MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1len Structured version   Unicode version

Theorem cats1len 12777
Description: The length of concatenation with a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cats1cld.1  |-  T  =  ( S concat  <" X "> )
cats1cli.2  |-  S  e. Word  _V
cats1fvn.3  |-  ( # `  S )  =  M
cats1len.4  |-  ( M  +  1 )  =  N
Assertion
Ref Expression
cats1len  |-  ( # `  T )  =  N

Proof of Theorem cats1len
StepHypRef Expression
1 cats1cld.1 . . 3  |-  T  =  ( S concat  <" X "> )
21fveq2i 5862 . 2  |-  ( # `  T )  =  (
# `  ( S concat  <" X "> ) )
3 cats1cli.2 . . . . 5  |-  S  e. Word  _V
4 s1cli 12568 . . . . 5  |-  <" X ">  e. Word  _V
5 ccatlen 12548 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  _V  /\  <" X ">  e. Word  _V )  ->  ( # `
 ( S concat  <" X "> ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  <" X "> ) ) )
63, 4, 5mp2an 672 . . . 4  |-  ( # `  ( S concat  <" X "> ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  <" X "> ) )
7 cats1fvn.3 . . . . 5  |-  ( # `  S )  =  M
8 s1len 12569 . . . . 5  |-  ( # `  <" X "> )  =  1
97, 8oveq12i 6289 . . . 4  |-  ( (
# `  S )  +  ( # `  <" X "> )
)  =  ( M  +  1 )
106, 9eqtri 2491 . . 3  |-  ( # `  ( S concat  <" X "> ) )  =  ( M  +  1 )
11 cats1len.4 . . 3  |-  ( M  +  1 )  =  N
1210, 11eqtri 2491 . 2  |-  ( # `  ( S concat  <" X "> ) )  =  N
132, 12eqtri 2491 1  |-  ( # `  T )  =  N
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   1c1 9484    + caddc 9486   #chash 12362  Word cword 12489   concat cconcat 12491   <"cs1 12492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-hash 12363  df-word 12497  df-concat 12499  df-s1 12500
This theorem is referenced by:  s2len  12804  s3len  12808  s4len  12809  s5len  12810  s6len  12811  s7len  12812  s8len  12813
  Copyright terms: Public domain W3C validator