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Theorem catcisolem 14966
Description: Lemma for catciso 14967. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catciso.c  |-  C  =  (CatCat `  U )
catciso.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
catciso.r  |-  R  =  ( Base `  X
)
catciso.s  |-  S  =  ( Base `  Y
)
catciso.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
catciso.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
catciso.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
catcisolem.i  |-  I  =  (Inv `  C )
catcisolem.g  |-  H  =  ( x  e.  S ,  y  e.  S  |->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) ) )
catcisolem.1  |-  ( ph  ->  F ( ( X Full 
Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
catcisolem.2  |-  ( ph  ->  F : R -1-1-onto-> S )
Assertion
Ref Expression
catcisolem  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >. ( X I Y )
<. `' F ,  H >. )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, F, y    x, G, y    ph, x, y   
x, I, y    x, R, y    x, S, y   
x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    U( x, y)    H( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem catcisolem
Dummy variables  f 
g  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catcisolem.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : R -1-1-onto-> S )
2 f1ococnv1 5664 . . . . . . 7  |-  ( F : R -1-1-onto-> S  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  R ) )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  R )
)
413ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  F : R
-1-1-onto-> S )
5 f1of 5636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : R -1-1-onto-> S  ->  F : R
--> S )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  F : R
--> S )
7 simp2 989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  u  e.  R )
86, 7ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( F `  u )  e.  S
)
9 simp3 990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  v  e.  R )
106, 9ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( F `  v )  e.  S
)
11 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  ->  x  =  ( F `  u ) )
1211fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  -> 
( `' F `  x )  =  ( `' F `  ( F `
 u ) ) )
13 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  -> 
y  =  ( F `
 v ) )
1413fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  -> 
( `' F `  y )  =  ( `' F `  ( F `
 v ) ) )
1512, 14oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  -> 
( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) ) )
1615cnveqd 5010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) ) )
17 catcisolem.g . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( x  e.  S ,  y  e.  S  |->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) ) )
18 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) )  e. 
_V
1918cnvex 6520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' ( ( `' F `  ( F `  u ) ) G ( `' F `  ( F `
 v ) ) )  e.  _V
2016, 17, 19ovmpt2a 6216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  u
)  e.  S  /\  ( F `  v )  e.  S )  -> 
( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  =  `' ( ( `' F `  ( F `  u ) ) G ( `' F `  ( F `
 v ) ) ) )
218, 10, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  =  `' ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) ) )
22 f1ocnvfv1 5978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  u  e.  R )  ->  ( `' F `  ( F `  u ) )  =  u )
234, 7, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( `' F `  ( F `  u ) )  =  u )
24 f1ocnvfv1 5978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  v  e.  R )  ->  ( `' F `  ( F `  v ) )  =  v )
254, 9, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( `' F `  ( F `  v ) )  =  v )
2623, 25oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) )  =  ( u G v ) )
2726cnveqd 5010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  `' (
( `' F `  ( F `  u ) ) G ( `' F `  ( F `
 v ) ) )  =  `' ( u G v ) )
2821, 27eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  =  `' ( u G v ) )
2928coeq1d 4996 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( (
( F `  u
) H ( F `
 v ) )  o.  ( u G v ) )  =  ( `' ( u G v )  o.  ( u G v ) ) )
30 catciso.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( Base `  X
)
31 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Hom  `  X )  =  ( Hom  `  X )
32 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Hom  `  Y )  =  ( Hom  `  Y )
33 catcisolem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F ( ( X Full 
Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
34333ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  F (
( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
3530, 31, 32, 34, 7, 9ffthf1o 14821 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( u G v ) : ( u ( Hom  `  X ) v ) -1-1-onto-> ( ( F `  u
) ( Hom  `  Y
) ( F `  v ) ) )
36 f1ococnv1 5664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u G v ) : ( u ( Hom  `  X )
v ) -1-1-onto-> ( ( F `  u ) ( Hom  `  Y ) ( F `
 v ) )  ->  ( `' ( u G v )  o.  ( u G v ) )  =  (  _I  |`  (
u ( Hom  `  X
) v ) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( `' ( u G v )  o.  ( u G v ) )  =  (  _I  |`  (
u ( Hom  `  X
) v ) ) )
3829, 37eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( (
( F `  u
) H ( F `
 v ) )  o.  ( u G v ) )  =  (  _I  |`  (
u ( Hom  `  X
) v ) ) )
3938mpt2eq3dva 6145 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( u  e.  R ,  v  e.  R  |->  ( ( ( F `
 u ) H ( F `  v
) )  o.  (
u G v ) ) )  =  ( u  e.  R , 
v  e.  R  |->  (  _I  |`  ( u
( Hom  `  X ) v ) ) ) )
40 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( Hom  `  X ) `  z
)  =  ( ( Hom  `  X ) `  <. u ,  v
>. ) )
41 df-ov 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( u ( Hom  `  X
) v )  =  ( ( Hom  `  X
) `  <. u ,  v >. )
4240, 41syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( Hom  `  X ) `  z
)  =  ( u ( Hom  `  X
) v ) )
4342reseq2d 5105 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  (  _I  |`  (
( Hom  `  X ) `
 z ) )  =  (  _I  |`  (
u ( Hom  `  X
) v ) ) )
4443mpt2mpt 6177 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( R  X.  R )  |->  (  _I  |`  ( ( Hom  `  X
) `  z )
) )  =  ( u  e.  R , 
v  e.  R  |->  (  _I  |`  ( u
( Hom  `  X ) v ) ) )
4539, 44syl6eqr 2488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  R ,  v  e.  R  |->  ( ( ( F `
 u ) H ( F `  v
) )  o.  (
u G v ) ) )  =  ( z  e.  ( R  X.  R )  |->  (  _I  |`  ( ( Hom  `  X ) `  z ) ) ) )
463, 45opeq12d 4062 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. ( `' F  o.  F ) ,  ( u  e.  R , 
v  e.  R  |->  ( ( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  o.  ( u G v ) ) ) >.  =  <. (  _I  |`  R ) ,  ( z  e.  ( R  X.  R
)  |->  (  _I  |`  (
( Hom  `  X ) `
 z ) ) ) >. )
47 inss1 3565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) )  C_  ( X Full  Y )
48 fullfunc 14808 . . . . . . . . 9  |-  ( X Full 
Y )  C_  ( X  Func  Y )
4947, 48sstri 3360 . . . . . . . 8  |-  ( ( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) )  C_  ( X  Func  Y )
5049ssbri 4329 . . . . . . 7  |-  ( F ( ( X Full  Y
)  i^i  ( X Faith  Y ) ) G  ->  F ( X  Func  Y ) G )
5133, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F ( X  Func  Y ) G )
52 catciso.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( Base `  Y
)
53 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Id
`  Y )  =  ( Id `  Y
)
54 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Id
`  X )  =  ( Id `  X
)
55 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  (comp `  Y )  =  (comp `  Y )
56 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  (comp `  X )  =  (comp `  X )
57 catciso.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  (CatCat `  U )
58 catciso.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  C
)
59 catciso.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
6057, 58, 59catcbas 14957 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  =  ( U  i^i  Cat ) )
61 inss2 3566 . . . . . . . . 9  |-  ( U  i^i  Cat )  C_  Cat
6260, 61syl6eqss 3401 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  Cat )
63 catciso.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6462, 63sseldd 3352 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  Cat )
65 catciso.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6662, 65sseldd 3352 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  Cat )
67 f1ocnv 5648 . . . . . . . 8  |-  ( F : R -1-1-onto-> S  ->  `' F : S -1-1-onto-> R )
68 f1of 5636 . . . . . . . 8  |-  ( `' F : S -1-1-onto-> R  ->  `' F : S --> R )
691, 67, 683syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' F : S --> R )
70 ovex 6111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  e. 
_V
7170cnvex 6520 . . . . . . . . 9  |-  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  e.  _V
7217, 71fnmpt2i 6638 . . . . . . . 8  |-  H  Fn  ( S  X.  S
)
7372a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
7433adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  ->  F ( ( X Full 
Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
7569ffvelrnda 5838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( `' F `  u )  e.  R )
7675adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( `' F `  u )  e.  R
)
7769ffvelrnda 5838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  ( `' F `  v )  e.  R )
7877adantrl 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( `' F `  v )  e.  R
)
7930, 31, 32, 74, 76, 78ffthf1o 14821 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
80 f1ocnv 5648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
81 f1of 5636 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) )  ->  `' (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) --> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) )
8279, 80, 813syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) --> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) )
83 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  x  =  u )
8483fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( `' F `  x )  =  ( `' F `  u ) )
85 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  y  =  v )
8685fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( `' F `  y )  =  ( `' F `  v ) )
8784, 86oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
8887cnveqd 5010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
89 ovex 6111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  e. 
_V
9089cnvex 6520 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  e.  _V
9188, 17, 90ovmpt2a 6216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  ( u H v )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
9291adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( u H v )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
931adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  ->  F : R -1-1-onto-> S )
94 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  ->  u  e.  S )
95 f1ocnvfv2 5979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  u  e.  S )  ->  ( F `  ( `' F `  u ) )  =  u )
9693, 94, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( F `  ( `' F `  u ) )  =  u )
97 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
v  e.  S )
98 f1ocnvfv2 5979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  v  e.  S )  ->  ( F `  ( `' F `  v ) )  =  v )
9993, 97, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( F `  ( `' F `  v ) )  =  v )
10096, 99oveq12d 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  =  ( u ( Hom  `  Y
) v ) )
101100eqcomd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( u ( Hom  `  Y ) v )  =  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y )
( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
10292, 101feq12d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( ( u H v ) : ( u ( Hom  `  Y
) v ) --> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) )  <->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) --> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) ) )
10382, 102mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( u H v ) : ( u ( Hom  `  Y
) v ) --> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
104 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  u  e.  S )
105 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  x  =  u )
106105fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  ( `' F `  x )  =  ( `' F `  u ) )
107 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  y  =  u )
108107fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  ( `' F `  y )  =  ( `' F `  u ) )
109106, 108oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) )
110109cnveqd 5010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) )
111 ovex 6111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) )  e. 
_V
112111cnvex 6520 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) )  e.  _V
113110, 17, 112ovmpt2a 6216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  ( u H u )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) )
114104, 104, 113syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
u H u )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) )
115114fveq1d 5688 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( u H u ) `  ( ( Id `  Y ) `
 u ) )  =  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  Y ) `
 u ) ) )
11651adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  F
( X  Func  Y
) G )
11730, 54, 53, 116, 75funcid 14772 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  X ) `
 ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id
`  Y ) `  ( F `  ( `' F `  u ) ) ) )
1181, 95sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( F `  ( `' F `  u )
)  =  u )
119118fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( Id `  Y
) `  ( F `  ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id
`  Y ) `  u ) )
120117, 119eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  X ) `
 ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id
`  Y ) `  u ) )
12133adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  F
( ( X Full  Y
)  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
12230, 31, 32, 121, 75, 75ffthf1o 14821 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  u ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  u ) ) ) )
12366adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  X  e.  Cat )
12430, 31, 54, 123, 75catidcl 14612 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
)  e.  ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  u ) ) )
125 f1ocnvfv 5980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  u ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  u ) ) )  /\  (
( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
)  e.  ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  u ) ) )  ->  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  X ) `
 ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id
`  Y ) `  u )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  Y ) `  u
) )  =  ( ( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
) ) )
126122, 124, 125syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  X ) `  ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id `  Y
) `  u )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  Y ) `  u
) )  =  ( ( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
) ) )
127120, 126mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  Y ) `  u
) )  =  ( ( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
) )
128115, 127eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( u H u ) `  ( ( Id `  Y ) `
 u ) )  =  ( ( Id
`  X ) `  ( `' F `  u ) ) )
129513ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  F ( X 
Func  Y ) G )
130693ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  `' F : S
--> R )
131 simp21 1021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  u  e.  S
)
132130, 131ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' F `  u )  e.  R
)
133 simp22 1022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  v  e.  S
)
134130, 133ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' F `  v )  e.  R
)
135 simp23 1023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  z  e.  S
)
136130, 135ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  R
)
137333ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  F ( ( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
13830, 31, 32, 137, 132, 134ffthf1o 14821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
13913ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  F : R -1-1-onto-> S
)
140139, 131, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  u ) )  =  u )
141139, 133, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  v ) )  =  v )
142140, 141oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y )
( F `  ( `' F `  v ) ) )  =  ( u ( Hom  `  Y
) v ) )
143 f1oeq3 5629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  =  ( u ( Hom  `  Y
) v )  -> 
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y ) v ) ) )
144142, 143syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y ) v ) ) )
145138, 144mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y ) v ) )
146 f1ocnv 5648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y
) v )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( u ( Hom  `  Y ) v ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
147 f1of 5636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( u ( Hom  `  Y
) v ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( u ( Hom  `  Y ) v ) --> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
148145, 146, 1473syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( u ( Hom  `  Y ) v ) --> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
149 simp3l 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v ) )
150148, 149ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f )  e.  ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) )
15130, 31, 32, 137, 134, 136ffthf1o 14821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  v ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )
152 f1ocnvfv2 5979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  z  e.  S )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
153139, 135, 152syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
154141, 153oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  v ) ) ( Hom  `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  ( v ( Hom  `  Y
) z ) )
155 f1oeq3 5629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  ( `' F `  v ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  ( v ( Hom  `  Y
) z )  -> 
( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  v ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  <->  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v ( Hom  `  Y ) z ) ) )
156154, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  v ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  <->  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v ( Hom  `  Y ) z ) ) )
157151, 156mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v ( Hom  `  Y ) z ) )
158 f1ocnv 5648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v ( Hom  `  Y
) z )  ->  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( v ( Hom  `  Y ) z ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )
159 f1of 5636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( v ( Hom  `  Y
) z ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  z ) )  ->  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( v ( Hom  `  Y ) z ) --> ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )
160157, 158, 1593syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( v ( Hom  `  Y ) z ) --> ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )
161 simp3r 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  g  e.  ( v ( Hom  `  Y
) z ) )
162160, 161ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g )  e.  ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  z ) ) )
16330, 31, 56, 55, 129, 132, 134, 136, 150, 162funcco 14773 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ) ( <. ( F `  ( `' F `  u )
) ,  ( F `
 ( `' F `  v ) ) >.
(comp `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) ) ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) ) )
164140, 141opeq12d 4062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  <. ( F `  ( `' F `  u ) ) ,  ( F `
 ( `' F `  v ) ) >.  =  <. u ,  v
>. )
165164, 153oveq12d 6104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( <. ( F `  ( `' F `  u )
) ,  ( F `
 ( `' F `  v ) ) >.
(comp `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  (
<. u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) )
166 f1ocnvfv2 5979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v ( Hom  `  Y
) z )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) )  -> 
( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) )  =  g )
167157, 161, 166syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) )  =  g )
168 f1ocnvfv2 5979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  f  e.  ( u
( Hom  `  Y ) v ) )  -> 
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )  =  f )
169145, 149, 168syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )  =  f )
170165, 167, 169oveq123d 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ) ( <. ( F `  ( `' F `  u )
) ,  ( F `
 ( `' F `  v ) ) >.
(comp `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) ) ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( g ( <. u ,  v >. (comp `  Y ) z ) f ) )
171163, 170eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( g (
<. u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f ) )
17230, 31, 32, 137, 132, 136ffthf1o 14821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )
173140, 153oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  ( u ( Hom  `  Y
) z ) )
174 f1oeq3 5629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  ( u ( Hom  `  Y
) z )  -> 
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y ) z ) ) )
175173, 174syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y ) z ) ) )
176172, 175mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y ) z ) )
177663ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  X  e.  Cat )
17830, 31, 56, 177, 132, 134, 136, 150, 162catcocl 14615 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )  e.  ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )
179 f1ocnvfv 5980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y
) z )  /\  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )  e.  ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )  ->  (
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( g (
<. u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( g ( <. u ,  v
>. (comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) ) )
180176, 178, 179syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( g (
<. u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( g ( <. u ,  v
>. (comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) ) )
181171, 180mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( g ( <. u ,  v
>. (comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )
182 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  x  =  u )
183182fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  ( `' F `  x )  =  ( `' F `  u ) )
184 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  y  =  z )
185184fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  ( `' F `  y )  =  ( `' F `  z ) )
186183, 185oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) )
187186cnveqd 5010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) )
188 ovex 6111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) )  e. 
_V
189188cnvex 6520 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) )  e.  _V
190187, 17, 189ovmpt2a 6216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  ( u H z )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) )
191131, 135, 190syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( u H z )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) )
192191fveq1d 5688 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( u H z ) `  ( g ( <.
u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( g ( <. u ,  v
>. (comp `  Y )
z ) f ) ) )
193 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  x  =  v )
194193fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  ( `' F `  x )  =  ( `' F `  v ) )
195 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  y  =  z )
196195fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  ( `' F `  y )  =  ( `' F `  z ) )
197194, 196oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) )
198197cnveqd 5010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) )
199 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) )  e. 
_V
200199cnvex 6520 . . . . . . . . . . . 12  |-  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) )  e.  _V
201198, 17, 200ovmpt2a 6216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  ( v H z )  =  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) )
202133, 135, 201syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( v H z )  =  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) )
203202fveq1d 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( v H z ) `  g )  =  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) )
204131, 133, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( u H v )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
205204fveq1d 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( u H v ) `  f )  =  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )
206203, 205oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( v H z ) `
 g ) (
<. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( ( u H v ) `  f ) )  =  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )
207181, 192, 2063eqtr4d 2480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( u H z ) `  ( g ( <.
u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( ( ( v H z ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( ( u H v ) `  f ) ) )
20852, 30, 32, 31, 53, 54, 55, 56, 64, 66, 69, 73, 103, 128, 207isfuncd 14767 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' F ( Y  Func  X ) H )
20930, 51, 208cofuval2 14789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >.  o.func 
<. F ,  G >. )  =  <. ( `' F  o.  F ) ,  ( u  e.  R , 
v  e.  R  |->  ( ( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  o.  ( u G v ) ) ) >. )
210 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (idfunc `  X
)  =  (idfunc `  X
)
211210, 30, 66, 31idfuval 14778 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (idfunc `  X )  =  <. (  _I  |`  R ) ,  ( z  e.  ( R  X.  R
)  |->  (  _I  |`  (
( Hom  `  X ) `
 z ) ) ) >. )
21246, 209, 2113eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >.  o.func 
<. F ,  G >. )  =  (idfunc `  X ) )
213 eqid 2438 . . . . 5  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
214 df-br 4288 . . . . . 6  |-  ( F ( X  Func  Y
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( X 
Func  Y ) )
21551, 214sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( X  Func  Y
) )
216 df-br 4288 . . . . . 6  |-  ( `' F ( Y  Func  X ) H  <->  <. `' F ,  H >.  e.  ( Y  Func  X ) )
217208, 216sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. `' F ,  H >.  e.  ( Y  Func  X
) )
21857, 58, 59, 213, 65, 63, 65, 215, 217catcco 14961 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >. ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) X ) <. F ,  G >. )  =  ( <. `' F ,  H >.  o.func 
<. F ,  G >. ) )
219 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
22057, 58, 219, 210, 59, 65catcid 14963 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Id `  C ) `  X
)  =  (idfunc `  X
) )
221212, 218, 2203eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >. ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) X ) <. F ,  G >. )  =  ( ( Id
`  C ) `  X ) )
222 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
223 eqid 2438 . . . 4  |-  (Sect `  C )  =  (Sect `  C )
22457catccat 14964 . . . . 5  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
22559, 224syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
22657, 58, 59, 222, 65, 63catchom 14959 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X ( Hom  `  C ) Y )  =  ( X  Func  Y ) )
227215, 226eleqtrrd 2515 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( X ( Hom  `  C ) Y ) )
22857, 58, 59, 222, 63, 65catchom 14959 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y ( Hom  `  C ) X )  =  ( Y  Func  X ) )
229217, 228eleqtrrd 2515 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. `' F ,  H >.  e.  ( Y ( Hom  `  C ) X ) )
23058, 222, 213, 219, 223, 225, 65, 63, 227, 229issect2 14685 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. ( X (Sect `  C ) Y )
<. `' F ,  H >.  <->  ( <. `' F ,  H >. (
<. X ,  Y >. (comp `  C ) X )
<. F ,  G >. )  =  ( ( Id
`  C ) `  X ) ) )
231221, 230mpbird 232 . 2  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >. ( X (Sect `  C
) Y ) <. `' F ,  H >. )
232 f1ococnv2 5662 . . . . . . 7  |-  ( F : R -1-1-onto-> S  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  S )
)
2331, 232syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  S )
)
234913adant1 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( u H v )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
235234coeq2d 4997 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) )  =  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) ) )
236333ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  F (
( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
237753adant3 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( `' F `  u )  e.  R )
238773adant2 1007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( `' F `  v )  e.  R )
23930, 31, 32, 236, 237, 238ffthf1o 14821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
2401003impb 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( ( F `  ( `' F `  u )
) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  =  ( u ( Hom  `  Y
) v ) )
241240, 143syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y ) v ) ) )
242239, 241mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y ) v ) )
243 f1ococnv2 5662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y
) v )  -> 
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )  =  (  _I  |`  (
u ( Hom  `  Y
) v ) ) )
244242, 243syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )  =  (  _I  |`  ( u
( Hom  `  Y ) v ) ) )
245235, 244eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) )  =  (  _I  |`  (
u ( Hom  `  Y
) v ) ) )
246245mpt2eq3dva 6145 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S ,  v  e.  S  |->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) ) )  =  ( u  e.  S ,  v  e.  S  |->  (  _I  |`  (
u ( Hom  `  Y
) v ) ) ) )
247 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( Hom  `  Y ) `  z
)  =  ( ( Hom  `  Y ) `  <. u ,  v
>. ) )
248 df-ov 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( u ( Hom  `  Y
) v )  =  ( ( Hom  `  Y
) `  <. u ,  v >. )
249247, 248syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( Hom  `  Y ) `  z
)  =  ( u ( Hom  `  Y
) v ) )
250249reseq2d 5105 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  (  _I  |`  (
( Hom  `  Y ) `
 z ) )  =  (  _I  |`  (
u ( Hom  `  Y
) v ) ) )
251250mpt2mpt 6177 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( S  X.  S )  |->  (  _I  |`  ( ( Hom  `  Y
) `  z )
) )  =  ( u  e.  S , 
v  e.  S  |->  (  _I  |`  ( u
( Hom  `  Y ) v ) ) )
252246, 251syl6eqr 2488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S ,  v  e.  S  |->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) ) )  =  ( z  e.  ( S  X.  S ) 
|->  (  _I  |`  (
( Hom  `  Y ) `
 z ) ) ) )
253233, 252opeq12d 4062 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. ( F  o.  `' F ) ,  ( u  e.  S , 
v  e.  S  |->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) ) ) >.  =  <. (  _I  |`  S ) ,  ( z  e.  ( S  X.  S
)  |->  (  _I  |`  (
( Hom  `  Y ) `
 z ) ) ) >. )
25452, 208, 51cofuval2 14789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  o.func 
<. `' F ,  H >. )  =  <. ( F  o.  `' F ) ,  ( u  e.  S , 
v  e.  S  |->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) ) ) >. )
255 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (idfunc `  Y
)  =  (idfunc `  Y
)
256255, 52, 64, 32idfuval 14778 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (idfunc `  Y )  =  <. (  _I  |`  S ) ,  ( z  e.  ( S  X.  S
)  |->  (  _I  |`  (
( Hom  `  Y ) `
 z ) ) ) >. )
257253, 254, 2563eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  o.func 
<. `' F ,  H >. )  =  (idfunc `  Y ) )
25857, 58, 59, 213, 63, 65, 63, 217, 215catcco 14961 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. ( <. Y ,  X >. (comp `  C ) Y ) <. `' F ,  H >. )  =  (
<. F ,  G >.  o.func  <. `' F ,  H >. ) )
25957, 58, 219, 255, 59, 63catcid 14963 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Id `  C ) `  Y
)  =  (idfunc `  Y
) )
260257, 258, 2593eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. ( <. Y ,  X >. (comp `  C ) Y ) <. `' F ,  H >. )  =  ( ( Id `  C
) `  Y )
)
26158, 222, 213, 219, 223, 225, 63, 65, 229, 227issect2 14685 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >. ( Y (Sect `  C ) X )
<. F ,  G >.  <->  ( <. F ,  G >. (
<. Y ,  X >. (comp `  C ) Y )
<. `' F ,  H >. )  =  ( ( Id
`  C ) `  Y ) ) )
262260, 261mpbird 232 . 2  |-  ( ph  -> 
<. `' F ,  H >. ( Y (Sect `  C
) X ) <. F ,  G >. )
263 catcisolem.i . . 3  |-  I  =  (Inv `  C )
26458, 263, 225, 65, 63, 223isinv 14690 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. ( X I Y ) <. `' F ,  H >. 
<->  ( <. F ,  G >. ( X (Sect `  C ) Y )
<. `' F ,  H >.  /\ 
<. `' F ,  H >. ( Y (Sect `  C
) X ) <. F ,  G >. ) ) )
265231, 262, 264mpbir2and 913 1  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >. ( X I Y )
<. `' F ,  H >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3322   <.cop 3878   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345    _I cid 4626    X. cxp 4833   `'ccnv 4834    |` cres 4837    o. ccom 4839    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   Basecbs 14166   Hom chom 14241  compcco 14242   Catccat 14594   Idccid 14595  Sectcsect 14675  Invcinv 14676    Func cfunc 14756  idfunccidfu 14757    o.func ccofu 14758   Full cful 14804   Faith cfth 14805  CatCatccatc 14954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-hom 14254  df-cco 14255  df-cat 14598  df-cid 14599  df-sect 14678  df-inv 14679  df-func 14760  df-idfu 14761  df-cofu 14762  df-full 14806  df-fth 14807  df-catc 14955
This theorem is referenced by:  catciso  14967
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