -> (m <_ k <-> (m <_ m /\ m <_ k)))
16	15	imbi1d 675	. . . . . 6 |- (m e. Z -> ((m <_ k -> [m / j]ph) <-> ((m <_ m /\ m <_ k) -> [m / j]ph)))
17	8, 16	sylibrd 221	. . . . 5 |- (m e. Z -> (A.j e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> (m <_ k -> [m / j]ph)))
18	17	ralimdv 2172	. . . 4 |- (m e. Z -> (A.k e. W A.j e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> A.k e. W (m <_ k -> [m / j]ph)))
19		ralcom 2242	. . . 4 |- (A.j e. Z A.k e. W ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> A.k e. W A.j e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
20	18, 19	syl5ib 223	. . 3 |- (m e. Z -> (A.j e. Z A.k e. W ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> A.k e. W (m <_ k -> [m / j]ph)))
21	20	reximia 2196	. 2 |- (E.m e. Z A.j e. Z A.k e. W ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> E.m e. Z A.k e. W (m <_ k -> [m / j]ph))
22		ax-17 1317	. . 3 |- (A.k e. W (j <_ k -> ph) -> A.mA.k e. W (j <_ k -> ph))
23		ax-17 1317	. . . 4 |- (k e. W -> A.j k e. W)
24		ax-17 1317	. . . . 5 |- (m <_ k -> A.j m <_ k)
25	24, 2	hbim 1354	. . . 4 |- ((m <_ k -> [m / j]ph) -> A.j(m <_ k -> [m / j]ph))
26	23, 25	hbral 2146	. . 3 |- (A.k e. W (m <_ k -> [m / j]ph) -> A.jA.k e. W (m <_ k -> [m / j]ph))
27		breq1 3341	. . . . 5 |- (j = m -> (j <_ k <-> m <_ k))
28	27, 6	imbi12d 688	. . . 4 |- (j = m -> ((j <_ k -> ph) <-> (m <_ k -> [m / j]ph)))
29	28	ralbidv 2123	. . 3 |- (j = m -> (A.k e. W (j <_ k -> ph) <-> A.k e. W (m <_ k -> [m / j]ph)))
30	22, 26, 29	cbvrex 2279	. 2 |- (E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ph) <-> E.m e. Z A.k e. W (m <_ k -> [m / j]ph))
31	21, 30	sylibr 217	1 |- (E.m e. Z A.j e. Z A.k e. W ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ph))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  [wsbc 1534  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  RRcr 6385   <_ cle 6448  ZZcz 6451

This theorem is referenced by:  cau3i 8168

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-z 7345

Copyright terms: Public domain