Theorem cau2i 8165

Description: Two ways to express that a sequence meets the Cauchy criterion. Remark in [Gleason] p. 181. R can be either < or <_.

Hypotheses

Ref	Expression
cau2.1	|- F:NN-->CC
cau2.2	|- (x e. RR -> (0 < x -> 0Rx))

Assertion

Ref	Expression
cau2i	|- (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))

Distinct variable groups:   x,y,z   y,R,z

Proof of Theorem cau2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cau2.2	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. RR -> (0 < x -> 0Rx))
2	1	imp 377	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> 0Rx)
3		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = z -> (F` y) = (F` z))
4	3	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = z -> ((F` z) - (F` y)) = ((F` z) - (F` z)))
5		cau2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F:NN-->CC
6	5	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z e. NN -> (F` z) e. CC)
7		subid 6555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F` z) e. CC -> ((F` z) - (F` z)) = 0)
8	6, 7	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z e. NN -> ((F` z) - (F` z)) = 0)
9	4, 8	sylan9eqr 1951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z e. NN /\ y = z) -> ((F` z) - (F` y)) = 0)
10	9	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. NN /\ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y))) = (abs` 0))
11		abs0 8129	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (abs` 0) = 0
12	10, 11	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. NN /\ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y))) = 0)
13	12	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. NN /\ y = z) -> ((abs` ((F` z) - (F` y)))Rx <-> 0Rx))
14	13	biimprcd 173	. . . . . . . . . . . 12 |- (0Rx -> ((z e. NN /\ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))
15	14	exp3a 405	. . . . . . . . . . 11 |- (0Rx -> (z e. NN -> (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
16	2, 15	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> (z e. NN -> (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
17	16	imp 377	. . . . . . . . 9 |- (((x e. RR /\ 0 < x) /\ z e. NN) -> (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))
18	17	adantlr 429	. . . . . . . 8 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))
19	18	biantrud 795	. . . . . . 7 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) /\ (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))))
20		jaob 467	. . . . . . 7 |- (((y < z \/ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) /\ (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
21	19, 20	syl6bbr 597	. . . . . 6 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> ((y < z \/ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
22		leloe 6688	. . . . . . . . 9 |- ((y e. RR /\ z e. RR) -> (y <_ z <-> (y < z \/ y = z)))
23		nnre 7112	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> y e. RR)
24		nnre 7112	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> z e. RR)
25	22, 23, 24	syl2an 503	. . . . . . . 8 |- ((y e. NN /\ z e. NN) -> (y <_ z <-> (y < z \/ y = z)))
26	25	adantll 428	. . . . . . 7 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> (y <_ z <-> (y < z \/ y = z)))
27	26	imbi1d 675	. . . . . 6 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> ((y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> ((y < z \/ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
28	21, 27	bitr4d 590	. . . . 5 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
29	28	ralbidva 2119	. . . 4 |- (((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) -> (A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
30	29	rexbidva 2120	. . 3 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> (E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
31	30	pm5.74da 646	. 2 |- (x e. RR -> ((0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)) <-> (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))))
32	31	ralbiia 2133	1 |- (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   - cmin 6445   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  abscabs 8000

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004

Copyright terms: Public domain