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Theorem catidd 15586
Description: Deduce the identity arrow in a category. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidd.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  C ) )
catidd.h  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  C ) )
catidd.o  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  C ) )
catidd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
catidd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .1.  e.  ( x H x ) )
catidd.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( y H x ) ) )  -> 
(  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f )
catidd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( x H y ) ) )  -> 
( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f )
Assertion
Ref Expression
catidd  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( x  e.  B  |->  .1.  )
)
Distinct variable groups:    y, f,  .1.    x, B    x, f, C, y    ph, f, x, y
Allowed substitution hints:    B( y, f)    .x. ( x, y, f)    .1. ( x)    H( x, y, f)

Proof of Theorem catidd
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catidd.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( y H x ) ) )  -> 
(  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f )
21ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( y H x ) )  ->  (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f ) )
3 catidd.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  C ) )
43eleq2d 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( Base `  C
) ) )
53eleq2d 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  <->  y  e.  ( Base `  C
) ) )
6 catidd.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  C ) )
76oveqd 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y H x )  =  ( y ( Hom  `  C
) x ) )
87eleq2d 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( y H x )  <-> 
f  e.  ( y ( Hom  `  C
) x ) ) )
94, 5, 83anbi123d 1339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( y H x ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  f  e.  (
y ( Hom  `  C
) x ) ) ) )
10 catidd.o . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  C ) )
1110oveqd 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( <. y ,  x >.  .x.  x )  =  ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) )
1211oveqd 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  (  .1.  ( <. y ,  x >. (comp `  C ) x ) f ) )
1312eqeq1d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  <->  (  .1.  ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f ) )
142, 9, 133imtr3d 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  f  e.  (
y ( Hom  `  C
) x ) )  ->  (  .1.  ( <. y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f ) )
15143expd 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  C )  ->  ( y  e.  (
Base `  C )  ->  ( f  e.  ( y ( Hom  `  C
) x )  -> 
(  .1.  ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f ) ) ) )
1615imp41 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( y
( Hom  `  C ) x ) )  -> 
(  .1.  ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f )
1716ralrimiva 2802 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  ->  A. f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) (  .1.  ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f )
18 catidd.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( x H y ) ) )  -> 
( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f )
1918ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( x H y ) )  ->  (
f ( <. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) )
206oveqd 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x H y )  =  ( x ( Hom  `  C
) y ) )
2120eleq2d 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( x H y )  <-> 
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y ) ) )
224, 5, 213anbi123d 1339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( x H y ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  f  e.  (
x ( Hom  `  C
) y ) ) ) )
2310oveqd 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  x >.  .x.  y )  =  ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) )
2423oveqd 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  ( f (
<. x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  ) )
2524eqeq1d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f  <->  ( f (
<. x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f ) )
2619, 22, 253imtr3d 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  f  e.  (
x ( Hom  `  C
) y ) )  ->  ( f (
<. x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f ) )
27263expd 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  C )  ->  ( y  e.  (
Base `  C )  ->  ( f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  -> 
( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f ) ) ) )
2827imp41 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) )  -> 
( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f )
2928ralrimiva 2802 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  ->  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f )
3017, 29jca 535 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( A. f  e.  (
y ( Hom  `  C
) x ) (  .1.  ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y )  .1.  )  =  f ) )
3130ralrimiva 2802 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  A. y  e.  ( Base `  C
) ( A. f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) (  .1.  ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f ) )
32 catidd.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .1.  e.  ( x H x ) )
3332ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  .1.  e.  ( x H x ) ) )
346oveqd 6307 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x H x )  =  ( x ( Hom  `  C
) x ) )
3534eleq2d 2514 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  .1.  e.  ( x H x )  <-> 
.1.  e.  ( x
( Hom  `  C ) x ) ) )
3633, 4, 353imtr3d 271 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  C )  ->  .1.  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) ) )
3736imp 431 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  .1.  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )
38 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
39 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
40 eqid 2451 . . . . . 6  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
41 catidd.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4241adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  C  e.  Cat )
43 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
4438, 39, 40, 42, 43catideu 15581 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  E! g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) )
45 oveq1 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  .1.  ->  (
g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  (  .1.  ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f ) )
4645eqeq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  .1.  ->  (
( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  <-> 
(  .1.  ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f ) )
4746ralbidv 2827 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  .1.  ->  ( A. f  e.  (
y ( Hom  `  C
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) (  .1.  ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f ) )
48 oveq2 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  .1.  ->  (
f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y )  .1.  )
)
4948eqeq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  .1.  ->  (
( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f  <-> 
( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f ) )
5049ralbidv 2827 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  .1.  ->  ( A. f  e.  (
x ( Hom  `  C
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f ) )
5147, 50anbi12d 717 . . . . . . 7  |-  ( g  =  .1.  ->  (
( A. f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f )  <->  ( A. f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) (  .1.  ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f ) ) )
5251ralbidv 2827 . . . . . 6  |-  ( g  =  .1.  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y ( Hom  `  C
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y ( Hom  `  C
) x ) (  .1.  ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y )  .1.  )  =  f ) ) )
5352riota2 6274 . . . . 5  |-  ( (  .1.  e.  ( x ( Hom  `  C
) x )  /\  E! g  e.  (
x ( Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
( Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C
) ( A. f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) (  .1.  ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f )  <->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) )  =  .1.  ) )
5437, 44, 53syl2anc 667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
( Hom  `  C ) x ) (  .1.  ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y )  .1.  )  =  f )  <->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  C )
x ) A. y  e.  ( Base `  C
) ( A. f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) )  =  .1.  ) )
5531, 54mpbid 214 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  C )
x ) A. y  e.  ( Base `  C
) ( A. f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) )  =  .1.  )
5655mpteq2dva 4489 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  C )  |->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
( Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  .1.  ) )
57 eqid 2451 . . 3  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
5838, 39, 40, 41, 57cidfval 15582 . 2  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) ) ) )
593mpteq1d 4484 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  .1.  )  =  ( x  e.  ( Base `  C )  |->  .1.  )
)
6056, 58, 593eqtr4d 2495 1  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( x  e.  B  |->  .1.  )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E!wreu 2739   <.cop 3974    |-> cmpt 4461   ` cfv 5582   iota_crio 6251  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   Hom chom 15201  compcco 15202   Catccat 15570   Idccid 15571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-cat 15574  df-cid 15575
This theorem is referenced by:  iscatd2  15587
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