MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1fvn Structured version   Unicode version

Theorem cats1fvn 12928
Description: The last symbol of a concatenation with a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cats1cld.1  |-  T  =  ( S ++  <" X "> )
cats1cli.2  |-  S  e. Word  _V
cats1fvn.3  |-  ( # `  S )  =  M
Assertion
Ref Expression
cats1fvn  |-  ( X  e.  V  ->  ( T `  M )  =  X )

Proof of Theorem cats1fvn
StepHypRef Expression
1 cats1cld.1 . . . 4  |-  T  =  ( S ++  <" X "> )
2 cats1fvn.3 . . . . . 6  |-  ( # `  S )  =  M
32oveq2i 6307 . . . . 5  |-  ( 0  +  ( # `  S
) )  =  ( 0  +  M )
4 cats1cli.2 . . . . . . . . 9  |-  S  e. Word  _V
5 lencl 12663 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. Word  _V  ->  ( # `  S )  e.  NN0 )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( # `  S )  e.  NN0
72, 6eqeltrri 2505 . . . . . . 7  |-  M  e. 
NN0
87nn0cni 10870 . . . . . 6  |-  M  e.  CC
98addid2i 9810 . . . . 5  |-  ( 0  +  M )  =  M
103, 9eqtr2i 2450 . . . 4  |-  M  =  ( 0  +  (
# `  S )
)
111, 10fveq12i 5877 . . 3  |-  ( T `
 M )  =  ( ( S ++  <" X "> ) `  ( 0  +  (
# `  S )
) )
12 s1cli 12719 . . . 4  |-  <" X ">  e. Word  _V
13 s1len 12720 . . . . . 6  |-  ( # `  <" X "> )  =  1
14 1nn 10609 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
1513, 14eqeltri 2504 . . . . 5  |-  ( # `  <" X "> )  e.  NN
16 lbfzo0 11942 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  <" X "> ) )  <->  ( # `  <" X "> )  e.  NN )
1715, 16mpbir 212 . . . 4  |-  0  e.  ( 0..^ ( # `  <" X "> ) )
18 ccatval3 12700 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  _V  /\  <" X ">  e. Word  _V  /\  0  e.  ( 0..^ ( # `  <" X "> ) ) )  -> 
( ( S ++  <" X "> ) `  ( 0  +  (
# `  S )
) )  =  (
<" X "> `  0 ) )
194, 12, 17, 18mp3an 1360 . . 3  |-  ( ( S ++  <" X "> ) `  ( 0  +  ( # `  S
) ) )  =  ( <" X "> `  0 )
2011, 19eqtri 2449 . 2  |-  ( T `
 M )  =  ( <" X "> `  0 )
21 s1fv 12722 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ( <" X "> `  0 )  =  X )
2220, 21syl5eq 2473 1  |-  ( X  e.  V  ->  ( T `  M )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1867   _Vcvv 3078   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   0cc0 9528   1c1 9529    + caddc 9531   NNcn 10598   NN0cn0 10858  ..^cfzo 11902   #chash 12501  Word cword 12632   ++ cconcat 12634   <"cs1 12635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-hash 12502  df-word 12640  df-concat 12642  df-s1 12643
This theorem is referenced by:  s2fv1  12956  s3fv2  12960
  Copyright terms: Public domain W3C validator