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Theorem carsgclctunlem3 29225
Description: Lemma for carsgclctun 29226. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
carsgval.2  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
carsgsiga.2  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
carsgsiga.3  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
carsgclctun.1  |-  ( ph  ->  A  ~<_  om )
carsgclctun.2  |-  ( ph  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M
) )
carsgclctunlem3.1  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem3  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  <_  ( M `  E )
)
Distinct variable groups:    x, A, y    x, E, y    x, M, y    x, O, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem carsgclctunlem3
Dummy variables  e 
f  k  n  z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11742 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2 carsgval.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
3 carsgclctunlem3.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
43elpwincl1 28232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  U. A )  e.  ~P O )
52, 4ffvelrnd 6038 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
61, 5sseldi 3416 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. A ) )  e.  RR* )
73elpwdifcl 28233 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  \  U. A )  e.  ~P O )
82, 7ffvelrnd 6038 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  \  U. A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
91, 8sseldi 3416 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  \  U. A ) )  e.  RR* )
106, 9xaddcld 11612 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  e.  RR* )
1110adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M `  E )  = +oo )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) )  e. 
RR* )
12 pnfge 11455 . . . 4  |-  ( ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  e.  RR*  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_ +oo )
1311, 12syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M `  E )  = +oo )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) )  <_ +oo )
14 simpr 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M `  E )  = +oo )  ->  ( M `  E )  = +oo )
1513, 14breqtrrd 4422 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M `  E )  = +oo )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) )  <_ 
( M `  E
) )
16 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  U. (/) )
17 uni0 4217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. (/)  =  (/)
1816, 17syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  (/) )
1918ineq2d 3625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E  i^i  U. A )  =  ( E  i^i  (/) ) )
20 in0 3763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  i^i  (/) )  =  (/)
2119, 20syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E  i^i  U. A )  =  (/) )
2221fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  ( M `
 ( E  i^i  U. A ) )  =  ( M `  (/) ) )
2318difeq2d 3540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E 
\  U. A )  =  ( E  \  (/) ) )
24 dif0 3749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E 
\  (/) )  =  E
2523, 24syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E 
\  U. A )  =  E )
2625fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  ( M `
 ( E  \  U. A ) )  =  ( M `  E
) )
2722, 26oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  =  ( ( M `  (/) ) +e ( M `  E ) ) )
2827adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U. A ) ) )  =  ( ( M `
 (/) ) +e
( M `  E
) ) )
29 carsgsiga.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
3029adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
3130oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( ( M `  (/) ) +e ( M `  E ) )  =  ( 0 +e
( M `  E
) ) )
322, 3ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
331, 32sseldi 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  e.  RR* )
3433adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( M `  E )  e.  RR* )
35 xaddid2 11557 . . . . . . . 8  |-  ( ( M `  E )  e.  RR*  ->  ( 0 +e ( M `
 E ) )  =  ( M `  E ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( 0 +e ( M `
 E ) )  =  ( M `  E ) )
3728, 31, 363eqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U. A ) ) )  =  ( M `  E ) )
3837, 34eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U. A ) ) )  e.  RR* )
39 xeqlelt 28433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  e.  RR*  /\  ( M `  E
)  e.  RR* )  ->  ( ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) )  =  ( M `  E
)  <->  ( ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E )  /\  -.  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  <  ( M `  E )
) ) )
4038, 34, 39syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  =  ( M `
 E )  <->  ( (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E )  /\  -.  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  <  ( M `  E )
) ) )
4137, 40mpbid 215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E )  /\  -.  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  <  ( M `  E )
) )
4241simpld 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U. A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
4342adantlr 729 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =  (/) )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
44 carsgclctun.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M
) )
45 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  (toCaraSiga `  M
)  e.  _V
46 ssexg 4542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  (toCaraSiga `  M
)  /\  (toCaraSiga `  M
)  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
4745, 46mpan2 685 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  (toCaraSiga `  M )  ->  A  e.  _V )
48 0sdomg 7719 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
4944, 47, 483syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
5049biimpar 493 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  (/) )  ->  (/)  ~<  A )
5150adantlr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  ->  (/)  ~<  A )
52 carsgclctun.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  ~<_  om )
53 nnenom 12231 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
54 ensymb 7635 . . . . . . . 8  |-  ( NN 
~~  om  <->  om  ~~  NN )
5553, 54mpbi 213 . . . . . . 7  |-  om  ~~  NN
56 domentr 7646 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  A  ~<_  NN )
5752, 55, 56sylancl 675 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  ~<_  NN )
5857ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  ~<_  NN )
59 fodomr 7741 . . . . 5  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
6051, 58, 59syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
61 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
6261iundisj 22580 . . . . . . . . 9  |-  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U_ n  e.  NN  (
( f `  n
)  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k
) )
63 fofn 5808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
f  Fn  NN )
64 fniunfv 6170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U. ran  f )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n
)  =  U. ran  f )
66 forn 5809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  ran  f  =  A
)
6766unieqd 4200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U. ran  f  =  U. A )
6865, 67eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n
)  =  U. A
)
6968adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U. A )
7062, 69syl5eqr 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) )  =  U. A
)
7170ineq2d 3625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( E  i^i  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k ) ) )  =  ( E  i^i  U. A ) )
7271fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( M `  ( E  i^i  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k ) ) ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. A ) ) )
7370difeq2d 3540 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( E  \  U_ n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) ) )  =  ( E  \  U. A
) )
7473fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( M `  ( E  \ 
U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k ) ) ) )  =  ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )
7572, 74oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k ) ) ) ) +e
( M `  ( E  \  U_ n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) ) ) ) )  =  ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) ) )
76 carsgval.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
7776ad3antrrr 744 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  O  e.  V )
782ad3antrrr 744 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
7929ad3antrrr 744 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
80 carsgsiga.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
81803adant1r 1285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x ( M `  y ) )
82813adant1r 1285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x ( M `  y ) )
83823adant1r 1285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
84 carsgsiga.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
85843adant1r 1285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  x  C_  y  /\  y  e. 
~P O )  -> 
( M `  x
)  <_  ( M `  y ) )
86853adant1r 1285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  C_  y  /\  y  e. 
~P O )  -> 
( M `  x
)  <_  ( M `  y ) )
87863adant1r 1285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
8861iundisj2 22581 . . . . . . 7  |- Disj  n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) )
8988a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  -> Disj  n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) ) )
9077adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  O  e.  V
)
9178adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  M : ~P O
--> ( 0 [,] +oo ) )
9244ad4antr 746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M ) )
93 fof 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
f : NN --> A )
9493ad2antlr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  f : NN --> A )
95 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
9694, 95ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `  n )  e.  A
)
9792, 96sseldd 3419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `  n )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
9879adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
99833adant1r 1285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
10090, 91, 98, 99carsgsigalem 29220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  e  e.  ~P O  /\  g  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( e  u.  g ) )  <_ 
( ( M `  e ) +e
( M `  g
) ) )
10193ad3antlr 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  f : NN --> A )
102 fzossnn 11992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1..^ n )  C_  NN
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1..^ n )  C_  NN )
104103sselda 3418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  k  e.  NN )
105101, 104ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  ( f `  k )  e.  A
)
106105ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k )  e.  A )
107 dfiun2g 4301 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k )  e.  A  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k
)  =  U. {
z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `
 k ) } )
108106, 107syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k )  =  U. { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `
 k ) } )
109 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `  k ) )  =  ( k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `  k ) )
110109rnmpt 5086 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `
 k ) )  =  { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `  k ) }
111 fzofi 12225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1..^ n )  e.  Fin
112 mptfi 7891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1..^ n )  e. 
Fin  ->  ( k  e.  ( 1..^ n ) 
|->  ( f `  k
) )  e.  Fin )
113 rnfi 7875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `
 k ) )  e.  Fin  ->  ran  ( k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `  k ) )  e.  Fin )
114111, 112, 113mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `
 k ) )  e.  Fin
115110, 114eqeltrri 2546 . . . . . . . . . 10  |-  { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `
 k ) }  e.  Fin
116115a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `  k ) }  e.  Fin )
11792adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M ) )
118117, 105sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  ( f `  k )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
119118ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
120109rnmptss 6068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k )  e.  (toCaraSiga `  M )  ->  ran  ( k  e.  ( 1..^ n )  |->  ( f `  k ) )  C_  (toCaraSiga `  M
) )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( k  e.  ( 1..^ n ) 
|->  ( f `  k
) )  C_  (toCaraSiga `  M ) )
122110, 121syl5eqssr 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `  k ) }  C_  (toCaraSiga `
 M ) )
12390, 91, 98, 99, 116, 122fiunelcarsg 29221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  U. { z  |  E. k  e.  ( 1..^ n ) z  =  ( f `  k ) }  e.  (toCaraSiga `
 M ) )
124108, 123eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `  k )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
12590, 91, 97, 100, 124difelcarsg2 29218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E
)  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) )  e.  (toCaraSiga `  M
) )
1263ad3antrrr 744 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  E  e.  ~P O )
127 simpllr 777 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( M `  E )  =/= +oo )
12877, 78, 79, 83, 87, 89, 125, 126, 127carsgclctunlem2 29224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U_ n  e.  NN  ( ( f `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( f `
 k ) ) ) ) +e
( M `  ( E  \  U_ n  e.  NN  ( ( f `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( f `  k ) ) ) ) )  <_  ( M `  E ) )
12975, 128eqbrtrrd 4418 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
13060, 129exlimddv 1789 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
13143, 130pm2.61dane 2730 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M `  E )  =/= +oo )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( E  \  U. A
) ) )  <_ 
( M `  E
) )
13215, 131pm2.61dane 2730 1  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) +e
( M `  ( E  \  U. A ) ) )  <_  ( M `  E )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711    ~~ cen 7584    ~<_ cdom 7585    ~< csdm 7586   Fincfn 7587   0cc0 9557   1c1 9558   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   +ecxad 11430   [,]cicc 11663  ..^cfzo 11942  Σ*cesum 28922  toCaraSigaccarsg 29206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-plusf 16565  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-subrg 18084  df-abv 18123  df-lmod 18171  df-scaf 18172  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tmd 21165  df-tgp 21166  df-tsms 21219  df-trg 21252  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nrg 21678  df-nlm 21679  df-ii 21987  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-esum 28923  df-carsg 29207
This theorem is referenced by:  carsgclctun  29226
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