MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1co Structured version   Unicode version

Theorem cats1co 12600
Description: Closure of concatenation with a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cats1cld.1  |-  T  =  ( S concat  <" X "> )
cats1cld.2  |-  ( ph  ->  S  e. Word  A )
cats1cld.3  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
cats1co.4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
cats1co.5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  S
)  =  U )
cats1co.6  |-  V  =  ( U concat  <" ( F `  X ) "> )
Assertion
Ref Expression
cats1co  |-  ( ph  ->  ( F  o.  T
)  =  V )

Proof of Theorem cats1co
StepHypRef Expression
1 cats1cld.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e. Word  A )
2 cats1cld.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
32s1cld 12411 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" X ">  e. Word  A )
4 cats1co.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
5 ccatco 12580 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  <" X ">  e. Word  A  /\  F : A
--> B )  ->  ( F  o.  ( S concat  <" X "> ) )  =  ( ( F  o.  S
) concat  ( F  o.  <" X "> )
) )
61, 3, 4, 5syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o.  ( S concat  <" X "> ) )  =  ( ( F  o.  S
) concat  ( F  o.  <" X "> )
) )
7 cats1co.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  o.  S
)  =  U )
8 s1co 12578 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  F : A --> B )  ->  ( F  o.  <" X "> )  =  <" ( F `  X ) "> )
92, 4, 8syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  o.  <" X "> )  =  <" ( F `
 X ) "> )
107, 9oveq12d 6217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  S ) concat  ( F  o.  <" X "> ) )  =  ( U concat  <" ( F `
 X ) "> ) )
116, 10eqtrd 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  ( S concat  <" X "> ) )  =  ( U concat  <" ( F `
 X ) "> ) )
12 cats1cld.1 . . 3  |-  T  =  ( S concat  <" X "> )
1312coeq2i 5107 . 2  |-  ( F  o.  T )  =  ( F  o.  ( S concat  <" X "> ) )
14 cats1co.6 . 2  |-  V  =  ( U concat  <" ( F `  X ) "> )
1511, 13, 143eqtr4g 2520 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  T
)  =  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    o. ccom 4951   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199  Word cword 12338   concat cconcat 12340   <"cs1 12341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-hash 12220  df-word 12346  df-concat 12348  df-s1 12349
This theorem is referenced by:  s2co  12647  s3co  12648
  Copyright terms: Public domain W3C validator