Theorem catidd 15169

Description: Deduce the identity arrow in a category. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
catidd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` C ) )
catidd.h	|- ( ph -> H = ( Hom ` C ) )
catidd.o	|- ( ph -> .x. = (comp ` C ) )
catidd.c	|- ( ph -> C e. Cat )
catidd.1	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> .1. e. ( x H x ) )
catidd.2	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( y H x ) ) ) -> ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f )
catidd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( x H y ) ) ) -> ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f )

Assertion

Ref	Expression
catidd	|- ( ph -> ( Id ` C ) = ( x e. B |-> .1. ) )

Distinct variable groups:   y, f, .1.   x, B   x, f, C, y   ph, f, x, y

Allowed substitution hints:   B( y, f)   .x. ( x, y, f)   .1. ( x)   H( x, y, f)

Proof of Theorem catidd

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catidd.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( y H x ) ) ) -> ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f )
2	1	ex 432	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( y H x ) ) -> ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f ) )
3		catidd.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B = ( Base ` C ) )
4	3	eleq2d 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` C ) ) )
5	3	eleq2d 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. B <-> y e. ( Base ` C ) ) )
6		catidd.h	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> H = ( Hom ` C ) )
7	6	oveqd 6287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y H x ) = ( y ( Hom ` C ) x ) )
8	7	eleq2d 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( f e. ( y H x ) <-> f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ) )
9	4, 5, 8	3anbi123d 1297	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( y H x ) ) <-> ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ) ) )
10		catidd.o	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> .x. = (comp ` C ) )
11	10	oveqd 6287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( <. y , x >. .x. x ) = ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) )
12	11	oveqd 6287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) )
13	12	eqeq1d 2456	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f <-> ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f ) )
14	2, 9, 13	3imtr3d 267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ) -> ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f ) )
15	14	3expd 1211	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` C ) -> ( y e. ( Base ` C ) -> ( f e. ( y ( Hom ` C ) x ) -> ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f ) ) ) )
16	15	imp41 591	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ) -> ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f )
17	16	ralrimiva 2868	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f )
18		catidd.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( x H y ) ) ) -> ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f )
19	18	ex 432	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( x H y ) ) -> ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f ) )
20	6	oveqd 6287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x H y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
21	20	eleq2d 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( f e. ( x H y ) <-> f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) )
22	4, 5, 21	3anbi123d 1297	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( x H y ) ) <-> ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) ) )
23	10	oveqd 6287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( <. x , x >. .x. y ) = ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) )
24	23	oveqd 6287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) )
25	24	eqeq1d 2456	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f <-> ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) )
26	19, 22, 25	3imtr3d 267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) )
27	26	3expd 1211	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` C ) -> ( y e. ( Base ` C ) -> ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) ) ) )
28	27	imp41 591	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f )
29	28	ralrimiva 2868	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f )
30	17, 29	jca 530	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) )
31	30	ralrimiva 2868	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) )
32		catidd.1	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> .1. e. ( x H x ) )
33	32	ex 432	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. B -> .1. e. ( x H x ) ) )
34	6	oveqd 6287	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x H x ) = ( x ( Hom ` C ) x ) )
35	34	eleq2d 2524	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( .1. e. ( x H x ) <-> .1. e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) )
36	33, 4, 35	3imtr3d 267	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` C ) -> .1. e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) )
37	36	imp 427	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> .1. e. ( x ( Hom ` C ) x ) )
38		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
39		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
40		eqid 2454	. . . . . 6 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
41		catidd.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. Cat )
42	41	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> C e. Cat )
43		simpr 459	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
44	38, 39, 40, 42, 43	catideu 15164	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> E! g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) )
45		oveq1 6277	. . . . . . . . . 10 |- ( g = .1. -> ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) )
46	45	eqeq1d 2456	. . . . . . . . 9 |- ( g = .1. -> ( ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f <-> ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f ) )
47	46	ralbidv 2893	. . . . . . . 8 |- ( g = .1. -> ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f <-> A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f ) )
48		oveq2 6278	. . . . . . . . . 10 |- ( g = .1. -> ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) )
49	48	eqeq1d 2456	. . . . . . . . 9 |- ( g = .1. -> ( ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f <-> ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) )
50	49	ralbidv 2893	. . . . . . . 8 |- ( g = .1. -> ( A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f <-> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) )
51	47, 50	anbi12d 708	. . . . . . 7 |- ( g = .1. -> ( ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) <-> ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) ) )
52	51	ralbidv 2893	. . . . . 6 |- ( g = .1. -> ( A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) <-> A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) ) )
53	52	riota2 6254	. . . . 5 |- ( ( .1. e. ( x ( Hom ` C ) x ) /\ E! g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) -> ( A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) <-> ( iota_ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) = .1. ) )
54	37, 44, 53	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) <-> ( iota_ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) = .1. ) )
55	31, 54	mpbid 210	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( iota_ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) = .1. )
56	55	mpteq2dva 4525	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` C ) |-> ( iota_ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. ( Base ` C ) |-> .1. ) )
57		eqid 2454	. . 3 |- ( Id ` C ) = ( Id ` C )
58	38, 39, 40, 41, 57	cidfval 15165	. 2 |- ( ph -> ( Id ` C ) = ( x e. ( Base ` C ) |-> ( iota_ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) ) )
59	3	mpteq1d 4520	. 2 |- ( ph -> ( x e. B |-> .1. ) = ( x e. ( Base ` C ) |-> .1. ) )
60	56, 58, 59	3eqtr4d 2505	1 |- ( ph -> ( Id ` C ) = ( x e. B |-> .1. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   E!wreu 2806   <.cop 4022   |-> cmpt 4497   ` cfv 5570   iota_crio 6231  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   Hom chom 14795  compcco 14796   Catccat 15153   Idccid 15154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-cat 15157  df-cid 15158

This theorem is referenced by:  iscatd2  15170