Theorem carsgclctunlem3 29225

Description: Lemma for carsgclctun 29226. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	|- ( ph -> O e. V )
carsgval.2	|- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1	|- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
carsgsiga.2	|- ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
carsgsiga.3	|- ( ( ph /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
carsgclctun.1	|- ( ph -> A ~<_ om )
carsgclctun.2	|- ( ph -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
carsgclctunlem3.1	|- ( ph -> E e. ~P O )

Assertion

Ref	Expression
carsgclctunlem3	|- ( ph -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, E, y   x, M, y   x, O, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem carsgclctunlem3

Dummy variables e f k n z g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 11742	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
2		carsgval.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
3		carsgclctunlem3.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. ~P O )
4	3	elpwincl1 28232	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E i^i U. A ) e. ~P O )
5	2, 4	ffvelrnd 6038	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ` ( E i^i U. A ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
6	1, 5	sseldi 3416	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ` ( E i^i U. A ) ) e. RR* )
7	3	elpwdifcl 28233	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E \ U. A ) e. ~P O )
8	2, 7	ffvelrnd 6038	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ` ( E \ U. A ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
9	1, 8	sseldi 3416	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ` ( E \ U. A ) ) e. RR* )
10	6, 9	xaddcld 11612	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) e. RR* )
11	10	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M ` E ) = +oo ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) e. RR* )
12		pnfge 11455	. . . 4 |- ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) e. RR* -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ +oo )
13	11, 12	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M ` E ) = +oo ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ +oo )
14		simpr 468	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M ` E ) = +oo ) -> ( M ` E ) = +oo )
15	13, 14	breqtrrd 4422	. 2 |- ( ( ph /\ ( M ` E ) = +oo ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
16		unieq 4198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = (/) -> U. A = U. (/) )
17		uni0 4217	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. (/) = (/)
18	16, 17	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = (/) -> U. A = (/) )
19	18	ineq2d 3625	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = (/) -> ( E i^i U. A ) = ( E i^i (/) ) )
20		in0 3763	. . . . . . . . . . 11 |- ( E i^i (/) ) = (/)
21	19, 20	syl6eq 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> ( E i^i U. A ) = (/) )
22	21	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> ( M ` ( E i^i U. A ) ) = ( M ` (/) ) )
23	18	difeq2d 3540	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = (/) -> ( E \ U. A ) = ( E \ (/) ) )
24		dif0 3749	. . . . . . . . . . 11 |- ( E \ (/) ) = E
25	23, 24	syl6eq 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> ( E \ U. A ) = E )
26	25	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> ( M ` ( E \ U. A ) ) = ( M ` E ) )
27	22, 26	oveq12d 6326	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) = ( ( M ` (/) ) +e ( M ` E ) ) )
28	27	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) = ( ( M ` (/) ) +e ( M ` E ) ) )
29		carsgsiga.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
30	29	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
31	30	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( M ` (/) ) +e ( M ` E ) ) = ( 0 +e ( M ` E ) ) )
32	2, 3	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ` E ) e. ( 0 [,] +oo ) )
33	1, 32	sseldi 3416	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ` E ) e. RR* )
34	33	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( M ` E ) e. RR* )
35		xaddid2 11557	. . . . . . . 8 |- ( ( M ` E ) e. RR* -> ( 0 +e ( M ` E ) ) = ( M ` E ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( 0 +e ( M ` E ) ) = ( M ` E ) )
37	28, 31, 36	3eqtrd 2509	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) = ( M ` E ) )
38	37, 34	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) e. RR* )
39		xeqlelt 28433	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) e. RR* /\ ( M ` E ) e. RR* ) -> ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) = ( M ` E ) <-> ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) /\ -. ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) < ( M ` E ) ) ) )
40	38, 34, 39	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) = ( M ` E ) <-> ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) /\ -. ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) < ( M ` E ) ) ) )
41	37, 40	mpbid 215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) /\ -. ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) < ( M ` E ) ) )
42	41	simpld 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
43	42	adantlr 729	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A = (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
44		carsgclctun.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
45		fvex 5889	. . . . . . . . 9 |- (toCaraSiga ` M ) e. _V
46		ssexg 4542	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ (toCaraSiga ` M ) /\ (toCaraSiga ` M ) e. _V ) -> A e. _V )
47	45, 46	mpan2 685	. . . . . . . 8 |- ( A C_ (toCaraSiga ` M ) -> A e. _V )
48		0sdomg 7719	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
49	44, 47, 48	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
50	49	biimpar 493	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> (/) ~< A )
51	50	adantlr 729	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) -> (/) ~< A )
52		carsgclctun.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A ~<_ om )
53		nnenom 12231	. . . . . . . 8 |- NN ~~ om
54		ensymb 7635	. . . . . . . 8 |- ( NN ~~ om <-> om ~~ NN )
55	53, 54	mpbi 213	. . . . . . 7 |- om ~~ NN
56		domentr 7646	. . . . . . 7 |- ( ( A ~<_ om /\ om ~~ NN ) -> A ~<_ NN )
57	52, 55, 56	sylancl 675	. . . . . 6 |- ( ph -> A ~<_ NN )
58	57	ad2antrr 740	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) -> A ~<_ NN )
59		fodomr 7741	. . . . 5 |- ( ( (/) ~< A /\ A ~<_ NN ) -> E. f f : NN -onto-> A )
60	51, 58, 59	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) -> E. f f : NN -onto-> A )
61		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( f ` n ) = ( f ` k ) )
62	61	iundisj 22580	. . . . . . . . 9 |- U_ n e. NN ( f ` n ) = U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) )
63		fofn 5808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : NN -onto-> A -> f Fn NN )
64		fniunfv 6170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn NN -> U_ n e. NN ( f ` n ) = U. ran f )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : NN -onto-> A -> U_ n e. NN ( f ` n ) = U. ran f )
66		forn 5809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : NN -onto-> A -> ran f = A )
67	66	unieqd 4200	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : NN -onto-> A -> U. ran f = U. A )
68	65, 67	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( f : NN -onto-> A -> U_ n e. NN ( f ` n ) = U. A )
69	68	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> U_ n e. NN ( f ` n ) = U. A )
70	62, 69	syl5eqr 2519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) = U. A )
71	70	ineq2d 3625	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( E i^i U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) = ( E i^i U. A ) )
72	71	fveq2d 5883	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( M ` ( E i^i U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) = ( M ` ( E i^i U. A ) ) )
73	70	difeq2d 3540	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( E \ U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) = ( E \ U. A ) )
74	73	fveq2d 5883	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( M ` ( E \ U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) = ( M ` ( E \ U. A ) ) )
75	72, 74	oveq12d 6326	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( ( M ` ( E i^i U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) +e ( M ` ( E \ U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) ) = ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) )
76		carsgval.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> O e. V )
77	76	ad3antrrr 744	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> O e. V )
78	2	ad3antrrr 744	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
79	29	ad3antrrr 744	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
80		carsgsiga.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
81	80	3adant1r 1285	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
82	81	3adant1r 1285	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
83	82	3adant1r 1285	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
84		carsgsiga.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
85	84	3adant1r 1285	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
86	85	3adant1r 1285	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
87	86	3adant1r 1285	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
88	61	iundisj2 22581	. . . . . . 7 |- Disj n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) )
89	88	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> Disj n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) )
90	77	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> O e. V )
91	78	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
92	44	ad4antr 746	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
93		fof 5806	. . . . . . . . . 10 |- ( f : NN -onto-> A -> f : NN --> A )
94	93	ad2antlr 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> f : NN --> A )
95		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
96	94, 95	ffvelrnd 6038	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ( f ` n ) e. A )
97	92, 96	sseldd 3419	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ( f ` n ) e. (toCaraSiga ` M ) )
98	79	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
99	83	3adant1r 1285	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
100	90, 91, 98, 99	carsgsigalem 29220	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ e e. ~P O /\ g e. ~P O ) -> ( M ` ( e u. g ) ) <_ ( ( M ` e ) +e ( M ` g ) ) )
101	93	ad3antlr 745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> f : NN --> A )
102		fzossnn 11992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1..^ n ) C_ NN
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ( 1..^ n ) C_ NN )
104	103	sselda 3418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> k e. NN )
105	101, 104	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> ( f ` k ) e. A )
106	105	ralrimiva 2809	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> A. k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) e. A )
107		dfiun2g 4301	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) e. A -> U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) = U. { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } )
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) = U. { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } )
109		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) = ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) )
110	109	rnmpt 5086	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) = { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) }
111		fzofi 12225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1..^ n ) e. Fin
112		mptfi 7891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1..^ n ) e. Fin -> ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) e. Fin )
113		rnfi 7875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) e. Fin -> ran ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) e. Fin )
114	111, 112, 113	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) e. Fin
115	110, 114	eqeltrri 2546	. . . . . . . . . 10 |- { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } e. Fin
116	115	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } e. Fin )
117	92	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
118	117, 105	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> ( f ` k ) e. (toCaraSiga ` M ) )
119	118	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> A. k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) e. (toCaraSiga ` M ) )
120	109	rnmptss 6068	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) e. (toCaraSiga ` M ) -> ran ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) C_ (toCaraSiga ` M ) )
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ran ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) C_ (toCaraSiga ` M ) )
122	110, 121	syl5eqssr 3463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } C_ (toCaraSiga ` M ) )
123	90, 91, 98, 99, 116, 122	fiunelcarsg 29221	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> U. { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } e. (toCaraSiga ` M ) )
124	108, 123	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) e. (toCaraSiga ` M ) )
125	90, 91, 97, 100, 124	difelcarsg2 29218	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) e. (toCaraSiga ` M ) )
126	3	ad3antrrr 744	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> E e. ~P O )
127		simpllr 777	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( M ` E ) =/= +oo )
128	77, 78, 79, 83, 87, 89, 125, 126, 127	carsgclctunlem2 29224	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( ( M ` ( E i^i U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) +e ( M ` ( E \ U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) ) <_ ( M ` E ) )
129	75, 128	eqbrtrrd 4418	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
130	60, 129	exlimddv 1789	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
131	43, 130	pm2.61dane 2730	. 2 |- ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
132	15, 131	pm2.61dane 2730	1 |- ( ph -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   {cab 2457   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ran crn 4840   Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711   ~~ cen 7584   ~<_ cdom 7585   ~< csdm 7586   Fincfn 7587   0cc0 9557   1c1 9558   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   NNcn 10631   +ecxad 11430   [,]cicc 11663  ..^cfzo 11942  Σ^*cesum 28922  toCaraSigaccarsg 29206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-plusf 16565  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-subrg 18084  df-abv 18123  df-lmod 18171  df-scaf 18172  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tmd 21165  df-tgp 21166  df-tsms 21219  df-trg 21252  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nrg 21678  df-nlm 21679  df-ii 21987  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-esum 28923  df-carsg 29207

This theorem is referenced by:  carsgclctun  29226