MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  catchomfval Structured version   Unicode version

Theorem catchomfval 15279
Description: Set of arrows of the category of categories (in a universe). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catcbas.c  |-  C  =  (CatCat `  U )
catcbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
catcbas.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
catchomfval.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
Assertion
Ref Expression
catchomfval  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x 
Func  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    ph, x, y    x, U, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    H( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem catchomfval
Dummy variables  v 
z  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catchomfval.h . . 3  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
2 catcbas.c . . . . 5  |-  C  =  (CatCat `  U )
3 catcbas.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
4 catcbas.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  C
)
52, 4, 3catcbas 15278 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( U  i^i  Cat ) )
6 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  Func  y )
) )
7 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v
)  Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )  =  ( v  e.  ( B  X.  B
) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v
)  Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) ) )
82, 3, 5, 6, 7catcval 15277 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } )
98fveq2d 5868 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Hom  `  C
)  =  ( Hom  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } ) )
101, 9syl5eq 2520 . 2  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } ) )
11 fvex 5874 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  e.  _V
124, 11eqeltri 2551 . . . 4  |-  B  e. 
_V
1312, 12mpt2ex 6857 . . 3  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x 
Func  y ) )  e.  _V
14 catstr 15180 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
15 homid 14667 . . . 4  |-  Hom  = Slot  ( Hom  `  ndx )
16 snsstp2 4179 . . . 4  |-  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) ) >. }  C_  {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. }
1714, 15, 16strfv 14520 . . 3  |-  ( ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  Func  y )
)  e.  _V  ->  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  Func  y )
)  =  ( Hom  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } ) )
1813, 17mp1i 12 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) )  =  ( Hom  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } ) )
1910, 18eqtr4d 2511 1  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x 
Func  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   {ctp 4031   <.cop 4033    X. cxp 4997   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   2ndc2nd 6780   1c1 9489   5c5 10584  ;cdc 10972   ndxcnx 14483   Basecbs 14486   Hom chom 14562  compcco 14563    Func cfunc 15077    o.func ccofu 15079  CatCatccatc 15275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-hom 14575  df-cco 14576  df-catc 15276
This theorem is referenced by:  catchom  15280  catccofval  15281
  Copyright terms: Public domain W3C validator