MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  catchomfval Structured version   Unicode version

Theorem catchomfval 15068
Description: Set of arrows of the category of categories (in a universe). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catcbas.c  |-  C  =  (CatCat `  U )
catcbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
catcbas.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
catchomfval.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
Assertion
Ref Expression
catchomfval  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x 
Func  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    ph, x, y    x, U, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    H( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem catchomfval
Dummy variables  v 
z  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catchomfval.h . . 3  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
2 catcbas.c . . . . 5  |-  C  =  (CatCat `  U )
3 catcbas.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
4 catcbas.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  C
)
52, 4, 3catcbas 15067 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( U  i^i  Cat ) )
6 eqidd 2452 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  Func  y )
) )
7 eqidd 2452 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v
)  Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )  =  ( v  e.  ( B  X.  B
) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v
)  Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) ) )
82, 3, 5, 6, 7catcval 15066 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } )
98fveq2d 5793 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Hom  `  C
)  =  ( Hom  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } ) )
101, 9syl5eq 2504 . 2  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } ) )
11 fvex 5799 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  e.  _V
124, 11eqeltri 2535 . . . 4  |-  B  e. 
_V
1312, 12mpt2ex 6750 . . 3  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x 
Func  y ) )  e.  _V
14 catstr 14969 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
15 homid 14456 . . . 4  |-  Hom  = Slot  ( Hom  `  ndx )
16 snsstp2 4123 . . . 4  |-  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) ) >. }  C_  {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. }
1714, 15, 16strfv 14310 . . 3  |-  ( ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  Func  y )
)  e.  _V  ->  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  Func  y )
)  =  ( Hom  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } ) )
1813, 17mp1i 12 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) )  =  ( Hom  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } ) )
1910, 18eqtr4d 2495 1  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x 
Func  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3068   {ctp 3979   <.cop 3981    X. cxp 4936   ` cfv 5516  (class class class)co 6190    |-> cmpt2 6192   2ndc2nd 6676   1c1 9384   5c5 10475  ;cdc 10856   ndxcnx 14273   Basecbs 14276   Hom chom 14351  compcco 14352    Func cfunc 14866    o.func ccofu 14868  CatCatccatc 15064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-fz 11539  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-hom 14364  df-cco 14365  df-catc 15065
This theorem is referenced by:  catchom  15069  catccofval  15070
  Copyright terms: Public domain W3C validator