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Theorem carsgclctunlem3 29145
Description: Lemma for carsgclctun 29146. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
carsgval.2  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
carsgsiga.2  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
carsgsiga.3  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
carsgclctun.1  |-  ( ph  ->  A  ~<_  om )
carsgclctun.2  |-  ( ph  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M
) )
carsgclctunlem3.1  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem3  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  <_  ( M `  E )
)
Distinct variable groups:    x, A, y    x, E, y    x, M, y    x, O, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem carsgclctunlem3
Dummy variables  e 
f  k  n  z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11714 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2 carsgval.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
3 carsgclctunlem3.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
43elpwincl1 28147 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  U. A )  e.  ~P O )
52, 4ffvelrnd 6021 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
61, 5sseldi 3429 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. A ) )  e.  RR* )
73elpwdifcl 28148 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  \  U. A )  e.  ~P O )
82, 7ffvelrnd 6021 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  \  U. A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
91, 8sseldi 3429 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  \  U. A ) )  e.  RR* )
106, 9xaddcld 11584 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  e.  RR* )
1110adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M `  E )  = +oo )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) )  e. 
RR* )
12 pnfge 11429 . . . 4  |-  ( ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  e.  RR*  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_ +oo )
1311, 12syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M `  E )  = +oo )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) )  <_ +oo )
14 simpr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M `  E )  = +oo )  ->  ( M `  E )  = +oo )
1513, 14breqtrrd 4428 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M `  E )  = +oo )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) )  <_ 
( M `  E
) )
16 unieq 4205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  U. (/) )
17 uni0 4224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. (/)  =  (/)
1816, 17syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  (/) )
1918ineq2d 3633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E  i^i  U. A )  =  ( E  i^i  (/) ) )
20 in0 3759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  i^i  (/) )  =  (/)
2119, 20syl6eq 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E  i^i  U. A )  =  (/) )
2221fveq2d 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  ( M `
 ( E  i^i  U. A ) )  =  ( M `  (/) ) )
2318difeq2d 3550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E 
\  U. A )  =  ( E  \  (/) ) )
24 dif0 3836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E 
\  (/) )  =  E
2523, 24syl6eq 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E 
\  U. A )  =  E )
2625fveq2d 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  ( M `
 ( E  \  U. A ) )  =  ( M `  E
) )
2722, 26oveq12d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  =  ( ( M `  (/) ) +e ( M `  E ) ) )
2827adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U. A ) ) )  =  ( ( M `
 (/) ) +e
( M `  E
) ) )
29 carsgsiga.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
3029adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
3130oveq1d 6303 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( ( M `  (/) ) +e ( M `  E ) )  =  ( 0 +e
( M `  E
) ) )
322, 3ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
331, 32sseldi 3429 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  e.  RR* )
3433adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( M `  E )  e.  RR* )
35 xaddid2 11530 . . . . . . . 8  |-  ( ( M `  E )  e.  RR*  ->  ( 0 +e ( M `
 E ) )  =  ( M `  E ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( 0 +e ( M `
 E ) )  =  ( M `  E ) )
3728, 31, 363eqtrd 2488 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U. A ) ) )  =  ( M `  E ) )
3837, 34eqeltrd 2528 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U. A ) ) )  e.  RR* )
39 xeqlelt 28351 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  e.  RR*  /\  ( M `  E
)  e.  RR* )  ->  ( ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) )  =  ( M `  E
)  <->  ( ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E )  /\  -.  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  <  ( M `  E )
) ) )
4038, 34, 39syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  =  ( M `
 E )  <->  ( (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E )  /\  -.  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  <  ( M `  E )
) ) )
4137, 40mpbid 214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E )  /\  -.  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  <  ( M `  E )
) )
4241simpld 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U. A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
4342adantlr 720 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =  (/) )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
44 carsgclctun.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M
) )
45 fvex 5873 . . . . . . . . 9  |-  (toCaraSiga `  M
)  e.  _V
46 ssexg 4548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  (toCaraSiga `  M
)  /\  (toCaraSiga `  M
)  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
4745, 46mpan2 676 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  (toCaraSiga `  M )  ->  A  e.  _V )
48 0sdomg 7698 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
4944, 47, 483syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
5049biimpar 488 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  (/) )  ->  (/)  ~<  A )
5150adantlr 720 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  ->  (/)  ~<  A )
52 carsgclctun.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  ~<_  om )
53 nnenom 12190 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
54 ensymb 7614 . . . . . . . 8  |-  ( NN 
~~  om  <->  om  ~~  NN )
5553, 54mpbi 212 . . . . . . 7  |-  om  ~~  NN
56 domentr 7625 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  A  ~<_  NN )
5752, 55, 56sylancl 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  ~<_  NN )
5857ad2antrr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  ~<_  NN )
59 fodomr 7720 . . . . 5  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
6051, 58, 59syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
61 fveq2 5863 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
6261iundisj 22494 . . . . . . . . 9  |-  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U_ n  e.  NN  (
( f `  n
)  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k
) )
63 fofn 5793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
f  Fn  NN )
64 fniunfv 6150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U. ran  f )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n
)  =  U. ran  f )
66 forn 5794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  ran  f  =  A
)
6766unieqd 4207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U. ran  f  =  U. A )
6865, 67eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n
)  =  U. A
)
6968adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U. A )
7062, 69syl5eqr 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) )  =  U. A
)
7170ineq2d 3633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( E  i^i  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k ) ) )  =  ( E  i^i  U. A ) )
7271fveq2d 5867 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( M `  ( E  i^i  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k ) ) ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) )
7370difeq2d 3550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( E  \  U_ n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) ) )  =  ( E  \  U. A
) )
7473fveq2d 5867 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( M `  ( E  \ 
U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k ) ) ) )  =  ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )
7572, 74oveq12d 6306 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k ) ) ) ) +e
( M `  ( E  \  U_ n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) ) ) ) )  =  ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) ) )
76 carsgval.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
7776ad3antrrr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  O  e.  V )
782ad3antrrr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
7929ad3antrrr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
80 carsgsiga.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
81803adant1r 1260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x ( M `  y ) )
82813adant1r 1260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x ( M `  y ) )
83823adant1r 1260 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
84 carsgsiga.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
85843adant1r 1260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  x  C_  y  /\  y  e. 
~P O )  -> 
( M `  x
)  <_  ( M `  y ) )
86853adant1r 1260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  C_  y  /\  y  e. 
~P O )  -> 
( M `  x
)  <_  ( M `  y ) )
87863adant1r 1260 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
8861iundisj2 22495 . . . . . . 7  |- Disj  n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) )
8988a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  -> Disj  n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) ) )
9077adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  O  e.  V
)
9178adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  M : ~P O
--> ( 0 [,] +oo ) )
9244ad4antr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M ) )
93 fof 5791 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
f : NN --> A )
9493ad2antlr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  f : NN --> A )
95 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
9694, 95ffvelrnd 6021 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `  n )  e.  A
)
9792, 96sseldd 3432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `  n )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
9879adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
99833adant1r 1260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
10090, 91, 98, 99carsgsigalem 29140 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  e  e.  ~P O  /\  g  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( e  u.  g ) )  <_ 
( ( M `  e ) +e
( M `  g
) ) )
10193ad3antlr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  f : NN --> A )
102 fzossnn 11961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1..^ n )  C_  NN
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1..^ n )  C_  NN )
104103sselda 3431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  k  e.  NN )
105101, 104ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  ( f `  k )  e.  A
)
106105ralrimiva 2801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k )  e.  A )
107 dfiun2g 4309 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k )  e.  A  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k
)  =  U. {
z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `
 k ) } )
108106, 107syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k )  =  U. { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `
 k ) } )
109 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `  k ) )  =  ( k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `  k ) )
110109rnmpt 5079 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `
 k ) )  =  { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `  k ) }
111 fzofi 12184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1..^ n )  e.  Fin
112 mptfi 7870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1..^ n )  e. 
Fin  ->  ( k  e.  ( 1..^ n ) 
|->  ( f `  k
) )  e.  Fin )
113 rnfi 7854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `
 k ) )  e.  Fin  ->  ran  ( k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `  k ) )  e.  Fin )
114111, 112, 113mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `
 k ) )  e.  Fin
115110, 114eqeltrri 2525 . . . . . . . . . 10  |-  { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `
 k ) }  e.  Fin
116115a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `  k ) }  e.  Fin )
11792adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M ) )
118117, 105sseldd 3432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  ( f `  k )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
119118ralrimiva 2801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
120109rnmptss 6050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k )  e.  (toCaraSiga `  M )  ->  ran  ( k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `  k ) )  C_  (toCaraSiga `  M
) )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( k  e.  ( 1..^ n ) 
|->  ( f `  k
) )  C_  (toCaraSiga `  M ) )
122110, 121syl5eqssr 3476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `  k ) }  C_  (toCaraSiga `
 M ) )
12390, 91, 98, 99, 116, 122fiunelcarsg 29141 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  U. { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `  k ) }  e.  (toCaraSiga `
 M ) )
124108, 123eqeltrd 2528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
12590, 91, 97, 100, 124difelcarsg2 29138 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) )  e.  (toCaraSiga `  M
) )
1263ad3antrrr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  E  e.  ~P O )
127 simpllr 768 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( M `  E )  =/= +oo )
12877, 78, 79, 83, 87, 89, 125, 126, 127carsgclctunlem2 29144 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k ) ) ) ) +e
( M `  ( E  \  U_ n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) ) ) ) )  <_  ( M `  E ) )
12975, 128eqbrtrrd 4424 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
13060, 129exlimddv 1780 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
13143, 130pm2.61dane 2710 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) )  <_ 
( M `  E
) )
13215, 131pm2.61dane 2710 1  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  <_  ( M `  E )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443   E.wex 1662    e. wcel 1886   {cab 2436    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044    \ cdif 3400    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   U.cuni 4197   U_ciun 4277  Disj wdisj 4372   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   ran crn 4834    Fn wfn 5576   -->wf 5577   -onto->wfo 5579   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   omcom 6689    ~~ cen 7563    ~<_ cdom 7564    ~< csdm 7565   Fincfn 7566   0cc0 9536   1c1 9537   +oocpnf 9669   RR*cxr 9671    < clt 9672    <_ cle 9673   NNcn 10606   +ecxad 11404   [,]cicc 11635  ..^cfzo 11912  Σ*cesum 28841  toCaraSigaccarsg 29126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-ac2 8890  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-ac 8544  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-ordt 15392  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-ps 16439  df-tsr 16440  df-plusf 16480  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-subrg 17999  df-abv 18038  df-lmod 18086  df-scaf 18087  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-tmd 21080  df-tgp 21081  df-tsms 21134  df-trg 21167  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-nm 21590  df-ngp 21591  df-nrg 21593  df-nlm 21594  df-ii 21902  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-log 23499  df-esum 28842  df-carsg 29127
This theorem is referenced by:  carsgclctun  29146
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