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Theorem catccatid 15058
Description: Lemma for catccat 15060. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catccatid.c  |-  C  =  (CatCat `  U )
catccatid.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
catccatid  |-  ( U  e.  V  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C )  =  ( x  e.  B  |->  (idfunc `  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, C    x, U    x, V

Proof of Theorem catccatid
Dummy variables  f 
g  h  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catccatid.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
21a1i 11 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  B  =  ( Base `  C
) )
3 eqidd 2451 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C
) )
4 eqidd 2451 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  (comp `  C )  =  (comp `  C ) )
5 catccatid.c . . . 4  |-  C  =  (CatCat `  U )
6 fvex 5785 . . . 4  |-  (CatCat `  U )  e.  _V
75, 6eqeltri 2532 . . 3  |-  C  e. 
_V
87a1i 11 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  _V )
9 biid 236 . 2  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) )  <->  ( (
w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C ) x )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  h  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )
10 id 22 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  V )
115, 1, 10catcbas 15053 . . . . . 6  |-  ( U  e.  V  ->  B  =  ( U  i^i  Cat ) )
12 inss2 3655 . . . . . 6  |-  ( U  i^i  Cat )  C_  Cat
1311, 12syl6eqss 3490 . . . . 5  |-  ( U  e.  V  ->  B  C_ 
Cat )
1413sselda 3440 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  Cat )
15 eqid 2450 . . . . 5  |-  (idfunc `  x
)  =  (idfunc `  x
)
1615idfucl 14879 . . . 4  |-  ( x  e.  Cat  ->  (idfunc `  x
)  e.  ( x 
Func  x ) )
1714, 16syl 16 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  (idfunc `  x )  e.  ( x  Func  x )
)
18 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  U  e.  V )
19 eqid 2450 . . . 4  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
20 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
215, 1, 18, 19, 20, 20catchom 15055 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  ( x ( Hom  `  C ) x )  =  ( x  Func  x ) )
2217, 21eleqtrrd 2539 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  (idfunc `  x )  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )
23 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  U  e.  V )
24 eqid 2450 . . . 4  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
25 simpr1l 1045 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  w  e.  B )
26 simpr1r 1046 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  x  e.  B )
27 simpr31 1078 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x ) )
285, 1, 23, 19, 25, 26catchom 15055 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( w ( Hom  `  C ) x )  =  ( w  Func  x ) )
2927, 28eleqtrd 2538 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
f  e.  ( w 
Func  x ) )
3026, 17syldan 470 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
(idfunc `  x )  e.  ( x  Func  x )
)
315, 1, 23, 24, 25, 26, 26, 29, 30catcco 15057 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (idfunc `  x ) ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  ( (idfunc `  x )  o.func  f )
)
3229, 15cofulid 14888 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (idfunc `  x )  o.func  f )  =  f )
3331, 32eqtrd 2490 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (idfunc `  x ) ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f )
34 simpr2l 1047 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
y  e.  B )
35 simpr32 1079 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y ) )
365, 1, 23, 19, 26, 34catchom 15055 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( x ( Hom  `  C ) y )  =  ( x  Func  y ) )
3735, 36eleqtrd 2538 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
g  e.  ( x 
Func  y ) )
385, 1, 23, 24, 26, 26, 34, 30, 37catcco 15057 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) (idfunc `  x ) )  =  ( g  o.func  (idfunc `  x ) ) )
3937, 15cofurid 14889 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  o.func  (idfunc `  x ) )  =  g )
4038, 39eqtrd 2490 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) (idfunc `  x ) )  =  g )
4129, 37cofucl 14886 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  o.func  f )  e.  ( w  Func  y
) )
425, 1, 23, 24, 25, 26, 34, 29, 37catcco 15057 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) y ) f )  =  ( g  o.func  f ) )
435, 1, 23, 19, 25, 34catchom 15055 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( w ( Hom  `  C ) y )  =  ( w  Func  y ) )
4441, 42, 433eltr4d 2551 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) y ) f )  e.  ( w ( Hom  `  C
) y ) )
45 simpr33 1080 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) )
46 simpr2r 1048 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
z  e.  B )
475, 1, 23, 19, 34, 46catchom 15055 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( y ( Hom  `  C ) z )  =  ( y  Func  z ) )
4845, 47eleqtrd 2538 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h  e.  ( y  Func  z ) )
4929, 37, 48cofuass 14887 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h  o.func  g )  o.func  f )  =  ( h  o.func  ( g  o.func  f )
) )
5037, 48cofucl 14886 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h  o.func  g )  e.  ( x  Func  z
) )
515, 1, 23, 24, 25, 26, 46, 29, 50catcco 15057 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h  o.func  g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C
) z ) f )  =  ( ( h  o.func  g )  o.func  f )
)
525, 1, 23, 24, 25, 34, 46, 41, 48catcco 15057 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g  o.func  f ) )  =  ( h  o.func  ( g  o.func  f ) ) )
5349, 51, 523eqtr4d 2500 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h  o.func  g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C
) z ) f )  =  ( h ( <. w ,  y
>. (comp `  C )
z ) ( g  o.func  f ) ) )
545, 1, 23, 24, 26, 34, 46, 37, 48catcco 15057 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g )  =  ( h  o.func  g ) )
5554oveq1d 6191 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C )
z ) f )  =  ( ( h  o.func  g ) ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) z ) f ) )
5642oveq2d 6192 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g ( <. w ,  x >. (comp `  C )
y ) f ) )  =  ( h ( <. w ,  y
>. (comp `  C )
z ) ( g  o.func  f ) ) )
5753, 55, 563eqtr4d 2500 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C )
z ) f )  =  ( h (
<. w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g ( <. w ,  x >. (comp `  C )
y ) f ) ) )
582, 3, 4, 8, 9, 22, 33, 40, 44, 57iscatd2 14707 1  |-  ( U  e.  V  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C )  =  ( x  e.  B  |->  (idfunc `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757   _Vcvv 3054    i^i cin 3411   <.cop 3967    |-> cmpt 4434   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   Basecbs 14262   Hom chom 14337  compcco 14338   Catccat 14690   Idccid 14691    Func cfunc 14852  idfunccidfu 14853    o.func ccofu 14854  CatCatccatc 15050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-ixp 7350  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-fz 11525  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-hom 14350  df-cco 14351  df-cat 14694  df-cid 14695  df-func 14856  df-idfu 14857  df-cofu 14858  df-catc 15051
This theorem is referenced by:  catcid  15059  catccat  15060
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