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Theorem catcxpccl 16035
 Description: The category of categories for a weak universe is closed under the product category operation. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catcxpccl.c CatCat
catcxpccl.b
catcxpccl.o c
catcxpccl.u WUni
catcxpccl.1
catcxpccl.x
catcxpccl.y
Assertion
Ref Expression
catcxpccl

Proof of Theorem catcxpccl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catcxpccl.o . . . . 5 c
2 eqid 2428 . . . . 5
3 eqid 2428 . . . . 5
4 eqid 2428 . . . . 5
5 eqid 2428 . . . . 5
6 eqid 2428 . . . . 5 comp comp
7 eqid 2428 . . . . 5 comp comp
8 catcxpccl.x . . . . 5
9 catcxpccl.y . . . . 5
10 eqidd 2429 . . . . 5
111, 2, 3xpcbas 16006 . . . . . . 7
12 eqid 2428 . . . . . . 7
131, 11, 4, 5, 12xpchomfval 16007 . . . . . 6
1413a1i 11 . . . . 5
15 eqidd 2429 . . . . 5 comp comp comp comp
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15xpcval 16005 . . . 4 comp comp comp
17 catcxpccl.u . . . . 5 WUni
18 df-base 15069 . . . . . . 7 Slot
19 catcxpccl.1 . . . . . . . 8
2017, 19wunndx 15080 . . . . . . 7
2118, 17, 20wunstr 15083 . . . . . 6
22 inss1 3625 . . . . . . . . 9
23 catcxpccl.c . . . . . . . . . . 11 CatCat
24 catcxpccl.b . . . . . . . . . . 11
2523, 24, 17catcbas 15935 . . . . . . . . . 10
268, 25eleqtrd 2508 . . . . . . . . 9
2722, 26sseldi 3405 . . . . . . . 8
2818, 17, 27wunstr 15083 . . . . . . 7
299, 25eleqtrd 2508 . . . . . . . . 9
3022, 29sseldi 3405 . . . . . . . 8
3118, 17, 30wunstr 15083 . . . . . . 7
3217, 28, 31wunxp 9100 . . . . . 6
3317, 21, 32wunop 9098 . . . . 5
34 df-hom 15157 . . . . . . 7 Slot ;
3534, 17, 20wunstr 15083 . . . . . 6
3617, 32, 32wunxp 9100 . . . . . . . 8
3734, 17, 27wunstr 15083 . . . . . . . . . . . 12
3817, 37wunrn 9105 . . . . . . . . . . 11
3917, 38wununi 9082 . . . . . . . . . 10
4034, 17, 30wunstr 15083 . . . . . . . . . . . 12
4117, 40wunrn 9105 . . . . . . . . . . 11
4217, 41wununi 9082 . . . . . . . . . 10
4317, 39, 42wunxp 9100 . . . . . . . . 9
4417, 43wunpw 9083 . . . . . . . 8
45 ovssunirn 6278 . . . . . . . . . . . . 13
46 ovssunirn 6278 . . . . . . . . . . . . 13
47 xpss12 4902 . . . . . . . . . . . . 13
4845, 46, 47mp2an 676 . . . . . . . . . . . 12
49 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . . 14
50 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . . 14
5149, 50xpex 6553 . . . . . . . . . . . . 13
5251elpw 3930 . . . . . . . . . . . 12
5348, 52mpbir 212 . . . . . . . . . . 11
5453rgen2w 2727 . . . . . . . . . 10
55 eqid 2428 . . . . . . . . . . 11
5655fmpt2 6818 . . . . . . . . . 10
5754, 56mpbi 211 . . . . . . . . 9
5857a1i 11 . . . . . . . 8
5917, 36, 44, 58wunf 9103 . . . . . . 7
6013, 59syl5eqel 2510 . . . . . 6
6117, 35, 60wunop 9098 . . . . 5
62 df-cco 15158 . . . . . . 7 comp Slot ;
6362, 17, 20wunstr 15083 . . . . . 6 comp
6417, 36, 32wunxp 9100 . . . . . . 7
6562, 17, 27wunstr 15083 . . . . . . . . . . . . . 14 comp
6617, 65wunrn 9105 . . . . . . . . . . . . 13 comp
6717, 66wununi 9082 . . . . . . . . . . . 12 comp
6817, 67wunrn 9105 . . . . . . . . . . 11 comp
6917, 68wununi 9082 . . . . . . . . . 10 comp
7017, 69wunpw 9083 . . . . . . . . 9 comp
7162, 17, 30wunstr 15083 . . . . . . . . . . . . . 14 comp
7217, 71wunrn 9105 . . . . . . . . . . . . 13 comp
7317, 72wununi 9082 . . . . . . . . . . . 12 comp
7417, 73wunrn 9105 . . . . . . . . . . 11 comp
7517, 74wununi 9082 . . . . . . . . . 10 comp
7617, 75wunpw 9083 . . . . . . . . 9 comp
7717, 70, 76wunxp 9100 . . . . . . . 8 comp comp
7817, 60wunrn 9105 . . . . . . . . . 10
7917, 78wununi 9082 . . . . . . . . 9
8017, 79, 79wunxp 9100 . . . . . . . 8
8117, 77, 80wunpm 9101 . . . . . . 7 comp comp
82 fvex 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 comp
8382rnex 6685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 comp
8483uniex 6545 . . . . . . . . . . . . . . 15 comp
8584rnex 6685 . . . . . . . . . . . . . 14 comp
8685uniex 6545 . . . . . . . . . . . . 13 comp
8786pwex 4550 . . . . . . . . . . . 12 comp
88 fvex 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 comp
8988rnex 6685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 comp
9089uniex 6545 . . . . . . . . . . . . . . 15 comp
9190rnex 6685 . . . . . . . . . . . . . 14 comp
9291uniex 6545 . . . . . . . . . . . . 13 comp
9392pwex 4550 . . . . . . . . . . . 12 comp
9487, 93xpex 6553 . . . . . . . . . . 11 comp comp
95 fvex 5835 . . . . . . . . . . . . . 14
9695rnex 6685 . . . . . . . . . . . . 13
9796uniex 6545 . . . . . . . . . . . 12
9897, 97xpex 6553 . . . . . . . . . . 11
99 ovssunirn 6278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 comp comp
100 ovssunirn 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 comp comp
101 rnss 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 comp comp comp comp
102 uniss 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 comp comp comp comp
103100, 101, 102mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 comp comp
10499, 103sstri 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15 comp comp
105 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 comp
106105elpw 3930 . . . . . . . . . . . . . . 15 comp comp comp comp
107104, 106mpbir 212 . . . . . . . . . . . . . 14 comp comp
108 ovssunirn 6278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 comp comp
109 ovssunirn 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 comp comp
110 rnss 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 comp comp comp comp
111 uniss 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 comp comp comp comp
112109, 110, 111mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 comp comp
113108, 112sstri 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15 comp comp
114 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 comp
115114elpw 3930 . . . . . . . . . . . . . . 15 comp comp comp comp
116113, 115mpbir 212 . . . . . . . . . . . . . 14 comp comp
117 opelxpi 4828 . . . . . . . . . . . . . 14 comp comp comp comp comp comp comp comp
118107, 116, 117mp2an 676 . . . . . . . . . . . . 13 comp comp comp comp
119118rgen2w 2727 . . . . . . . . . . . 12 comp comp comp comp
120 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . 13 comp comp comp comp
121120fmpt2 6818 . . . . . . . . . . . 12 comp comp comp comp comp comp comp comp
122119, 121mpbi 211 . . . . . . . . . . 11 comp comp comp comp
123 ovssunirn 6278 . . . . . . . . . . . 12
124 fvssunirn 5848 . . . . . . . . . . . 12
125 xpss12 4902 . . . . . . . . . . . 12
126123, 124, 125mp2an 676 . . . . . . . . . . 11
127 elpm2r 7444 . . . . . . . . . . 11 comp comp comp comp comp comp comp comp comp comp
12894, 98, 122, 126, 127mp4an 677 . . . . . . . . . 10 comp comp comp comp
129128rgen2w 2727 . . . . . . . . 9 comp comp comp comp
130 eqid 2428 . . . . . . . . . 10 comp comp comp comp
131130fmpt2 6818 . . . . . . . . 9 comp comp comp comp comp comp comp comp
132129, 131mpbi 211 . . . . . . . 8 comp comp comp comp
133132a1i 11 . . . . . . 7 comp comp comp comp
13417, 64, 81, 133wunf 9103 . . . . . 6 comp comp
13517, 63, 134wunop 9098 . . . . 5 comp comp comp
13617, 33, 61, 135wuntp 9087 . . . 4 comp comp comp
13716, 136eqeltrd 2506 . . 3
138 inss2 3626 . . . . 5
139138, 26sseldi 3405 . . . 4
140138, 29sseldi 3405 . . . 4
1411, 139, 140xpccat 16018 . . 3
142137, 141elind 3593 . 2
143142, 25eleqtrrd 2509 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1437   wcel 1872  wral 2714  cvv 3022   cin 3378   wss 3379  cpw 3924  ctp 3945  cop 3947  cuni 4162   cxp 4794   crn 4797  wf 5540  cfv 5544  (class class class)co 6249   cmpt2 6251  com 6650  c1st 6749  c2nd 6750   cpm 7428  WUnicwun 9076  c1 9491  c4 10612  c5 10613  ;cdc 11002  cnx 15061  cbs 15064   chom 15144  compcco 15145  ccat 15513  CatCatccatc 15932   c cxpc 15996 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-er 7318  df-ec 7320  df-qs 7324  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-wun 9078  df-ni 9248  df-pli 9249  df-mi 9250  df-lti 9251  df-plpq 9284  df-mpq 9285  df-ltpq 9286  df-enq 9287  df-nq 9288  df-erq 9289  df-plq 9290  df-mq 9291  df-1nq 9292  df-rq 9293  df-ltnq 9294  df-np 9357  df-plp 9359  df-ltp 9361  df-enr 9431  df-nr 9432  df-c 9496  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-fz 11736  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-hom 15157  df-cco 15158  df-cat 15517  df-cid 15518  df-catc 15933  df-xpc 16000 This theorem is referenced by: (None)
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