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Theorem catcisolem 15952
Description: Lemma for catciso 15953. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catciso.c  |-  C  =  (CatCat `  U )
catciso.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
catciso.r  |-  R  =  ( Base `  X
)
catciso.s  |-  S  =  ( Base `  Y
)
catciso.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
catciso.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
catciso.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
catcisolem.i  |-  I  =  (Inv `  C )
catcisolem.g  |-  H  =  ( x  e.  S ,  y  e.  S  |->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) ) )
catcisolem.1  |-  ( ph  ->  F ( ( X Full 
Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
catcisolem.2  |-  ( ph  ->  F : R -1-1-onto-> S )
Assertion
Ref Expression
catcisolem  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >. ( X I Y )
<. `' F ,  H >. )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, F, y    x, G, y    ph, x, y   
x, I, y    x, R, y    x, S, y   
x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    U( x, y)    H( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem catcisolem
Dummy variables  f 
g  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catcisolem.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : R -1-1-onto-> S )
2 f1ococnv1 5859 . . . . . . 7  |-  ( F : R -1-1-onto-> S  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  R ) )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  R )
)
413ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  F : R
-1-1-onto-> S )
5 f1of 5831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : R -1-1-onto-> S  ->  F : R
--> S )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  F : R
--> S )
7 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  u  e.  R )
86, 7ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( F `  u )  e.  S
)
9 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  v  e.  R )
106, 9ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( F `  v )  e.  S
)
11 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  ->  x  =  ( F `  u ) )
1211fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  -> 
( `' F `  x )  =  ( `' F `  ( F `
 u ) ) )
13 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  -> 
y  =  ( F `
 v ) )
1413fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  -> 
( `' F `  y )  =  ( `' F `  ( F `
 v ) ) )
1512, 14oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  -> 
( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) ) )
1615cnveqd 5030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) ) )
17 catcisolem.g . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( x  e.  S ,  y  e.  S  |->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) ) )
18 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) )  e. 
_V
1918cnvex 6754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' ( ( `' F `  ( F `  u ) ) G ( `' F `  ( F `
 v ) ) )  e.  _V
2016, 17, 19ovmpt2a 6441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  u
)  e.  S  /\  ( F `  v )  e.  S )  -> 
( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  =  `' ( ( `' F `  ( F `  u ) ) G ( `' F `  ( F `
 v ) ) ) )
218, 10, 20syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  =  `' ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) ) )
22 f1ocnvfv1 6190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  u  e.  R )  ->  ( `' F `  ( F `  u ) )  =  u )
234, 7, 22syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( `' F `  ( F `  u ) )  =  u )
24 f1ocnvfv1 6190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  v  e.  R )  ->  ( `' F `  ( F `  v ) )  =  v )
254, 9, 24syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( `' F `  ( F `  v ) )  =  v )
2623, 25oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) )  =  ( u G v ) )
2726cnveqd 5030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  `' (
( `' F `  ( F `  u ) ) G ( `' F `  ( F `
 v ) ) )  =  `' ( u G v ) )
2821, 27eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  =  `' ( u G v ) )
2928coeq1d 5016 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( (
( F `  u
) H ( F `
 v ) )  o.  ( u G v ) )  =  ( `' ( u G v )  o.  ( u G v ) ) )
30 catciso.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( Base `  X
)
31 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Hom  `  X )  =  ( Hom  `  X )
32 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Hom  `  Y )  =  ( Hom  `  Y )
33 catcisolem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F ( ( X Full 
Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
34333ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  F (
( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
3530, 31, 32, 34, 7, 9ffthf1o 15775 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( u G v ) : ( u ( Hom  `  X ) v ) -1-1-onto-> ( ( F `  u
) ( Hom  `  Y
) ( F `  v ) ) )
36 f1ococnv1 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u G v ) : ( u ( Hom  `  X )
v ) -1-1-onto-> ( ( F `  u ) ( Hom  `  Y ) ( F `
 v ) )  ->  ( `' ( u G v )  o.  ( u G v ) )  =  (  _I  |`  (
u ( Hom  `  X
) v ) ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( `' ( u G v )  o.  ( u G v ) )  =  (  _I  |`  (
u ( Hom  `  X
) v ) ) )
3829, 37eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( (
( F `  u
) H ( F `
 v ) )  o.  ( u G v ) )  =  (  _I  |`  (
u ( Hom  `  X
) v ) ) )
3938mpt2eq3dva 6369 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( u  e.  R ,  v  e.  R  |->  ( ( ( F `
 u ) H ( F `  v
) )  o.  (
u G v ) ) )  =  ( u  e.  R , 
v  e.  R  |->  (  _I  |`  ( u
( Hom  `  X ) v ) ) ) )
40 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( Hom  `  X ) `  z
)  =  ( ( Hom  `  X ) `  <. u ,  v
>. ) )
41 df-ov 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( u ( Hom  `  X
) v )  =  ( ( Hom  `  X
) `  <. u ,  v >. )
4240, 41syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( Hom  `  X ) `  z
)  =  ( u ( Hom  `  X
) v ) )
4342reseq2d 5125 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  (  _I  |`  (
( Hom  `  X ) `
 z ) )  =  (  _I  |`  (
u ( Hom  `  X
) v ) ) )
4443mpt2mpt 6402 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( R  X.  R )  |->  (  _I  |`  ( ( Hom  `  X
) `  z )
) )  =  ( u  e.  R , 
v  e.  R  |->  (  _I  |`  ( u
( Hom  `  X ) v ) ) )
4539, 44syl6eqr 2488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  R ,  v  e.  R  |->  ( ( ( F `
 u ) H ( F `  v
) )  o.  (
u G v ) ) )  =  ( z  e.  ( R  X.  R )  |->  (  _I  |`  ( ( Hom  `  X ) `  z ) ) ) )
463, 45opeq12d 4198 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. ( `' F  o.  F ) ,  ( u  e.  R , 
v  e.  R  |->  ( ( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  o.  ( u G v ) ) ) >.  =  <. (  _I  |`  R ) ,  ( z  e.  ( R  X.  R
)  |->  (  _I  |`  (
( Hom  `  X ) `
 z ) ) ) >. )
47 inss1 3688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) )  C_  ( X Full  Y )
48 fullfunc 15762 . . . . . . . . 9  |-  ( X Full 
Y )  C_  ( X  Func  Y )
4947, 48sstri 3479 . . . . . . . 8  |-  ( ( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) )  C_  ( X  Func  Y )
5049ssbri 4468 . . . . . . 7  |-  ( F ( ( X Full  Y
)  i^i  ( X Faith  Y ) ) G  ->  F ( X  Func  Y ) G )
5133, 50syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F ( X  Func  Y ) G )
52 catciso.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( Base `  Y
)
53 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( Id
`  Y )  =  ( Id `  Y
)
54 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( Id
`  X )  =  ( Id `  X
)
55 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  (comp `  Y )  =  (comp `  Y )
56 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  (comp `  X )  =  (comp `  X )
57 catciso.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  (CatCat `  U )
58 catciso.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  C
)
59 catciso.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
6057, 58, 59catcbas 15943 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  =  ( U  i^i  Cat ) )
61 inss2 3689 . . . . . . . . 9  |-  ( U  i^i  Cat )  C_  Cat
6260, 61syl6eqss 3520 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  Cat )
63 catciso.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6462, 63sseldd 3471 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  Cat )
65 catciso.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6662, 65sseldd 3471 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  Cat )
67 f1ocnv 5843 . . . . . . . 8  |-  ( F : R -1-1-onto-> S  ->  `' F : S -1-1-onto-> R )
68 f1of 5831 . . . . . . . 8  |-  ( `' F : S -1-1-onto-> R  ->  `' F : S --> R )
691, 67, 683syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' F : S --> R )
70 ovex 6333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  e. 
_V
7170cnvex 6754 . . . . . . . . 9  |-  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  e.  _V
7217, 71fnmpt2i 6876 . . . . . . . 8  |-  H  Fn  ( S  X.  S
)
7372a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
7433adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  ->  F ( ( X Full 
Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
7569ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( `' F `  u )  e.  R )
7675adantrr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( `' F `  u )  e.  R
)
7769ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  ( `' F `  v )  e.  R )
7877adantrl 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( `' F `  v )  e.  R
)
7930, 31, 32, 74, 76, 78ffthf1o 15775 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
80 f1ocnv 5843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
81 f1of 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) )  ->  `' (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) --> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) )
8279, 80, 813syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) --> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) )
83 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  x  =  u )
8483fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( `' F `  x )  =  ( `' F `  u ) )
85 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  y  =  v )
8685fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( `' F `  y )  =  ( `' F `  v ) )
8784, 86oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
8887cnveqd 5030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
89 ovex 6333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  e. 
_V
9089cnvex 6754 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  e.  _V
9188, 17, 90ovmpt2a 6441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  ( u H v )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
9291adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( u H v )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
931adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  ->  F : R -1-1-onto-> S )
94 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  ->  u  e.  S )
95 f1ocnvfv2 6191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  u  e.  S )  ->  ( F `  ( `' F `  u ) )  =  u )
9693, 94, 95syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( F `  ( `' F `  u ) )  =  u )
97 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
v  e.  S )
98 f1ocnvfv2 6191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  v  e.  S )  ->  ( F `  ( `' F `  v ) )  =  v )
9993, 97, 98syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( F `  ( `' F `  v ) )  =  v )
10096, 99oveq12d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  =  ( u ( Hom  `  Y
) v ) )
101100eqcomd 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( u ( Hom  `  Y ) v )  =  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y )
( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
10292, 101feq12d 5735 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( ( u H v ) : ( u ( Hom  `  Y
) v ) --> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) )  <->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) --> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) ) )
10382, 102mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( u H v ) : ( u ( Hom  `  Y
) v ) --> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
104 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  u  e.  S )
105 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  x  =  u )
106105fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  ( `' F `  x )  =  ( `' F `  u ) )
107 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  y  =  u )
108107fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  ( `' F `  y )  =  ( `' F `  u ) )
109106, 108oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) )
110109cnveqd 5030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) )
111 ovex 6333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) )  e. 
_V
112111cnvex 6754 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) )  e.  _V
113110, 17, 112ovmpt2a 6441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  ( u H u )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) )
114104, 104, 113syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
u H u )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) )
115114fveq1d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( u H u ) `  ( ( Id `  Y ) `
 u ) )  =  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  Y ) `
 u ) ) )
11651adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  F
( X  Func  Y
) G )
11730, 54, 53, 116, 75funcid 15726 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  X ) `
 ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id
`  Y ) `  ( F `  ( `' F `  u ) ) ) )
1181, 95sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( F `  ( `' F `  u )
)  =  u )
119118fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( Id `  Y
) `  ( F `  ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id
`  Y ) `  u ) )
120117, 119eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  X ) `
 ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id
`  Y ) `  u ) )
12133adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  F
( ( X Full  Y
)  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
12230, 31, 32, 121, 75, 75ffthf1o 15775 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  u ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  u ) ) ) )
12366adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  X  e.  Cat )
12430, 31, 54, 123, 75catidcl 15539 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
)  e.  ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  u ) ) )
125 f1ocnvfv 6192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  u ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  u ) ) )  /\  (
( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
)  e.  ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  u ) ) )  ->  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  X ) `
 ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id
`  Y ) `  u )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  Y ) `  u
) )  =  ( ( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
) ) )
126122, 124, 125syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  X ) `  ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id `  Y
) `  u )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  Y ) `  u
) )  =  ( ( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
) ) )
127120, 126mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  Y ) `  u
) )  =  ( ( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
) )
128115, 127eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( u H u ) `  ( ( Id `  Y ) `
 u ) )  =  ( ( Id
`  X ) `  ( `' F `  u ) ) )
129513ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  F ( X 
Func  Y ) G )
130693ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  `' F : S
--> R )
131 simp21 1038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  u  e.  S
)
132130, 131ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' F `  u )  e.  R
)
133 simp22 1039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  v  e.  S
)
134130, 133ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' F `  v )  e.  R
)
135 simp23 1040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  z  e.  S
)
136130, 135ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  R
)
137333ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  F ( ( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
13830, 31, 32, 137, 132, 134ffthf1o 15775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
13913ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  F : R -1-1-onto-> S
)
140139, 131, 95syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  u ) )  =  u )
141139, 133, 98syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  v ) )  =  v )
142140, 141oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y )
( F `  ( `' F `  v ) ) )  =  ( u ( Hom  `  Y
) v ) )
143 f1oeq3 5824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  =  ( u ( Hom  `  Y
) v )  -> 
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y ) v ) ) )
144142, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y ) v ) ) )
145138, 144mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y ) v ) )
146 f1ocnv 5843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y
) v )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( u ( Hom  `  Y ) v ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
147 f1of 5831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( u ( Hom  `  Y
) v ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( u ( Hom  `  Y ) v ) --> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
148145, 146, 1473syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( u ( Hom  `  Y ) v ) --> ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
149 simp3l 1033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v ) )
150148, 149ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f )  e.  ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) )
15130, 31, 32, 137, 134, 136ffthf1o 15775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  v ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )
152 f1ocnvfv2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  z  e.  S )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
153139, 135, 152syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
154141, 153oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  v ) ) ( Hom  `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  ( v ( Hom  `  Y
) z ) )
155 f1oeq3 5824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  ( `' F `  v ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  ( v ( Hom  `  Y
) z )  -> 
( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  v ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  <->  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v ( Hom  `  Y ) z ) ) )
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  v ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  <->  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v ( Hom  `  Y ) z ) ) )
157151, 156mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v ( Hom  `  Y ) z ) )
158 f1ocnv 5843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v ( Hom  `  Y
) z )  ->  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( v ( Hom  `  Y ) z ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )
159 f1of 5831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( v ( Hom  `  Y
) z ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  z ) )  ->  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( v ( Hom  `  Y ) z ) --> ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )
160157, 158, 1593syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( v ( Hom  `  Y ) z ) --> ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )
161 simp3r 1034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  g  e.  ( v ( Hom  `  Y
) z ) )
162160, 161ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g )  e.  ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  z ) ) )
16330, 31, 56, 55, 129, 132, 134, 136, 150, 162funcco 15727 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ) ( <. ( F `  ( `' F `  u )
) ,  ( F `
 ( `' F `  v ) ) >.
(comp `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) ) ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) ) )
164140, 141opeq12d 4198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  <. ( F `  ( `' F `  u ) ) ,  ( F `
 ( `' F `  v ) ) >.  =  <. u ,  v
>. )
165164, 153oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( <. ( F `  ( `' F `  u )
) ,  ( F `
 ( `' F `  v ) ) >.
(comp `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  (
<. u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) )
166 f1ocnvfv2 6191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v ( Hom  `  Y
) z )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) )  -> 
( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) )  =  g )
167157, 161, 166syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) )  =  g )
168 f1ocnvfv2 6191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  f  e.  ( u
( Hom  `  Y ) v ) )  -> 
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )  =  f )
169145, 149, 168syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )  =  f )
170165, 167, 169oveq123d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ) ( <. ( F `  ( `' F `  u )
) ,  ( F `
 ( `' F `  v ) ) >.
(comp `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) ) ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( g ( <. u ,  v >. (comp `  Y ) z ) f ) )
171163, 170eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( g (
<. u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f ) )
17230, 31, 32, 137, 132, 136ffthf1o 15775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )
173140, 153oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  ( u ( Hom  `  Y
) z ) )
174 f1oeq3 5824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  ( u ( Hom  `  Y
) z )  -> 
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y ) z ) ) )
175173, 174syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y ) z ) ) )
176172, 175mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y ) z ) )
177663ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  X  e.  Cat )
17830, 31, 56, 177, 132, 134, 136, 150, 162catcocl 15542 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )  e.  ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )
179 f1ocnvfv 6192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y
) z )  /\  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )  e.  ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )  ->  (
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( g (
<. u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( g ( <. u ,  v
>. (comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) ) )
180176, 178, 179syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( g (
<. u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( g ( <. u ,  v
>. (comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) ) )
181171, 180mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( g ( <. u ,  v
>. (comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )
182 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  x  =  u )
183182fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  ( `' F `  x )  =  ( `' F `  u ) )
184 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  y  =  z )
185184fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  ( `' F `  y )  =  ( `' F `  z ) )
186183, 185oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) )
187186cnveqd 5030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) )
188 ovex 6333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) )  e. 
_V
189188cnvex 6754 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) )  e.  _V
190187, 17, 189ovmpt2a 6441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  ( u H z )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) )
191131, 135, 190syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( u H z )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) )
192191fveq1d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( u H z ) `  ( g ( <.
u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( g ( <. u ,  v
>. (comp `  Y )
z ) f ) ) )
193 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  x  =  v )
194193fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  ( `' F `  x )  =  ( `' F `  v ) )
195 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  y  =  z )
196195fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  ( `' F `  y )  =  ( `' F `  z ) )
197194, 196oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) )
198197cnveqd 5030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) )
199 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) )  e. 
_V
200199cnvex 6754 . . . . . . . . . . . 12  |-  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) )  e.  _V
201198, 17, 200ovmpt2a 6441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  ( v H z )  =  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) )
202133, 135, 201syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( v H z )  =  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) )
203202fveq1d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( v H z ) `  g )  =  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) )
204131, 133, 91syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( u H v )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
205204fveq1d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( u H v ) `  f )  =  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )
206203, 205oveq12d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( v H z ) `
 g ) (
<. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( ( u H v ) `  f ) )  =  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )
207181, 192, 2063eqtr4d 2480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u ( Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
( Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( u H z ) `  ( g ( <.
u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( ( ( v H z ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( ( u H v ) `  f ) ) )
20852, 30, 32, 31, 53, 54, 55, 56, 64, 66, 69, 73, 103, 128, 207isfuncd 15721 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' F ( Y  Func  X ) H )
20930, 51, 208cofuval2 15743 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >.  o.func 
<. F ,  G >. )  =  <. ( `' F  o.  F ) ,  ( u  e.  R , 
v  e.  R  |->  ( ( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  o.  ( u G v ) ) ) >. )
210 eqid 2429 . . . . . 6  |-  (idfunc `  X
)  =  (idfunc `  X
)
211210, 30, 66, 31idfuval 15732 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (idfunc `  X )  =  <. (  _I  |`  R ) ,  ( z  e.  ( R  X.  R
)  |->  (  _I  |`  (
( Hom  `  X ) `
 z ) ) ) >. )
21246, 209, 2113eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >.  o.func 
<. F ,  G >. )  =  (idfunc `  X ) )
213 eqid 2429 . . . . 5  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
214 df-br 4427 . . . . . 6  |-  ( F ( X  Func  Y
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( X 
Func  Y ) )
21551, 214sylib 199 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( X  Func  Y
) )
216 df-br 4427 . . . . . 6  |-  ( `' F ( Y  Func  X ) H  <->  <. `' F ,  H >.  e.  ( Y  Func  X ) )
217208, 216sylib 199 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. `' F ,  H >.  e.  ( Y  Func  X
) )
21857, 58, 59, 213, 65, 63, 65, 215, 217catcco 15947 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >. ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) X ) <. F ,  G >. )  =  ( <. `' F ,  H >.  o.func 
<. F ,  G >. ) )
219 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
22057, 58, 219, 210, 59, 65catcid 15949 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Id `  C ) `  X
)  =  (idfunc `  X
) )
221212, 218, 2203eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >. ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) X ) <. F ,  G >. )  =  ( ( Id
`  C ) `  X ) )
222 eqid 2429 . . . 4  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
223 eqid 2429 . . . 4  |-  (Sect `  C )  =  (Sect `  C )
22457catccat 15950 . . . . 5  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
22559, 224syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
22657, 58, 59, 222, 65, 63catchom 15945 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X ( Hom  `  C ) Y )  =  ( X  Func  Y ) )
227215, 226eleqtrrd 2520 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( X ( Hom  `  C ) Y ) )
22857, 58, 59, 222, 63, 65catchom 15945 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y ( Hom  `  C ) X )  =  ( Y  Func  X ) )
229217, 228eleqtrrd 2520 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. `' F ,  H >.  e.  ( Y ( Hom  `  C ) X ) )
23058, 222, 213, 219, 223, 225, 65, 63, 227, 229issect2 15610 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. ( X (Sect `  C ) Y )
<. `' F ,  H >.  <->  ( <. `' F ,  H >. (
<. X ,  Y >. (comp `  C ) X )
<. F ,  G >. )  =  ( ( Id
`  C ) `  X ) ) )
231221, 230mpbird 235 . 2  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >. ( X (Sect `  C
) Y ) <. `' F ,  H >. )
232 f1ococnv2 5857 . . . . . . 7  |-  ( F : R -1-1-onto-> S  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  S )
)
2331, 232syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  S )
)
234913adant1 1023 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( u H v )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
235234coeq2d 5017 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) )  =  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) ) )
236333ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  F (
( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
237753adant3 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( `' F `  u )  e.  R )
238773adant2 1024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( `' F `  v )  e.  R )
23930, 31, 32, 236, 237, 238ffthf1o 15775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
2401003impb 1201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( ( F `  ( `' F `  u )
) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  =  ( u ( Hom  `  Y
) v ) )
241240, 143syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) ( Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y ) v ) ) )
242239, 241mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y ) v ) )
243 f1ococnv2 5857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) ( Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom  `  Y
) v )  -> 
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )  =  (  _I  |`  (
u ( Hom  `  Y
) v ) ) )
244242, 243syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )  =  (  _I  |`  ( u
( Hom  `  Y ) v ) ) )
245235, 244eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) )  =  (  _I  |`  (
u ( Hom  `  Y
) v ) ) )
246245mpt2eq3dva 6369 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S ,  v  e.  S  |->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) ) )  =  ( u  e.  S ,  v  e.  S  |->  (  _I  |`  (
u ( Hom  `  Y
) v ) ) ) )
247 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( Hom  `  Y ) `  z
)  =  ( ( Hom  `  Y ) `  <. u ,  v
>. ) )
248 df-ov 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( u ( Hom  `  Y
) v )  =  ( ( Hom  `  Y
) `  <. u ,  v >. )
249247, 248syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( Hom  `  Y ) `  z
)  =  ( u ( Hom  `  Y
) v ) )
250249reseq2d 5125 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  (  _I  |`  (
( Hom  `  Y ) `
 z ) )  =  (  _I  |`  (
u ( Hom  `  Y
) v ) ) )
251250mpt2mpt 6402 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( S  X.  S )  |->  (  _I  |`  ( ( Hom  `  Y
) `  z )
) )  =  ( u  e.  S , 
v  e.  S  |->  (  _I  |`  ( u
( Hom  `  Y ) v ) ) )
252246, 251syl6eqr 2488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S ,  v  e.  S  |->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) ) )  =  ( z  e.  ( S  X.  S ) 
|->  (  _I  |`  (
( Hom  `  Y ) `
 z ) ) ) )
253233, 252opeq12d 4198 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. ( F  o.  `' F ) ,  ( u  e.  S , 
v  e.  S  |->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) ) ) >.  =  <. (  _I  |`  S ) ,  ( z  e.  ( S  X.  S
)  |->  (  _I  |`  (
( Hom  `  Y ) `
 z ) ) ) >. )
25452, 208, 51cofuval2 15743 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  o.func 
<. `' F ,  H >. )  =  <. ( F  o.  `' F ) ,  ( u  e.  S , 
v  e.  S  |->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) ) ) >. )
255 eqid 2429 . . . . . 6  |-  (idfunc `  Y
)  =  (idfunc `  Y
)
256255, 52, 64, 32idfuval 15732 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (idfunc `  Y )  =  <. (  _I  |`  S ) ,  ( z  e.  ( S  X.  S
)  |->  (  _I  |`  (
( Hom  `  Y ) `
 z ) ) ) >. )
257253, 254, 2563eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  o.func 
<. `' F ,  H >. )  =  (idfunc `  Y ) )
25857, 58, 59, 213, 63, 65, 63, 217, 215catcco 15947 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. ( <. Y ,  X >. (comp `  C ) Y ) <. `' F ,  H >. )  =  (
<. F ,  G >.  o.func  <. `' F ,  H >. ) )
25957, 58, 219, 255, 59, 63catcid 15949 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Id `  C ) `  Y
)  =  (idfunc `  Y
) )
260257, 258, 2593eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. ( <. Y ,  X >. (comp `  C ) Y ) <. `' F ,  H >. )  =  ( ( Id `  C
) `  Y )
)
26158, 222, 213, 219, 223, 225, 63, 65, 229, 227issect2 15610 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >. ( Y (Sect `  C ) X )
<. F ,  G >.  <->  ( <. F ,  G >. (
<. Y ,  X >. (comp `  C ) Y )
<. `' F ,  H >. )  =  ( ( Id
`  C ) `  Y ) ) )
262260, 261mpbird 235 . 2  |-  ( ph  -> 
<. `' F ,  H >. ( Y (Sect `  C
) X ) <. F ,  G >. )
263 catcisolem.i . . 3  |-  I  =  (Inv `  C )
26458, 263, 225, 65, 63, 223isinv 15616 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. ( X I Y ) <. `' F ,  H >. 
<->  ( <. F ,  G >. ( X (Sect `  C ) Y )
<. `' F ,  H >.  /\ 
<. `' F ,  H >. ( Y (Sect `  C
) X ) <. F ,  G >. ) ) )
265231, 262, 264mpbir2and 930 1  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >. ( X I Y )
<. `' F ,  H >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    i^i cin 3441   <.cop 4008   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484    _I cid 4764    X. cxp 4852   `'ccnv 4853    |` cres 4856    o. ccom 4858    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   Basecbs 15084   Hom chom 15163  compcco 15164   Catccat 15521   Idccid 15522  Sectcsect 15600  Invcinv 15601    Func cfunc 15710  idfunccidfu 15711    o.func ccofu 15712   Full cful 15758   Faith cfth 15759  CatCatccatc 15940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-hom 15176  df-cco 15177  df-cat 15525  df-cid 15526  df-sect 15603  df-inv 15604  df-func 15714  df-idfu 15715  df-cofu 15716  df-full 15760  df-fth 15761  df-catc 15941
This theorem is referenced by:  catciso  15953
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