MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1len Structured version   Unicode version

Theorem cats1len 12786
Description: The length of concatenation with a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cats1cld.1  |-  T  =  ( S ++  <" X "> )
cats1cli.2  |-  S  e. Word  _V
cats1fvn.3  |-  ( # `  S )  =  M
cats1len.4  |-  ( M  +  1 )  =  N
Assertion
Ref Expression
cats1len  |-  ( # `  T )  =  N

Proof of Theorem cats1len
StepHypRef Expression
1 cats1cld.1 . . 3  |-  T  =  ( S ++  <" X "> )
21fveq2i 5806 . 2  |-  ( # `  T )  =  (
# `  ( S ++  <" X "> ) )
3 cats1cli.2 . . . . 5  |-  S  e. Word  _V
4 s1cli 12575 . . . . 5  |-  <" X ">  e. Word  _V
5 ccatlen 12553 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  _V  /\  <" X ">  e. Word  _V )  ->  ( # `
 ( S ++  <" X "> )
)  =  ( (
# `  S )  +  ( # `  <" X "> )
) )
63, 4, 5mp2an 670 . . . 4  |-  ( # `  ( S ++  <" X "> ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  <" X "> ) )
7 cats1fvn.3 . . . . 5  |-  ( # `  S )  =  M
8 s1len 12576 . . . . 5  |-  ( # `  <" X "> )  =  1
97, 8oveq12i 6244 . . . 4  |-  ( (
# `  S )  +  ( # `  <" X "> )
)  =  ( M  +  1 )
106, 9eqtri 2429 . . 3  |-  ( # `  ( S ++  <" X "> ) )  =  ( M  +  1 )
11 cats1len.4 . . 3  |-  ( M  +  1 )  =  N
1210, 11eqtri 2429 . 2  |-  ( # `  ( S ++  <" X "> ) )  =  N
132, 12eqtri 2429 1  |-  ( # `  T )  =  N
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1403    e. wcel 1840   _Vcvv 3056   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   1c1 9441    + caddc 9443   #chash 12357  Word cword 12488   ++ cconcat 12490   <"cs1 12491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-hash 12358  df-word 12496  df-concat 12498  df-s1 12499
This theorem is referenced by:  s2len  12813  s3len  12817  s4len  12818  s5len  12819  s6len  12820  s7len  12821  s8len  12822
  Copyright terms: Public domain W3C validator