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Theorem catrid 14928
Description: Right identity property of an identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidcl.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
catidcl.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
catidcl.i  |-  .1.  =  ( Id `  C )
catidcl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
catidcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
catlid.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
catlid.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
catlid.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
Assertion
Ref Expression
catrid  |-  ( ph  ->  ( F ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  F )

Proof of Theorem catrid
Dummy variables  f 
g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catlid.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
2 catlid.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
3 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f )
43ralimi 2850 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f )
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( X H X )  ->  ( A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f ) )
65ss2rabi 3575 . . . . 5  |-  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) }  C_  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f }
7 catidcl.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  C
)
8 catidcl.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
9 catlid.o . . . . . . 7  |-  .x.  =  (comp `  C )
10 catidcl.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
11 catidcl.i . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( Id `  C )
12 catidcl.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
137, 8, 9, 10, 11, 12cidval 14921 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  X
)  =  ( iota_ g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <. y ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) ) )
147, 8, 9, 10, 12catideu 14919 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E! g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )
15 riotacl2 6250 . . . . . . 7  |-  ( E! g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  ( iota_ g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <. y ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )  e.  {
g  e.  ( X H X )  | 
A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) } )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( iota_ g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )  e.  {
g  e.  ( X H X )  | 
A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) } )
1713, 16eqeltrd 2548 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  X
)  e.  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) } )
186, 17sseldi 3495 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  X
)  e.  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f } )
19 oveq2 6283 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  (  .1.  `  X )  ->  (
f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) ) )
2019eqeq1d 2462 . . . . . . 7  |-  ( g  =  (  .1.  `  X )  ->  (
( f ( <. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. X ,  X >.  .x.  y ) (  .1.  `  X )
)  =  f ) )
21202ralbidv 2901 . . . . . 6  |-  ( g  =  (  .1.  `  X )  ->  ( A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f  <->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f ) )
2221elrab 3254 . . . . 5  |-  ( (  .1.  `  X )  e.  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f }  <->  ( (  .1.  `  X )  e.  ( X H X )  /\  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) (  .1.  `  X ) )  =  f ) )
2322simprbi 464 . . . 4  |-  ( (  .1.  `  X )  e.  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f }  ->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f )
2418, 23syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f )
25 oveq2 6283 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( X H y )  =  ( X H Y ) )
26 oveq2 6283 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( <. X ,  X >.  .x.  y )  =  (
<. X ,  X >.  .x. 
Y ) )
2726oveqd 6292 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  ( f ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) ) )
2827eqeq1d 2462 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( f ( <. X ,  X >.  .x.  y ) (  .1.  `  X ) )  =  f  <->  ( f (
<. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  f ) )
2925, 28raleqbidv 3065 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f  <->  A. f  e.  ( X H Y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) )  =  f ) )
3029rspcv 3203 . . 3  |-  ( Y  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f  ->  A. f  e.  ( X H Y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  f ) )
312, 24, 30sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( X H Y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  f )
32 oveq1 6282 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) )  =  ( F ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) ) )
33 id 22 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  f  =  F )
3432, 33eqeq12d 2482 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( f ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  f  <->  ( F (
<. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  F ) )
3534rspcv 3203 . 2  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  ( A. f  e.  ( X H Y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) )  =  f  ->  ( F (
<. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  F ) )
361, 31, 35sylc 60 1  |-  ( ph  ->  ( F ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E!wreu 2809   {crab 2811   <.cop 4026   ` cfv 5579   iota_crio 6235  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   Hom chom 14555  compcco 14556   Catccat 14908   Idccid 14909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-cat 14912  df-cid 14913
This theorem is referenced by:  oppccatid  14964  sectcan  15000  monsect  15023  subccatid  15062  fucidcl  15181  fucrid  15183  invfuc  15190  arwrid  15247  xpccatid  15304  curf2cl  15347  curfuncf  15354  uncfcurf  15355  hofcl  15375  yonedalem3b  15395
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