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Theorem catccatid 15283
Description: Lemma for catccat 15285. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catccatid.c  |-  C  =  (CatCat `  U )
catccatid.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
catccatid  |-  ( U  e.  V  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C )  =  ( x  e.  B  |->  (idfunc `  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, C    x, U    x, V

Proof of Theorem catccatid
Dummy variables  f 
g  h  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catccatid.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
21a1i 11 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  B  =  ( Base `  C
) )
3 eqidd 2468 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C
) )
4 eqidd 2468 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  (comp `  C )  =  (comp `  C ) )
5 catccatid.c . . . 4  |-  C  =  (CatCat `  U )
6 fvex 5874 . . . 4  |-  (CatCat `  U )  e.  _V
75, 6eqeltri 2551 . . 3  |-  C  e. 
_V
87a1i 11 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  _V )
9 biid 236 . 2  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) )  <->  ( (
w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C ) x )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  h  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )
10 id 22 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  V )
115, 1, 10catcbas 15278 . . . . . 6  |-  ( U  e.  V  ->  B  =  ( U  i^i  Cat ) )
12 inss2 3719 . . . . . 6  |-  ( U  i^i  Cat )  C_  Cat
1311, 12syl6eqss 3554 . . . . 5  |-  ( U  e.  V  ->  B  C_ 
Cat )
1413sselda 3504 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  Cat )
15 eqid 2467 . . . . 5  |-  (idfunc `  x
)  =  (idfunc `  x
)
1615idfucl 15104 . . . 4  |-  ( x  e.  Cat  ->  (idfunc `  x
)  e.  ( x 
Func  x ) )
1714, 16syl 16 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  (idfunc `  x )  e.  ( x  Func  x )
)
18 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  U  e.  V )
19 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
20 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
215, 1, 18, 19, 20, 20catchom 15280 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  ( x ( Hom  `  C ) x )  =  ( x  Func  x ) )
2217, 21eleqtrrd 2558 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  (idfunc `  x )  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )
23 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  U  e.  V )
24 eqid 2467 . . . 4  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
25 simpr1l 1053 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  w  e.  B )
26 simpr1r 1054 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  x  e.  B )
27 simpr31 1086 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x ) )
285, 1, 23, 19, 25, 26catchom 15280 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( w ( Hom  `  C ) x )  =  ( w  Func  x ) )
2927, 28eleqtrd 2557 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
f  e.  ( w 
Func  x ) )
3026, 17syldan 470 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
(idfunc `  x )  e.  ( x  Func  x )
)
315, 1, 23, 24, 25, 26, 26, 29, 30catcco 15282 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (idfunc `  x ) ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  ( (idfunc `  x )  o.func  f )
)
3229, 15cofulid 15113 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (idfunc `  x )  o.func  f )  =  f )
3331, 32eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (idfunc `  x ) ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f )
34 simpr2l 1055 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
y  e.  B )
35 simpr32 1087 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y ) )
365, 1, 23, 19, 26, 34catchom 15280 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( x ( Hom  `  C ) y )  =  ( x  Func  y ) )
3735, 36eleqtrd 2557 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
g  e.  ( x 
Func  y ) )
385, 1, 23, 24, 26, 26, 34, 30, 37catcco 15282 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) (idfunc `  x ) )  =  ( g  o.func  (idfunc `  x ) ) )
3937, 15cofurid 15114 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  o.func  (idfunc `  x ) )  =  g )
4038, 39eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) (idfunc `  x ) )  =  g )
4129, 37cofucl 15111 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  o.func  f )  e.  ( w  Func  y
) )
425, 1, 23, 24, 25, 26, 34, 29, 37catcco 15282 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) y ) f )  =  ( g  o.func  f ) )
435, 1, 23, 19, 25, 34catchom 15280 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( w ( Hom  `  C ) y )  =  ( w  Func  y ) )
4441, 42, 433eltr4d 2570 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) y ) f )  e.  ( w ( Hom  `  C
) y ) )
45 simpr33 1088 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) )
46 simpr2r 1056 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
z  e.  B )
475, 1, 23, 19, 34, 46catchom 15280 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( y ( Hom  `  C ) z )  =  ( y  Func  z ) )
4845, 47eleqtrd 2557 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h  e.  ( y  Func  z ) )
4929, 37, 48cofuass 15112 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h  o.func  g )  o.func  f )  =  ( h  o.func  ( g  o.func  f )
) )
5037, 48cofucl 15111 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h  o.func  g )  e.  ( x  Func  z
) )
515, 1, 23, 24, 25, 26, 46, 29, 50catcco 15282 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h  o.func  g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C
) z ) f )  =  ( ( h  o.func  g )  o.func  f )
)
525, 1, 23, 24, 25, 34, 46, 41, 48catcco 15282 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g  o.func  f ) )  =  ( h  o.func  ( g  o.func  f ) ) )
5349, 51, 523eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h  o.func  g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C
) z ) f )  =  ( h ( <. w ,  y
>. (comp `  C )
z ) ( g  o.func  f ) ) )
545, 1, 23, 24, 26, 34, 46, 37, 48catcco 15282 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g )  =  ( h  o.func  g ) )
5554oveq1d 6297 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C )
z ) f )  =  ( ( h  o.func  g ) ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) z ) f ) )
5642oveq2d 6298 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g ( <. w ,  x >. (comp `  C )
y ) f ) )  =  ( h ( <. w ,  y
>. (comp `  C )
z ) ( g  o.func  f ) ) )
5753, 55, 563eqtr4d 2518 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C )
z ) f )  =  ( h (
<. w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g ( <. w ,  x >. (comp `  C )
y ) f ) ) )
582, 3, 4, 8, 9, 22, 33, 40, 44, 57iscatd2 14932 1  |-  ( U  e.  V  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C )  =  ( x  e.  B  |->  (idfunc `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    i^i cin 3475   <.cop 4033    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   Hom chom 14562  compcco 14563   Catccat 14915   Idccid 14916    Func cfunc 15077  idfunccidfu 15078    o.func ccofu 15079  CatCatccatc 15275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-hom 14575  df-cco 14576  df-cat 14919  df-cid 14920  df-func 15081  df-idfu 15082  df-cofu 15083  df-catc 15276
This theorem is referenced by:  catcid  15284  catccat  15285
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