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Theorem catlid 15062
Description: Left identity property of an identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidcl.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
catidcl.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
catidcl.i  |-  .1.  =  ( Id `  C )
catidcl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
catidcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
catlid.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
catlid.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
catlid.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
Assertion
Ref Expression
catlid  |-  ( ph  ->  ( (  .1.  `  Y ) ( <. X ,  Y >.  .x. 
Y ) F )  =  F )

Proof of Theorem catlid
Dummy variables  f 
g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catlid.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
2 catidcl.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f )  ->  A. f  e.  ( x H Y ) ( g (
<. x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f )
43ralimi 2836 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  ( A. f  e.  (
x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f )  ->  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( g (
<. x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f )
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( Y H Y )  ->  ( A. x  e.  B  ( A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f )  ->  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( g (
<. x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f ) )
65ss2rabi 3567 . . . . 5  |-  { g  e.  ( Y H Y )  |  A. x  e.  B  ( A. f  e.  (
x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f ) }  C_  { g  e.  ( Y H Y )  |  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <. x ,  Y >.  .x.  Y ) f )  =  f }
7 catidcl.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  C
)
8 catidcl.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
9 catlid.o . . . . . . 7  |-  .x.  =  (comp `  C )
10 catidcl.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
11 catidcl.i . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( Id `  C )
12 catlid.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
137, 8, 9, 10, 11, 12cidval 15056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  Y
)  =  ( iota_ g  e.  ( Y H Y ) A. x  e.  B  ( A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <. x ,  Y >.  .x.  Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f ) ) )
147, 8, 9, 10, 12catideu 15054 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E! g  e.  ( Y H Y ) A. x  e.  B  ( A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f ) )
15 riotacl2 6256 . . . . . . 7  |-  ( E! g  e.  ( Y H Y ) A. x  e.  B  ( A. f  e.  (
x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f )  ->  ( iota_ g  e.  ( Y H Y ) A. x  e.  B  ( A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <. x ,  Y >.  .x.  Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f ) )  e.  {
g  e.  ( Y H Y )  | 
A. x  e.  B  ( A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f ) } )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( iota_ g  e.  ( Y H Y ) A. x  e.  B  ( A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f ) )  e.  {
g  e.  ( Y H Y )  | 
A. x  e.  B  ( A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f ) } )
1713, 16eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  Y
)  e.  { g  e.  ( Y H Y )  |  A. x  e.  B  ( A. f  e.  (
x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f ) } )
186, 17sseldi 3487 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  Y
)  e.  { g  e.  ( Y H Y )  |  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <. x ,  Y >.  .x.  Y ) f )  =  f } )
19 oveq1 6288 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  (  .1.  `  Y )  ->  (
g ( <. x ,  Y >.  .x.  Y ) f )  =  ( (  .1.  `  Y
) ( <. x ,  Y >.  .x.  Y ) f ) )
2019eqeq1d 2445 . . . . . . 7  |-  ( g  =  (  .1.  `  Y )  ->  (
( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  <->  ( (  .1.  `  Y ) (
<. x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f ) )
21202ralbidv 2887 . . . . . 6  |-  ( g  =  (  .1.  `  Y )  ->  ( A. x  e.  B  A. f  e.  (
x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  <->  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( (  .1.  `  Y ) ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f ) )
2221elrab 3243 . . . . 5  |-  ( (  .1.  `  Y )  e.  { g  e.  ( Y H Y )  |  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( g (
<. x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f }  <->  ( (  .1.  `  Y )  e.  ( Y H Y )  /\  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( (  .1.  `  Y ) ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f ) )
2322simprbi 464 . . . 4  |-  ( (  .1.  `  Y )  e.  { g  e.  ( Y H Y )  |  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( g (
<. x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f }  ->  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( (  .1.  `  Y )
( <. x ,  Y >.  .x.  Y ) f )  =  f )
2418, 23syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. f  e.  (
x H Y ) ( (  .1.  `  Y ) ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f )
25 oveq1 6288 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x H Y )  =  ( X H Y ) )
26 opeq1 4202 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  <. x ,  Y >.  =  <. X ,  Y >. )
2726oveq1d 6296 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( <. x ,  Y >.  .x. 
Y )  =  (
<. X ,  Y >.  .x. 
Y ) )
2827oveqd 6298 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
(  .1.  `  Y
) ( <. x ,  Y >.  .x.  Y ) f )  =  ( (  .1.  `  Y
) ( <. X ,  Y >.  .x.  Y )
f ) )
2928eqeq1d 2445 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( (  .1.  `  Y ) ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  <->  ( (  .1.  `  Y ) (
<. X ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f ) )
3025, 29raleqbidv 3054 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( A. f  e.  (
x H Y ) ( (  .1.  `  Y ) ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( X H Y ) ( (  .1.  `  Y ) ( <. X ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f ) )
3130rspcv 3192 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  ( A. x  e.  B  A. f  e.  (
x H Y ) ( (  .1.  `  Y ) ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  ->  A. f  e.  ( X H Y ) ( (  .1.  `  Y ) ( <. X ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f ) )
322, 24, 31sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( X H Y ) ( (  .1.  `  Y ) ( <. X ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f )
33 oveq2 6289 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
(  .1.  `  Y
) ( <. X ,  Y >.  .x.  Y )
f )  =  ( (  .1.  `  Y
) ( <. X ,  Y >.  .x.  Y ) F ) )
34 id 22 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  f  =  F )
3533, 34eqeq12d 2465 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( (  .1.  `  Y ) ( <. X ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  <->  ( (  .1.  `  Y ) (
<. X ,  Y >.  .x. 
Y ) F )  =  F ) )
3635rspcv 3192 . 2  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  ( A. f  e.  ( X H Y ) ( (  .1.  `  Y
) ( <. X ,  Y >.  .x.  Y )
f )  =  f  ->  ( (  .1.  `  Y ) ( <. X ,  Y >.  .x. 
Y ) F )  =  F ) )
371, 32, 36sylc 60 1  |-  ( ph  ->  ( (  .1.  `  Y ) ( <. X ,  Y >.  .x. 
Y ) F )  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E!wreu 2795   {crab 2797   <.cop 4020   ` cfv 5578   iota_crio 6241  (class class class)co 6281   Basecbs 14614   Hom chom 14690  compcco 14691   Catccat 15043   Idccid 15044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-cat 15047  df-cid 15048
This theorem is referenced by:  oppccatid  15096  sectcan  15132  sectco  15133  sectmon  15154  monsect  15155  subccatid  15194  fucidcl  15313  fuclid  15314  invfuc  15322  arwlid  15378  xpccatid  15436  evlfcl  15470  curf1cl  15476  curf2cl  15479  curfcl  15480  curfuncf  15486  uncfcurf  15487  hofcl  15507  yon12  15513  yon2  15514  yonedalem3b  15527  yonedainv  15529
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