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Theorem catrid 15298
Description: Right identity property of an identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidcl.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
catidcl.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
catidcl.i  |-  .1.  =  ( Id `  C )
catidcl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
catidcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
catlid.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
catlid.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
catlid.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
Assertion
Ref Expression
catrid  |-  ( ph  ->  ( F ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  F )

Proof of Theorem catrid
Dummy variables  f 
g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catlid.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
2 catlid.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
3 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f )
43ralimi 2797 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f )
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( X H X )  ->  ( A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f ) )
65ss2rabi 3521 . . . . 5  |-  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) }  C_  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f }
7 catidcl.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  C
)
8 catidcl.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
9 catlid.o . . . . . . 7  |-  .x.  =  (comp `  C )
10 catidcl.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
11 catidcl.i . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( Id `  C )
12 catidcl.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
137, 8, 9, 10, 11, 12cidval 15291 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  X
)  =  ( iota_ g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <. y ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) ) )
147, 8, 9, 10, 12catideu 15289 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E! g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )
15 riotacl2 6253 . . . . . . 7  |-  ( E! g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  ( iota_ g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <. y ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )  e.  {
g  e.  ( X H X )  | 
A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) } )
1614, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( iota_ g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )  e.  {
g  e.  ( X H X )  | 
A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) } )
1713, 16eqeltrd 2490 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  X
)  e.  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) } )
186, 17sseldi 3440 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  X
)  e.  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f } )
19 oveq2 6286 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  (  .1.  `  X )  ->  (
f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) ) )
2019eqeq1d 2404 . . . . . . 7  |-  ( g  =  (  .1.  `  X )  ->  (
( f ( <. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. X ,  X >.  .x.  y ) (  .1.  `  X )
)  =  f ) )
21202ralbidv 2848 . . . . . 6  |-  ( g  =  (  .1.  `  X )  ->  ( A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f  <->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f ) )
2221elrab 3207 . . . . 5  |-  ( (  .1.  `  X )  e.  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f }  <->  ( (  .1.  `  X )  e.  ( X H X )  /\  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) (  .1.  `  X ) )  =  f ) )
2322simprbi 462 . . . 4  |-  ( (  .1.  `  X )  e.  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f }  ->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f )
2418, 23syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f )
25 oveq2 6286 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( X H y )  =  ( X H Y ) )
26 oveq2 6286 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( <. X ,  X >.  .x.  y )  =  (
<. X ,  X >.  .x. 
Y ) )
2726oveqd 6295 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  ( f ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) ) )
2827eqeq1d 2404 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( f ( <. X ,  X >.  .x.  y ) (  .1.  `  X ) )  =  f  <->  ( f (
<. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  f ) )
2925, 28raleqbidv 3018 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f  <->  A. f  e.  ( X H Y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) )  =  f ) )
3029rspcv 3156 . . 3  |-  ( Y  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f  ->  A. f  e.  ( X H Y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  f ) )
312, 24, 30sylc 59 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( X H Y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  f )
32 oveq1 6285 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) )  =  ( F ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) ) )
33 id 22 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  f  =  F )
3432, 33eqeq12d 2424 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( f ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  f  <->  ( F (
<. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  F ) )
3534rspcv 3156 . 2  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  ( A. f  e.  ( X H Y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) )  =  f  ->  ( F (
<. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  F ) )
361, 31, 35sylc 59 1  |-  ( ph  ->  ( F ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   E!wreu 2756   {crab 2758   <.cop 3978   ` cfv 5569   iota_crio 6239  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   Hom chom 14920  compcco 14921   Catccat 15278   Idccid 15279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-cat 15282  df-cid 15283
This theorem is referenced by:  oppccatid  15332  sectcan  15368  monsect  15396  invisoinvl  15403  rcaninv  15407  cicref  15414  subccatid  15459  fucidcl  15578  fucrid  15580  invfuc  15587  arwrid  15676  xpccatid  15781  curf2cl  15824  curfuncf  15831  uncfcurf  15832  hofcl  15852  yonedalem3b  15872
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