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Theorem catcocl 14615
Description: Closure of a composition arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catcocl.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
catcocl.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
catcocl.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
catcocl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
catcocl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
catcocl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
catcocl.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
catcocl.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
catcocl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y H Z ) )
Assertion
Ref Expression
catcocl  |-  ( ph  ->  ( G ( <. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F )  e.  ( X H Z ) )

Proof of Theorem catcocl
Dummy variables  f 
g  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catcocl.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
2 catcocl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  C
)
3 catcocl.h . . . . 5  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
4 catcocl.o . . . . 5  |-  .x.  =  (comp `  C )
52, 3, 4iscat 14602 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( C  e.  Cat  <->  A. x  e.  B  ( E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. v  e.  ( z H w ) ( ( v ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( v ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) ) ) )
65ibi 241 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  A. x  e.  B  ( E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. v  e.  ( z H w ) ( ( v ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( v ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) ) )
7 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. v  e.  ( z H w ) ( ( v ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( v ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )
87ralimi 2786 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. v  e.  ( z H w ) ( ( v ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( v ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )  ->  A. g  e.  ( y H z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )
98ralimi 2786 . . . . . . 7  |-  ( A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. v  e.  ( z H w ) ( ( v ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( v ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )  ->  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )
109ralimi 2786 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. v  e.  ( z H w ) ( ( v ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( v ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )  ->  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )
1110ralimi 2786 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. v  e.  ( z H w ) ( ( v ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( v ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )
1211adantl 466 . . . 4  |-  ( ( E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. v  e.  ( z H w ) ( ( v ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( v ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )
1312ralimi 2786 . . 3  |-  ( A. x  e.  B  ( E. g  e.  (
x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. v  e.  ( z H w ) ( ( v ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( v ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )
141, 6, 133syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )
15 catcocl.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
16 catcocl.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1716adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  Y  e.  B )
18 catcocl.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
1918ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  ->  Z  e.  B )
20 catcocl.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
2120ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  F  e.  ( X H Y ) )
22 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  x  =  X )
23 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  y  =  Y )
2422, 23oveq12d 6104 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  (
x H y )  =  ( X H Y ) )
2521, 24eleqtrrd 2515 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  F  e.  ( x H y ) )
26 catcocl.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y H Z ) )
2726ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  G  e.  ( Y H Z ) )
28 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  z  =  Z )
2923, 28oveq12d 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  (
y H z )  =  ( Y H Z ) )
3027, 29eleqtrrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  G  e.  ( y H z ) )
3130adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  /\  z  =  Z )  /\  f  =  F )  ->  G  e.  ( y H z ) )
32 simp-5r 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  /\  z  =  Z )  /\  f  =  F )  /\  g  =  G )  ->  x  =  X )
33 simp-4r 766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  /\  z  =  Z )  /\  f  =  F )  /\  g  =  G )  ->  y  =  Y )
3432, 33opeq12d 4062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  /\  z  =  Z )  /\  f  =  F )  /\  g  =  G )  ->  <. x ,  y >.  =  <. X ,  Y >. )
35 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  /\  z  =  Z )  /\  f  =  F )  /\  g  =  G )  ->  z  =  Z )
3634, 35oveq12d 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  /\  z  =  Z )  /\  f  =  F )  /\  g  =  G )  ->  ( <. x ,  y >.  .x.  z )  =  (
<. X ,  Y >.  .x. 
Z ) )
37 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  /\  z  =  Z )  /\  f  =  F )  /\  g  =  G )  ->  g  =  G )
38 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  /\  z  =  Z )  /\  f  =  F )  /\  g  =  G )  ->  f  =  F )
3936, 37, 38oveq123d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  /\  z  =  Z )  /\  f  =  F )  /\  g  =  G )  ->  (
g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  =  ( G ( <. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F ) )
4032, 35oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  /\  z  =  Z )  /\  f  =  F )  /\  g  =  G )  ->  (
x H z )  =  ( X H Z ) )
4139, 40eleq12d 2506 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  /\  z  =  Z )  /\  f  =  F )  /\  g  =  G )  ->  (
( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  <->  ( G
( <. X ,  Y >.  .x.  Z ) F )  e.  ( X H Z ) ) )
4231, 41rspcdv 3071 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  /\  z  =  Z )  /\  f  =  F )  ->  ( A. g  e.  (
y H z ) ( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  ->  ( G ( <. X ,  Y >.  .x.  Z ) F )  e.  ( X H Z ) ) )
4325, 42rspcimdv 3069 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  ( A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  ->  ( G ( <. X ,  Y >.  .x.  Z ) F )  e.  ( X H Z ) ) )
4419, 43rspcimdv 3069 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  ->  ( A. z  e.  B  A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  ->  ( G ( <. X ,  Y >.  .x.  Z ) F )  e.  ( X H Z ) ) )
4517, 44rspcimdv 3069 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  ->  ( G ( <. X ,  Y >.  .x.  Z ) F )  e.  ( X H Z ) ) )
4615, 45rspcimdv 3069 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  ->  ( G ( <. X ,  Y >.  .x.  Z ) F )  e.  ( X H Z ) ) )
4714, 46mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( G ( <. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F )  e.  ( X H Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   <.cop 3878   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   Hom chom 14241  compcco 14242   Catccat 14594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-nul 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-iota 5376  df-fv 5421  df-ov 6089  df-cat 14598
This theorem is referenced by:  oppccatid  14650  ismon2  14665  isepi2  14672  sectco  14687  monsect  14709  issubc3  14751  fullsubc  14752  idfucl  14783  cofucl  14790  fthsect  14827  fthmon  14829  fuccocl  14866  invfuc  14876  coahom  14930  catcisolem  14966  xpccatid  14990  1stfcl  14999  2ndfcl  15000  prfcl  15005  evlfcllem  15023  evlfcl  15024  curf1cl  15030  curfcl  15034  hofcllem  15060  hofcl  15061  yon12  15067  hofpropd  15069  yonedalem4c  15079
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