Theorem carsgclctunlem3 29145

Description: Lemma for carsgclctun 29146. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	|- ( ph -> O e. V )
carsgval.2	|- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1	|- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
carsgsiga.2	|- ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
carsgsiga.3	|- ( ( ph /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
carsgclctun.1	|- ( ph -> A ~<_ om )
carsgclctun.2	|- ( ph -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
carsgclctunlem3.1	|- ( ph -> E e. ~P O )

Assertion

Ref	Expression
carsgclctunlem3	|- ( ph -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, E, y   x, M, y   x, O, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem carsgclctunlem3

Dummy variables e f k n z g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 11714	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
2		carsgval.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
3		carsgclctunlem3.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. ~P O )
4	3	elpwincl1 28147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E i^i U. A ) e. ~P O )
5	2, 4	ffvelrnd 6021	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ` ( E i^i U. A ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
6	1, 5	sseldi 3429	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ` ( E i^i U. A ) ) e. RR* )
7	3	elpwdifcl 28148	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E \ U. A ) e. ~P O )
8	2, 7	ffvelrnd 6021	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ` ( E \ U. A ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
9	1, 8	sseldi 3429	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ` ( E \ U. A ) ) e. RR* )
10	6, 9	xaddcld 11584	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) e. RR* )
11	10	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M ` E ) = +oo ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) e. RR* )
12		pnfge 11429	. . . 4 |- ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) e. RR* -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ +oo )
13	11, 12	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M ` E ) = +oo ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ +oo )
14		simpr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M ` E ) = +oo ) -> ( M ` E ) = +oo )
15	13, 14	breqtrrd 4428	. 2 |- ( ( ph /\ ( M ` E ) = +oo ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
16		unieq 4205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = (/) -> U. A = U. (/) )
17		uni0 4224	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. (/) = (/)
18	16, 17	syl6eq 2500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = (/) -> U. A = (/) )
19	18	ineq2d 3633	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = (/) -> ( E i^i U. A ) = ( E i^i (/) ) )
20		in0 3759	. . . . . . . . . . 11 |- ( E i^i (/) ) = (/)
21	19, 20	syl6eq 2500	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> ( E i^i U. A ) = (/) )
22	21	fveq2d 5867	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> ( M ` ( E i^i U. A ) ) = ( M ` (/) ) )
23	18	difeq2d 3550	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = (/) -> ( E \ U. A ) = ( E \ (/) ) )
24		dif0 3836	. . . . . . . . . . 11 |- ( E \ (/) ) = E
25	23, 24	syl6eq 2500	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> ( E \ U. A ) = E )
26	25	fveq2d 5867	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> ( M ` ( E \ U. A ) ) = ( M ` E ) )
27	22, 26	oveq12d 6306	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) = ( ( M ` (/) ) +e ( M ` E ) ) )
28	27	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) = ( ( M ` (/) ) +e ( M ` E ) ) )
29		carsgsiga.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
30	29	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
31	30	oveq1d 6303	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( M ` (/) ) +e ( M ` E ) ) = ( 0 +e ( M ` E ) ) )
32	2, 3	ffvelrnd 6021	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ` E ) e. ( 0 [,] +oo ) )
33	1, 32	sseldi 3429	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ` E ) e. RR* )
34	33	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( M ` E ) e. RR* )
35		xaddid2 11530	. . . . . . . 8 |- ( ( M ` E ) e. RR* -> ( 0 +e ( M ` E ) ) = ( M ` E ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( 0 +e ( M ` E ) ) = ( M ` E ) )
37	28, 31, 36	3eqtrd 2488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) = ( M ` E ) )
38	37, 34	eqeltrd 2528	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) e. RR* )
39		xeqlelt 28351	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) e. RR* /\ ( M ` E ) e. RR* ) -> ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) = ( M ` E ) <-> ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) /\ -. ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) < ( M ` E ) ) ) )
40	38, 34, 39	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) = ( M ` E ) <-> ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) /\ -. ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) < ( M ` E ) ) ) )
41	37, 40	mpbid 214	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) /\ -. ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) < ( M ` E ) ) )
42	41	simpld 461	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
43	42	adantlr 720	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A = (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
44		carsgclctun.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
45		fvex 5873	. . . . . . . . 9 |- (toCaraSiga ` M ) e. _V
46		ssexg 4548	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ (toCaraSiga ` M ) /\ (toCaraSiga ` M ) e. _V ) -> A e. _V )
47	45, 46	mpan2 676	. . . . . . . 8 |- ( A C_ (toCaraSiga ` M ) -> A e. _V )
48		0sdomg 7698	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
49	44, 47, 48	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
50	49	biimpar 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> (/) ~< A )
51	50	adantlr 720	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) -> (/) ~< A )
52		carsgclctun.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A ~<_ om )
53		nnenom 12190	. . . . . . . 8 |- NN ~~ om
54		ensymb 7614	. . . . . . . 8 |- ( NN ~~ om <-> om ~~ NN )
55	53, 54	mpbi 212	. . . . . . 7 |- om ~~ NN
56		domentr 7625	. . . . . . 7 |- ( ( A ~<_ om /\ om ~~ NN ) -> A ~<_ NN )
57	52, 55, 56	sylancl 667	. . . . . 6 |- ( ph -> A ~<_ NN )
58	57	ad2antrr 731	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) -> A ~<_ NN )
59		fodomr 7720	. . . . 5 |- ( ( (/) ~< A /\ A ~<_ NN ) -> E. f f : NN -onto-> A )
60	51, 58, 59	syl2anc 666	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) -> E. f f : NN -onto-> A )
61		fveq2 5863	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( f ` n ) = ( f ` k ) )
62	61	iundisj 22494	. . . . . . . . 9 |- U_ n e. NN ( f ` n ) = U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) )
63		fofn 5793	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : NN -onto-> A -> f Fn NN )
64		fniunfv 6150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn NN -> U_ n e. NN ( f ` n ) = U. ran f )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : NN -onto-> A -> U_ n e. NN ( f ` n ) = U. ran f )
66		forn 5794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : NN -onto-> A -> ran f = A )
67	66	unieqd 4207	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : NN -onto-> A -> U. ran f = U. A )
68	65, 67	eqtrd 2484	. . . . . . . . . 10 |- ( f : NN -onto-> A -> U_ n e. NN ( f ` n ) = U. A )
69	68	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> U_ n e. NN ( f ` n ) = U. A )
70	62, 69	syl5eqr 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) = U. A )
71	70	ineq2d 3633	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( E i^i U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) = ( E i^i U. A ) )
72	71	fveq2d 5867	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( M ` ( E i^i U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) = ( M ` ( E i^i U. A ) ) )
73	70	difeq2d 3550	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( E \ U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) = ( E \ U. A ) )
74	73	fveq2d 5867	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( M ` ( E \ U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) = ( M ` ( E \ U. A ) ) )
75	72, 74	oveq12d 6306	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( ( M ` ( E i^i U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) +e ( M ` ( E \ U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) ) = ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) )
76		carsgval.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> O e. V )
77	76	ad3antrrr 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> O e. V )
78	2	ad3antrrr 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
79	29	ad3antrrr 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
80		carsgsiga.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
81	80	3adant1r 1260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
82	81	3adant1r 1260	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
83	82	3adant1r 1260	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
84		carsgsiga.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
85	84	3adant1r 1260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
86	85	3adant1r 1260	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
87	86	3adant1r 1260	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
88	61	iundisj2 22495	. . . . . . 7 |- Disj n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) )
89	88	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> Disj n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) )
90	77	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> O e. V )
91	78	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
92	44	ad4antr 737	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
93		fof 5791	. . . . . . . . . 10 |- ( f : NN -onto-> A -> f : NN --> A )
94	93	ad2antlr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> f : NN --> A )
95		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
96	94, 95	ffvelrnd 6021	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ( f ` n ) e. A )
97	92, 96	sseldd 3432	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ( f ` n ) e. (toCaraSiga ` M ) )
98	79	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
99	83	3adant1r 1260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
100	90, 91, 98, 99	carsgsigalem 29140	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ e e. ~P O /\ g e. ~P O ) -> ( M ` ( e u. g ) ) <_ ( ( M ` e ) +e ( M ` g ) ) )
101	93	ad3antlr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> f : NN --> A )
102		fzossnn 11961	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1..^ n ) C_ NN
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ( 1..^ n ) C_ NN )
104	103	sselda 3431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> k e. NN )
105	101, 104	ffvelrnd 6021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> ( f ` k ) e. A )
106	105	ralrimiva 2801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> A. k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) e. A )
107		dfiun2g 4309	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) e. A -> U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) = U. { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } )
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) = U. { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } )
109		eqid 2450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) = ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) )
110	109	rnmpt 5079	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) = { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) }
111		fzofi 12184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1..^ n ) e. Fin
112		mptfi 7870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1..^ n ) e. Fin -> ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) e. Fin )
113		rnfi 7854	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) e. Fin -> ran ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) e. Fin )
114	111, 112, 113	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) e. Fin
115	110, 114	eqeltrri 2525	. . . . . . . . . 10 |- { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } e. Fin
116	115	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } e. Fin )
117	92	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
118	117, 105	sseldd 3432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> ( f ` k ) e. (toCaraSiga ` M ) )
119	118	ralrimiva 2801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> A. k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) e. (toCaraSiga ` M ) )
120	109	rnmptss 6050	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) e. (toCaraSiga ` M ) -> ran ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) C_ (toCaraSiga ` M ) )
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ran ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) C_ (toCaraSiga ` M ) )
122	110, 121	syl5eqssr 3476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } C_ (toCaraSiga ` M ) )
123	90, 91, 98, 99, 116, 122	fiunelcarsg 29141	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> U. { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } e. (toCaraSiga ` M ) )
124	108, 123	eqeltrd 2528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) e. (toCaraSiga ` M ) )
125	90, 91, 97, 100, 124	difelcarsg2 29138	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) e. (toCaraSiga ` M ) )
126	3	ad3antrrr 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> E e. ~P O )
127		simpllr 768	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( M ` E ) =/= +oo )
128	77, 78, 79, 83, 87, 89, 125, 126, 127	carsgclctunlem2 29144	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( ( M ` ( E i^i U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) +e ( M ` ( E \ U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) ) <_ ( M ` E ) )
129	75, 128	eqbrtrrd 4424	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
130	60, 129	exlimddv 1780	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
131	43, 130	pm2.61dane 2710	. 2 |- ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
132	15, 131	pm2.61dane 2710	1 |- ( ph -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886   {cab 2436   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044   \ cdif 3400   i^i cin 3402   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   U.cuni 4197   U_ciun 4277  Disj wdisj 4372   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   ran crn 4834   Fn wfn 5576   -->wf 5577   -onto->wfo 5579   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   omcom 6689   ~~ cen 7563   ~<_ cdom 7564   ~< csdm 7565   Fincfn 7566   0cc0 9536   1c1 9537   +oocpnf 9669   RR*cxr 9671   < clt 9672   <_ cle 9673   NNcn 10606   +ecxad 11404   [,]cicc 11635  ..^cfzo 11912  Σ^*cesum 28841  toCaraSigaccarsg 29126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-ac2 8890  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-ac 8544  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-ordt 15392  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-ps 16439  df-tsr 16440  df-plusf 16480  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-subrg 17999  df-abv 18038  df-lmod 18086  df-scaf 18087  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-tmd 21080  df-tgp 21081  df-tsms 21134  df-trg 21167  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-nm 21590  df-ngp 21591  df-nrg 21593  df-nlm 21594  df-ii 21902  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-log 23499  df-esum 28842  df-carsg 29127

This theorem is referenced by:  carsgclctun  29146