Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgsigalem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem carsgsigalem 29220
Description: Lemma for the following theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
carsgval.2  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
carsgsiga.2  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
Assertion
Ref Expression
carsgsigalem  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  -> 
( M `  (
e  u.  f ) )  <_  ( ( M `  e ) +e ( M `
 f ) ) )
Distinct variable groups:    e, M    e, O    ph, e, f, x, y    f, M, x, y    f, O, x, y    ph, f, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y, e, f)

Proof of Theorem carsgsigalem
StepHypRef Expression
1 unidm 3568 . . . . 5  |-  ( e  u.  e )  =  e
2 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =  f )  ->  e  =  f )
32uneq2d 3579 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =  f )  ->  ( e  u.  e
)  =  ( e  u.  f ) )
41, 3syl5reqr 2520 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =  f )  ->  ( e  u.  f
)  =  e )
54fveq2d 5883 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =  f )  ->  ( M `  (
e  u.  f ) )  =  ( M `
 e ) )
6 iccssxr 11742 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
7 simp1 1030 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  ->  ph )
8 carsgval.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
97, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
10 simp2 1031 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  -> 
e  e.  ~P O
)
119, 10ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  -> 
( M `  e
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
126, 11sseldi 3416 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  -> 
( M `  e
)  e.  RR* )
1312adantr 472 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =  f )  ->  ( M `  e
)  e.  RR* )
142fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =  f )  ->  ( M `  e
)  =  ( M `
 f ) )
1514, 13eqeltrrd 2550 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =  f )  ->  ( M `  f
)  e.  RR* )
16 simp3 1032 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  -> 
f  e.  ~P O
)
179, 16ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  -> 
( M `  f
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1817adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =  f )  ->  ( M `  f
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
19 elxrge0 11767 . . . . . 6  |-  ( ( M `  f )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( M `
 f )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( M `  f ) ) )
2019simprbi 471 . . . . 5  |-  ( ( M `  f )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( M `  f
) )
2118, 20syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =  f )  ->  0  <_  ( M `  f ) )
22 xraddge02 28411 . . . . 5  |-  ( ( ( M `  e
)  e.  RR*  /\  ( M `  f )  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( M `  f )  ->  ( M `  e )  <_  ( ( M `  e ) +e
( M `  f
) ) ) )
2322imp 436 . . . 4  |-  ( ( ( ( M `  e )  e.  RR*  /\  ( M `  f
)  e.  RR* )  /\  0  <_  ( M `
 f ) )  ->  ( M `  e )  <_  (
( M `  e
) +e ( M `  f ) ) )
2413, 15, 21, 23syl21anc 1291 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =  f )  ->  ( M `  e
)  <_  ( ( M `  e ) +e ( M `
 f ) ) )
255, 24eqbrtrd 4416 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =  f )  ->  ( M `  (
e  u.  f ) )  <_  ( ( M `  e ) +e ( M `
 f ) ) )
26 uniprg 4204 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  ->  U. {
e ,  f }  =  ( e  u.  f ) )
2726fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( ( e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  ->  ( M `  U. { e ,  f } )  =  ( M `  ( e  u.  f
) ) )
28273adant1 1048 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  -> 
( M `  U. { e ,  f } )  =  ( M `  ( e  u.  f ) ) )
29 prct 28371 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  ->  { e ,  f }  ~<_  om )
30293adant1 1048 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  ->  { e ,  f }  ~<_  om )
31 prssi 4119 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  ->  { e ,  f }  C_  ~P O )
32313adant1 1048 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  ->  { e ,  f }  C_  ~P O
)
33 prex 4642 . . . . . . 7  |-  { e ,  f }  e.  _V
34 breq1 4398 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { e ,  f }  ->  (
x  ~<_  om  <->  { e ,  f }  ~<_  om ) )
35 sseq1 3439 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { e ,  f }  ->  (
x  C_  ~P O  <->  { e ,  f } 
C_  ~P O ) )
3634, 353anbi23d 1368 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { e ,  f }  ->  (
( ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  <->  ( ph  /\ 
{ e ,  f }  ~<_  om  /\  { e ,  f }  C_  ~P O ) ) )
37 unieq 4198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { e ,  f }  ->  U. x  =  U. { e ,  f } )
3837fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { e ,  f }  ->  ( M `  U. x )  =  ( M `  U. { e ,  f } ) )
39 esumeq1 28929 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { e ,  f }  -> Σ* y  e.  x
( M `  y
)  = Σ* y  e.  {
e ,  f }  ( M `  y
) )
4038, 39breq12d 4408 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { e ,  f }  ->  (
( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
)  <->  ( M `  U. { e ,  f } )  <_ Σ* y  e.  {
e ,  f }  ( M `  y
) ) )
4136, 40imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { e ,  f }  ->  (
( ( ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_ 
~P O )  -> 
( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )  <->  ( ( ph  /\  { e ,  f }  ~<_  om  /\  { e ,  f } 
C_  ~P O )  -> 
( M `  U. { e ,  f } )  <_ Σ* y  e.  {
e ,  f }  ( M `  y
) ) ) )
42 carsgsiga.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
4341, 42vtoclg 3093 . . . . . . 7  |-  ( { e ,  f }  e.  _V  ->  (
( ph  /\  { e ,  f }  ~<_  om  /\  { e ,  f } 
C_  ~P O )  -> 
( M `  U. { e ,  f } )  <_ Σ* y  e.  {
e ,  f }  ( M `  y
) ) )
4433, 43ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { e ,  f }  ~<_  om  /\  { e ,  f } 
C_  ~P O )  -> 
( M `  U. { e ,  f } )  <_ Σ* y  e.  {
e ,  f }  ( M `  y
) )
457, 30, 32, 44syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  -> 
( M `  U. { e ,  f } )  <_ Σ* y  e.  {
e ,  f }  ( M `  y
) )
4628, 45eqbrtrrd 4418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  -> 
( M `  (
e  u.  f ) )  <_ Σ* y  e.  {
e ,  f }  ( M `  y
) )
4746adantr 472 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =/=  f )  -> 
( M `  (
e  u.  f ) )  <_ Σ* y  e.  {
e ,  f }  ( M `  y
) )
48 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  y  =  e )  ->  y  =  e )
4948fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  y  =  e )  ->  ( M `  y
)  =  ( M `
 e ) )
5049adantlr 729 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =/=  f )  /\  y  =  e )  -> 
( M `  y
)  =  ( M `
 e ) )
51 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  y  =  f )  ->  y  =  f )
5251fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  y  =  f )  ->  ( M `  y
)  =  ( M `
 f ) )
5352adantlr 729 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =/=  f )  /\  y  =  f )  -> 
( M `  y
)  =  ( M `
 f ) )
5410adantr 472 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =/=  f )  -> 
e  e.  ~P O
)
5516adantr 472 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =/=  f )  -> 
f  e.  ~P O
)
5611adantr 472 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =/=  f )  -> 
( M `  e
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5717adantr 472 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =/=  f )  -> 
( M `  f
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
58 simpr 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =/=  f )  -> 
e  =/=  f )
5950, 53, 54, 55, 56, 57, 58esumpr 28961 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =/=  f )  -> Σ* y  e.  { e ,  f }  ( M `  y )  =  ( ( M `  e
) +e ( M `  f ) ) )
6047, 59breqtrd 4420 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  /\  e  =/=  f )  -> 
( M `  (
e  u.  f ) )  <_  ( ( M `  e ) +e ( M `
 f ) ) )
6125, 60pm2.61dane 2730 1  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  -> 
( M `  (
e  u.  f ) )  <_  ( ( M `  e ) +e ( M `
 f ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031    u. cun 3388    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {cpr 3961   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711    ~<_ cdom 7585   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    <_ cle 9694   +ecxad 11430   [,]cicc 11663  Σ*cesum 28922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-plusf 16565  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-subrg 18084  df-abv 18123  df-lmod 18171  df-scaf 18172  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tmd 21165  df-tgp 21166  df-tsms 21219  df-trg 21252  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nrg 21678  df-nlm 21679  df-ii 21987  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-esum 28923
This theorem is referenced by:  fiunelcarsg  29221  carsgclctunlem3  29225
  Copyright terms: Public domain W3C validator