MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1fv Structured version   Unicode version

Theorem cats1fv 12783
Description: A symbol other than the last in a concatenation with a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cats1cld.1  |-  T  =  ( S concat  <" X "> )
cats1cli.2  |-  S  e. Word  _V
cats1fvn.3  |-  ( # `  S )  =  M
cats1fv.4  |-  ( Y  e.  V  ->  ( S `  N )  =  Y )
cats1fv.5  |-  N  e. 
NN0
cats1fv.6  |-  N  < 
M
Assertion
Ref Expression
cats1fv  |-  ( Y  e.  V  ->  ( T `  N )  =  Y )

Proof of Theorem cats1fv
StepHypRef Expression
1 cats1cld.1 . . . 4  |-  T  =  ( S concat  <" X "> )
21fveq1i 5865 . . 3  |-  ( T `
 N )  =  ( ( S concat  <" X "> ) `  N
)
3 cats1cli.2 . . . 4  |-  S  e. Word  _V
4 s1cli 12575 . . . 4  |-  <" X ">  e. Word  _V
5 cats1fv.5 . . . . . 6  |-  N  e. 
NN0
6 nn0uz 11112 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
75, 6eleqtri 2553 . . . . 5  |-  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
8 lencl 12524 . . . . . 6  |-  ( S  e. Word  _V  ->  ( # `  S )  e.  NN0 )
9 nn0z 10883 . . . . . 6  |-  ( (
# `  S )  e.  NN0  ->  ( # `  S
)  e.  ZZ )
103, 8, 9mp2b 10 . . . . 5  |-  ( # `  S )  e.  ZZ
11 cats1fv.6 . . . . . 6  |-  N  < 
M
12 cats1fvn.3 . . . . . 6  |-  ( # `  S )  =  M
1311, 12breqtrri 4472 . . . . 5  |-  N  < 
( # `  S )
14 elfzo2 11796 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 0..^ (
# `  S )
)  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  ( # `  S
)  e.  ZZ  /\  N  <  ( # `  S
) ) )
157, 10, 13, 14mpbir3an 1178 . . . 4  |-  N  e.  ( 0..^ ( # `  S ) )
16 ccatval1 12556 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  _V  /\  <" X ">  e. Word  _V  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )  ->  ( ( S concat  <" X "> ) `  N )  =  ( S `  N ) )
173, 4, 15, 16mp3an 1324 . . 3  |-  ( ( S concat  <" X "> ) `  N )  =  ( S `  N )
182, 17eqtri 2496 . 2  |-  ( T `
 N )  =  ( S `  N
)
19 cats1fv.4 . 2  |-  ( Y  e.  V  ->  ( S `  N )  =  Y )
2018, 19syl5eq 2520 1  |-  ( Y  e.  V  ->  ( T `  N )  =  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488    < clt 9624   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078  ..^cfzo 11788   #chash 12369  Word cword 12496   concat cconcat 12498   <"cs1 12499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12370  df-word 12504  df-concat 12506  df-s1 12507
This theorem is referenced by:  s2fv0  12809  s3fv0  12812  s3fv1  12813
  Copyright terms: Public domain W3C validator