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Theorem carsgclctunlem3 28447
Description: Lemma for carsgclctun 28448. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
carsgval.2  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
carsgsiga.2  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
carsgsiga.3  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
carsgclctun.1  |-  ( ph  ->  A  ~<_  om )
carsgclctun.2  |-  ( ph  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M
) )
carsgclctunlem3.1  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem3  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  <_  ( M `  E )
)
Distinct variable groups:    x, A, y    x, E, y    x, M, y    x, O, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem carsgclctunlem3
Dummy variables  e 
f  k  n  z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11528 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2 carsgval.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
3 carsgclctunlem3.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
43elpwincl1 27539 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  U. A )  e.  ~P O )
52, 4ffvelrnd 5934 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
61, 5sseldi 3415 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. A ) )  e.  RR* )
73elpwdifcl 27540 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  \  U. A )  e.  ~P O )
82, 7ffvelrnd 5934 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  \  U. A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
91, 8sseldi 3415 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  \  U. A ) )  e.  RR* )
106, 9xaddcld 11414 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  e.  RR* )
1110adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M `  E )  = +oo )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) )  e. 
RR* )
12 pnfge 11260 . . . 4  |-  ( ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  e.  RR*  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_ +oo )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M `  E )  = +oo )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) )  <_ +oo )
14 simpr 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M `  E )  = +oo )  ->  ( M `  E )  = +oo )
1513, 14breqtrrd 4393 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M `  E )  = +oo )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) )  <_ 
( M `  E
) )
16 unieq 4171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  U. (/) )
17 uni0 4190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. (/)  =  (/)
1816, 17syl6eq 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  (/) )
1918ineq2d 3614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E  i^i  U. A )  =  ( E  i^i  (/) ) )
20 in0 3738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  i^i  (/) )  =  (/)
2119, 20syl6eq 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E  i^i  U. A )  =  (/) )
2221fveq2d 5778 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  ( M `
 ( E  i^i  U. A ) )  =  ( M `  (/) ) )
2318difeq2d 3536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E 
\  U. A )  =  ( E  \  (/) ) )
24 dif0 3814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E 
\  (/) )  =  E
2523, 24syl6eq 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E 
\  U. A )  =  E )
2625fveq2d 5778 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  ( M `
 ( E  \  U. A ) )  =  ( M `  E
) )
2722, 26oveq12d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  =  ( ( M `  (/) ) +e ( M `  E ) ) )
2827adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U. A ) ) )  =  ( ( M `
 (/) ) +e
( M `  E
) ) )
29 carsgsiga.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
3029adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
3130oveq1d 6211 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( ( M `  (/) ) +e ( M `  E ) )  =  ( 0 +e
( M `  E
) ) )
322, 3ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
331, 32sseldi 3415 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  e.  RR* )
3433adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( M `  E )  e.  RR* )
35 xaddid2 11360 . . . . . . . 8  |-  ( ( M `  E )  e.  RR*  ->  ( 0 +e ( M `
 E ) )  =  ( M `  E ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( 0 +e ( M `
 E ) )  =  ( M `  E ) )
3728, 31, 363eqtrd 2427 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U. A ) ) )  =  ( M `  E ) )
3837, 34eqeltrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U. A ) ) )  e.  RR* )
39 xeqlelt 27740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  e.  RR*  /\  ( M `  E
)  e.  RR* )  ->  ( ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) )  =  ( M `  E
)  <->  ( ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E )  /\  -.  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  <  ( M `  E )
) ) )
4038, 34, 39syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  =  ( M `
 E )  <->  ( (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E )  /\  -.  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  <  ( M `  E )
) ) )
4137, 40mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E )  /\  -.  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  <  ( M `  E )
) )
4241simpld 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U. A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
4342adantlr 712 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =  (/) )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
44 carsgclctun.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M
) )
45 fvex 5784 . . . . . . . . 9  |-  (toCaraSiga `  M
)  e.  _V
46 ssexg 4511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  (toCaraSiga `  M
)  /\  (toCaraSiga `  M
)  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
4745, 46mpan2 669 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  (toCaraSiga `  M )  ->  A  e.  _V )
48 0sdomg 7565 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
4944, 47, 483syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
5049biimpar 483 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  (/) )  ->  (/)  ~<  A )
5150adantlr 712 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  ->  (/)  ~<  A )
52 carsgclctun.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  ~<_  om )
53 nnenom 11993 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
54 ensymb 7482 . . . . . . . 8  |-  ( NN 
~~  om  <->  om  ~~  NN )
5553, 54mpbi 208 . . . . . . 7  |-  om  ~~  NN
56 domentr 7493 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  A  ~<_  NN )
5752, 55, 56sylancl 660 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  ~<_  NN )
5857ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  ~<_  NN )
59 fodomr 7587 . . . . 5  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
6051, 58, 59syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
61 fveq2 5774 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
6261iundisj 22043 . . . . . . . . 9  |-  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U_ n  e.  NN  (
( f `  n
)  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k
) )
63 fofn 5705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
f  Fn  NN )
64 fniunfv 6060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U. ran  f )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n
)  =  U. ran  f )
66 forn 5706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  ran  f  =  A
)
6766unieqd 4173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U. ran  f  =  U. A )
6865, 67eqtrd 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n
)  =  U. A
)
6968adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U. A )
7062, 69syl5eqr 2437 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) )  =  U. A
)
7170ineq2d 3614 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( E  i^i  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k ) ) )  =  ( E  i^i  U. A ) )
7271fveq2d 5778 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( M `  ( E  i^i  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k ) ) ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) )
7370difeq2d 3536 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( E  \  U_ n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) ) )  =  ( E  \  U. A
) )
7473fveq2d 5778 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( M `  ( E  \ 
U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k ) ) ) )  =  ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )
7572, 74oveq12d 6214 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k ) ) ) ) +e
( M `  ( E  \  U_ n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) ) ) ) )  =  ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) ) )
76 carsgval.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
7776ad3antrrr 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  O  e.  V )
782ad3antrrr 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
7929ad3antrrr 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
80 carsgsiga.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
81803adant1r 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x ( M `  y ) )
82813adant1r 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x ( M `  y ) )
83823adant1r 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
84 carsgsiga.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
85843adant1r 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  x  C_  y  /\  y  e. 
~P O )  -> 
( M `  x
)  <_  ( M `  y ) )
86853adant1r 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  C_  y  /\  y  e. 
~P O )  -> 
( M `  x
)  <_  ( M `  y ) )
87863adant1r 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
8861iundisj2 22044 . . . . . . 7  |- Disj  n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) )
8988a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  -> Disj  n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) ) )
9077adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  O  e.  V
)
9178adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  M : ~P O
--> ( 0 [,] +oo ) )
9244ad4antr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M ) )
93 fof 5703 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
f : NN --> A )
9493ad2antlr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  f : NN --> A )
95 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
9694, 95ffvelrnd 5934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `  n )  e.  A
)
9792, 96sseldd 3418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `  n )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
9879adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
99833adant1r 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
10090, 91, 98, 99carsgsigalem 28442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  e  e.  ~P O  /\  g  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( e  u.  g ) )  <_ 
( ( M `  e ) +e
( M `  g
) ) )
10193ad3antlr 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  f : NN --> A )
102 fzossnn 11765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1..^ n )  C_  NN
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1..^ n )  C_  NN )
104103sselda 3417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  k  e.  NN )
105101, 104ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  ( f `  k )  e.  A
)
106105ralrimiva 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k )  e.  A )
107 dfiun2g 4275 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k )  e.  A  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k
)  =  U. {
z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `
 k ) } )
108106, 107syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k )  =  U. { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `
 k ) } )
109 eqid 2382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `  k ) )  =  ( k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `  k ) )
110109rnmpt 5161 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `
 k ) )  =  { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `  k ) }
111 fzofi 11987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1..^ n )  e.  Fin
112 mptfi 7734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1..^ n )  e. 
Fin  ->  ( k  e.  ( 1..^ n ) 
|->  ( f `  k
) )  e.  Fin )
113 rnfi 7720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `
 k ) )  e.  Fin  ->  ran  ( k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `  k ) )  e.  Fin )
114111, 112, 113mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `
 k ) )  e.  Fin
115110, 114eqeltrri 2467 . . . . . . . . . 10  |-  { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `
 k ) }  e.  Fin
116115a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `  k ) }  e.  Fin )
11792adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M ) )
118117, 105sseldd 3418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  ( f `  k )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
119118ralrimiva 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
120109rnmptss 5962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k )  e.  (toCaraSiga `  M )  ->  ran  ( k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `  k ) )  C_  (toCaraSiga `  M
) )
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( k  e.  ( 1..^ n ) 
|->  ( f `  k
) )  C_  (toCaraSiga `  M ) )
122110, 121syl5eqssr 3462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `  k ) }  C_  (toCaraSiga `
 M ) )
12390, 91, 98, 99, 116, 122fiunelcarsg 28443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  U. { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `  k ) }  e.  (toCaraSiga `
 M ) )
124108, 123eqeltrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
12590, 91, 97, 100, 124difelcarsg2 28440 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) )  e.  (toCaraSiga `  M
) )
1263ad3antrrr 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  E  e.  ~P O )
127 simpllr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( M `  E )  =/= +oo )
12877, 78, 79, 83, 87, 89, 125, 126, 127carsgclctunlem2 28446 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k ) ) ) ) +e
( M `  ( E  \  U_ n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) ) ) ) )  <_  ( M `  E ) )
12975, 128eqbrtrrd 4389 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
13060, 129exlimddv 1734 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
13143, 130pm2.61dane 2700 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) )  <_ 
( M `  E
) )
13215, 131pm2.61dane 2700 1  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  <_  ( M `  E )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826   {cab 2367    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ~Pcpw 3927   U.cuni 4163   U_ciun 4243  Disj wdisj 4338   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   ran crn 4914    Fn wfn 5491   -->wf 5492   -onto->wfo 5494   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   omcom 6599    ~~ cen 7432    ~<_ cdom 7433    ~< csdm 7434   Fincfn 7435   0cc0 9403   1c1 9404   +oocpnf 9536   RR*cxr 9538    < clt 9539    <_ cle 9540   NNcn 10452   +ecxad 11237   [,]cicc 11453  ..^cfzo 11717  Σ*cesum 28175  toCaraSigaccarsg 28428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-ac2 8756  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-disj 4339  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-acn 8236  df-ac 8410  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-ef 13805  df-sin 13807  df-cos 13808  df-pi 13810  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-ordt 14908  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-ps 15947  df-tsr 15948  df-plusf 15988  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-subrg 17540  df-abv 17579  df-lmod 17627  df-scaf 17628  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-haus 19902  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-tmd 20656  df-tgp 20657  df-tsms 20710  df-trg 20747  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-nm 21188  df-ngp 21189  df-nrg 21191  df-nlm 21192  df-ii 21466  df-cncf 21467  df-limc 22355  df-dv 22356  df-log 23029  df-esum 28176  df-carsg 28429
This theorem is referenced by:  carsgclctun  28448
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