MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  catchomfval Structured version   Unicode version

Theorem catchomfval 15701
Description: Set of arrows of the category of categories (in a universe). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catcbas.c  |-  C  =  (CatCat `  U )
catcbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
catcbas.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
catchomfval.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
Assertion
Ref Expression
catchomfval  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x 
Func  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    ph, x, y    x, U, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    H( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem catchomfval
Dummy variables  v 
z  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catchomfval.h . . 3  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
2 catcbas.c . . . . 5  |-  C  =  (CatCat `  U )
3 catcbas.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
4 catcbas.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  C
)
52, 4, 3catcbas 15700 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( U  i^i  Cat ) )
6 eqidd 2403 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  Func  y )
) )
7 eqidd 2403 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v
)  Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )  =  ( v  e.  ( B  X.  B
) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v
)  Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) ) )
82, 3, 5, 6, 7catcval 15699 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } )
98fveq2d 5853 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Hom  `  C
)  =  ( Hom  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } ) )
101, 9syl5eq 2455 . 2  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } ) )
11 fvex 5859 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  e.  _V
124, 11eqeltri 2486 . . . 4  |-  B  e. 
_V
1312, 12mpt2ex 6861 . . 3  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x 
Func  y ) )  e.  _V
14 catstr 15570 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
15 homid 15029 . . . 4  |-  Hom  = Slot  ( Hom  `  ndx )
16 snsstp2 4124 . . . 4  |-  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) ) >. }  C_  {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. }
1714, 15, 16strfv 14877 . . 3  |-  ( ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  Func  y )
)  e.  _V  ->  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  Func  y )
)  =  ( Hom  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } ) )
1813, 17mp1i 13 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) )  =  ( Hom  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } ) )
1910, 18eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x 
Func  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   {ctp 3976   <.cop 3978    X. cxp 4821   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280   2ndc2nd 6783   1c1 9523   5c5 10629  ;cdc 11019   ndxcnx 14838   Basecbs 14841   Hom chom 14920  compcco 14921    Func cfunc 15467    o.func ccofu 15469  CatCatccatc 15697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-hom 14933  df-cco 14934  df-catc 15698
This theorem is referenced by:  catchom  15702  catccofval  15703
  Copyright terms: Public domain W3C validator