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Theorem carsgclctunlem2 29151
Description: Lemma for carsgclctun 29153. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
carsgval.2  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
carsgsiga.2  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
carsgsiga.3  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
carsgclctunlem2.1  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  NN  A
)
carsgclctunlem2.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
carsgclctunlem2.3  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
carsgclctunlem2.4  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  =/= +oo )
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, E, y    x, M, y    x, O, y    ph, x, y, k    k, E    k, M    k, O    ph, k
Allowed substitution hints:    A( k)    V( x, y, k)

Proof of Theorem carsgclctunlem2
Dummy variables  e  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunin2 4342 . . . . 5  |-  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A )  =  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A )
21fveq2i 5868 . . . 4  |-  ( M `
 U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  =  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A
) )
3 iccssxr 11717 . . . . 5  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
4 carsgval.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
5 nnex 10615 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
7 carsgclctunlem2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
87adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E  e. 
~P O )
98elpwincl1 28154 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E  i^i  A )  e. 
~P O )
106, 9elpwiuncl 28156 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A )  e.  ~P O )
114, 10ffvelrnd 6023 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
123, 11sseldi 3430 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  e.  RR* )
132, 12syl5eqelr 2534 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) )  e. 
RR* )
144, 7ffvelrnd 6023 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
153, 14sseldi 3430 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  e.  RR* )
167elpwdifcl 28155 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  \  U_ k  e.  NN  A
)  e.  ~P O
)
174, 16ffvelrnd 6023 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
183, 17sseldi 3430 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  RR* )
1918xnegcld 11586 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e. 
RR* )
2015, 19xaddcld 11587 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  e.  RR* )
214adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
2221, 9ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2322ralrimiva 2802 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( M `  ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
24 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ k NN
2524esumcl 28851 . . . . . . 7  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  A. k  e.  NN  ( M `  ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  NN ( M `  ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
266, 23, 25syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  NN ( M `
 ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
273, 26sseldi 3430 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  NN ( M `
 ( E  i^i  A ) )  e.  RR* )
289ralrimiva 2802 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( E  i^i  A )  e.  ~P O )
29 dfiun3g 5087 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  ( E  i^i  A )  e. 
~P O  ->  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A )  =  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A )  =  U. ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )
3130fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  =  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ) )
32 nnct 28294 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~<_  om
33 mptct 28302 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN  ~<_  om  ->  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om )
34 rnct 28300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om  ->  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om )
3532, 33, 34mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om )
37 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )
3837rnmptss 6052 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  ( E  i^i  A )  e. 
~P O  ->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O
)
3928, 38syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O )
40 mptexg 6135 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN  e.  _V  ->  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  e.  _V )
41 rnexg 6725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  e.  _V  ->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  e.  _V )
425, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  e.  _V
43 breq1 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( x  ~<_  om  <->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om ) )
44 sseq1 3453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( x  C_  ~P O  <->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O ) )
4543, 443anbi23d 1342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( ( ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_ 
~P O )  <->  ( ph  /\ 
ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om  /\  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O
) ) )
46 unieq 4206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  U. x  =  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )
4746fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( M `  U. x )  =  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ) )
48 esumeq1 28855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  -> Σ* y  e.  x ( M `  y )  = Σ* y  e.  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) )
4947, 48breq12d 4415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( ( M `
 U. x )  <_ Σ* y  e.  x ( M `  y )  <-> 
( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) ) )
5045, 49imbi12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )  <->  ( ( ph  /\  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om  /\  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O
)  ->  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) ) ) )
51 carsgsiga.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
5250, 51vtoclg 3107 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  e.  _V  ->  ( ( ph  /\  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om  /\  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O
)  ->  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) ) )
5342, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om  /\  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O
)  ->  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) )
5436, 39, 53mpd3an23 1366 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) )
5531, 54eqbrtrd 4423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) )
56 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( E  i^i  A )  ->  ( M `  y )  =  ( M `  ( E  i^i  A ) ) )
57 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( E  i^i  A )  =  (/) )  ->  ( E  i^i  A )  =  (/) )
5857fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( E  i^i  A )  =  (/) )  ->  ( M `
 ( E  i^i  A ) )  =  ( M `  (/) ) )
59 carsgsiga.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
6059ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( E  i^i  A )  =  (/) )  ->  ( M `
 (/) )  =  0 )
6158, 60eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( E  i^i  A )  =  (/) )  ->  ( M `
 ( E  i^i  A ) )  =  0 )
62 carsgclctunlem2.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  NN  A
)
63 disjin 28196 . . . . . . . . 9  |-  (Disj  k  e.  NN  A  -> Disj  k  e.  NN  ( A  i^i  E ) )
6462, 63syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  NN  ( A  i^i  E ) )
65 incom 3625 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  E )  =  ( E  i^i  A
)
6665rgenw 2749 . . . . . . . . 9  |-  A. k  e.  NN  ( A  i^i  E )  =  ( E  i^i  A )
67 disjeq2 4377 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  ( A  i^i  E )  =  ( E  i^i  A
)  ->  (Disj  k  e.  NN  ( A  i^i  E )  <-> Disj  k  e.  NN  ( E  i^i  A ) ) )
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (Disj  k  e.  NN  ( A  i^i  E )  <-> Disj  k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )
6964, 68sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )
7056, 6, 22, 9, 61, 69esumrnmpt2 28889 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y
)  = Σ* k  e.  NN ( M `  ( E  i^i  A ) ) )
7155, 70breqtrd 4427 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  <_ Σ* k  e.  NN ( M `  ( E  i^i  A ) ) )
72 carsgval.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
73 difssd 3561 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  \  U_ k  e.  NN  A
)  C_  E )
74 carsgsiga.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
7572, 4, 73, 7, 74carsgmon 29146 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  <_  ( M `  E ) )
7614, 17, 75xrge0subcld 28345 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
774adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
787adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E  e. 
~P O )
7978elpwincl1 28154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  ~P O )
8077, 79ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
813, 80sseldi 3430 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e.  RR* )
82 xrge0neqmnf 11737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =/= -oo )
8380, 82syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =/= -oo )
8478elpwdifcl 28155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  ~P O )
8577, 84ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
863, 85sseldi 3430 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) )  e.  RR* )
87 xrge0neqmnf 11737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =/= -oo )
8885, 87syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) )  =/= -oo )
8986xnegcld 11586 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  e.  RR* )
90 xnegneg 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR*  ->  -e  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )
9186, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )
9291adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  ->  -e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )
93 xnegeq 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo  ->  -e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =  -e -oo )
9493adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  ->  -e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  = 
-e -oo )
95 xnegmnf 11503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -e -oo  = +oo
9694, 95syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  ->  -e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  = +oo )
9792, 96eqtr3d 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = +oo )
9897oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e +oo )
)
99 simpll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
100 fz1ssnn 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  C_  NN )
102101sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
103 carsgclctunlem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
10499, 102, 103syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
105104ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
106 dfiun3g 5087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  (toCaraSiga `  M )  ->  U_ k  e.  (
1 ... n ) A  =  U. ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A ) )
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A  =  U. ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) )
10872adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  O  e.  V )
10959adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 (/) )  =  0 )
110513adant1r 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x ( M `  y ) )
111 fzfi 12185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1 ... n )  e. 
Fin
112 mptfi 7873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1 ... n )  e.  Fin  ->  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  e.  Fin )
113 rnfi 7857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  e.  Fin  ->  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A )  e.  Fin )
114111, 112, 113mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  e.  Fin
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  e.  Fin )
116 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  =  ( k  e.  ( 1 ... n
)  |->  A )
117116rnmptss 6052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  (toCaraSiga `  M )  ->  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A )  C_  (toCaraSiga `  M ) )
118105, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  C_  (toCaraSiga `  M
) )
119108, 77, 109, 110, 115, 118fiunelcarsg 29148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U. ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
120107, 119eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
121108, 77elcarsg 29137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( U_ k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  (toCaraSiga `  M )  <->  ( U_ k  e.  ( 1 ... n ) A 
C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O
( ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e
( M `  (
e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 e ) ) ) )
122120, 121mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( U_ k  e.  ( 1 ... n ) A 
C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O
( ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e
( M `  (
e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 e ) ) )
123122simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. e  e.  ~P  O ( ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )  =  ( M `  e
) )
124 ineq1 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  E  ->  (
e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A )  =  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
125124fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  =  E  ->  ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )
126 difeq1 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  E  ->  (
e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A )  =  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
127126fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  =  E  ->  ( M `  ( e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )
128125, 127oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( e  =  E  ->  (
( M `  (
e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e ( M `
 ( e  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) ) )
129 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( e  =  E  ->  ( M `  e )  =  ( M `  E ) )
130128, 129eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  =  E  ->  (
( ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e
( M `  (
e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 e )  <->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 E ) ) )
131130rspcv 3146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E  e.  ~P O  -> 
( A. e  e. 
~P  O ( ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )  =  ( M `  e
)  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 E ) ) )
13278, 123, 131sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 E ) )
133132adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) )  =  ( M `  E
) )
134 xaddpnf1 11519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR*  /\  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =/= -oo )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e +oo )  = +oo )
13581, 83, 134syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e +oo )  = +oo )
136135adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e +oo )  = +oo )
13798, 133, 1363eqtr3d 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( M `  E
)  = +oo )
138 carsgclctunlem2.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  =/= +oo )
139138ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( M `  E
)  =/= +oo )
140139neneqd 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  ->  -.  ( M `  E
)  = +oo )
141137, 140pm2.65da 580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )
142141neqned 2631 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =/= -oo )
143 xaddass 11535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =/= -oo )  /\  (
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( E  \ 
U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =/= -oo )  /\  (  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  e.  RR*  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =/= -oo ) )  ->  ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) ) )
14481, 83, 86, 88, 89, 142, 143syl222anc 1284 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) ) )
145 xnegid 11529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR*  ->  ( ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  0 )
14686, 145syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )  =  0 )
147146oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e 0 ) )
148 xaddid1 11532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR*  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e 0 )  =  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )
14981, 148syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e 0 )  =  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )
150144, 147, 1493eqtrd 2489 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )
151132oveq1d 6305 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( ( M `  E ) +e  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) )
152107ineq2d 3634 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( E  i^i  U. ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) ) )
153152fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A ) ) ) )
154 fmptss 28277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  NN  ->  ( k  e.  ( 1 ... n )  |->  A ) 
C_  ( k  e.  NN  |->  A ) )
155 rnss 5063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  C_  ( k  e.  NN  |->  A )  ->  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A )  C_  ran  ( k  e.  NN  |->  A ) )
156100, 154, 155mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  C_  ran  ( k  e.  NN  |->  A )
157156a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  C_  ran  ( k  e.  NN  |->  A ) )
158 disjrnmpt 28195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Disj  k  e.  NN  A  -> Disj  y  e. 
ran  ( k  e.  NN  |->  A ) y )
15962, 158syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  A ) y )
160159adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  A ) y )
161 disjss1 4379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A )  C_  ran  ( k  e.  NN  |->  A )  ->  (Disj  y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  A ) y  -> Disj  y  e.  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) y ) )
162157, 160, 161sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  y  e.  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) y )
163108, 77, 109, 110, 115, 118, 162, 78carsgclctunlem1 29149 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U.
ran  ( k  e.  ( 1 ... n
)  |->  A ) ) )  = Σ* y  e.  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) ( M `
 ( E  i^i  y ) ) )
164 ineq2 3628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ( E  i^i  y )  =  ( E  i^i  A
) )
165164fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  ( M `  ( E  i^i  A ) ) )
166111elexi 3055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
167166a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  e. 
_V )
16899, 102, 22syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( M `  ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
169 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E  i^i  A )  C_  A
170 sseq2 3454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( E  i^i  A ) 
C_  A  <->  ( E  i^i  A )  C_  (/) ) )
171169, 170mpbii 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E  i^i  A )  C_  (/) )
172 ss0 3765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E  i^i  A ) 
C_  (/)  ->  ( E  i^i  A )  =  (/) )
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E  i^i  A )  =  (/) )
174173adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
1 ... n ) )  /\  A  =  (/) )  ->  ( E  i^i  A )  =  (/) )
175174fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
1 ... n ) )  /\  A  =  (/) )  ->  ( M `  ( E  i^i  A ) )  =  ( M `
 (/) ) )
176109ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
1 ... n ) )  /\  A  =  (/) )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
177175, 176eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
1 ... n ) )  /\  A  =  (/) )  ->  ( M `  ( E  i^i  A ) )  =  0 )
17862adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  k  e.  NN  A )
179 disjss1 4379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  NN  ->  (Disj  k  e.  NN  A  -> Disj  k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
180101, 178, 179sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  k  e.  ( 1 ... n
) A )
181165, 167, 168, 104, 177, 180esumrnmpt2 28889 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) ( M `
 ( E  i^i  y ) )  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( M `
 ( E  i^i  A ) ) )
182153, 163, 1813eqtrd 2489 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( M `  ( E  i^i  A ) ) )
183150, 151, 1823eqtr3rd 2494 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( M `  ( E  i^i  A ) )  =  ( ( M `
 E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) ) )
18417adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1853, 184sseldi 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e. 
RR* )
186185xnegcld 11586 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  RR* )
18715adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 E )  e. 
RR* )
188 iunss1 4290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  NN  ->  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A  C_  U_ k  e.  NN  A )
189100, 188mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A  C_  U_ k  e.  NN  A )
190189sscond 3570 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A )  C_  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
191743adant1r 1261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  C_  y  /\  y  e. 
~P O )  -> 
( M `  x
)  <_  ( M `  y ) )
192108, 77, 190, 84, 191carsgmon 29146 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  <_ 
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )
193 xleneg 11511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( E  \ 
U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR* )  ->  (
( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  <_  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  <->  -e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) )  <_  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
194193biimpa 487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( E  \ 
U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR* )  /\  ( M `  ( E  \ 
U_ k  e.  NN  A ) )  <_ 
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  ->  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  <_  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )
195185, 86, 192, 194syl21anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  <_  -e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )
196 xleadd2a 11540 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR*  /\  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) )  e. 
RR*  /\  ( M `  E )  e.  RR* )  /\  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  <_  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  ->  ( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )  <_  ( ( M `
 E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
19789, 186, 187, 195, 196syl31anc 1271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  E ) +e  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  <_  ( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
198183, 197eqbrtrd 4423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( M `  ( E  i^i  A ) )  <_  ( ( M `
 E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
19976, 22, 198esumgect 28911 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  NN ( M `
 ( E  i^i  A ) )  <_  (
( M `  E
) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
20012, 27, 20, 71, 199xrletrd 11459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  <_  (
( M `  E
) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
2012, 200syl5eqbrr 4437 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) )  <_ 
( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
202 xleadd1a 11539 . . 3  |-  ( ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  RR*  /\  (
( M `  E
) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( E  \ 
U_ k  e.  NN  A ) )  e. 
RR* )  /\  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) )  <_ 
( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  <_  ( (
( M `  E
) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) +e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
20313, 20, 18, 201, 202syl31anc 1271 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  <_  ( ( ( M `  E ) +e  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) +e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
204 xrge0npcan 28457 . . 3  |-  ( ( ( M `  E
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  <_  ( M `  E ) )  -> 
( ( ( M `
 E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  =  ( M `  E ) )
20514, 17, 75, 204syl3anc 1268 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( M `
 E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  =  ( M `  E ) )
206203, 205breqtrd 4427 1  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   U_ciun 4278  Disj wdisj 4373   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ran crn 4835   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   omcom 6692    ~<_ cdom 7567   Fincfn 7569   0cc0 9539   1c1 9540   +oocpnf 9672   -oocmnf 9673   RR*cxr 9674    <_ cle 9676   NNcn 10609    -ecxne 11406   +ecxad 11407   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  Σ*cesum 28848  toCaraSigaccarsg 29133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-ordt 15399  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-ps 16446  df-tsr 16447  df-plusf 16487  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-subrg 18006  df-abv 18045  df-lmod 18093  df-scaf 18094  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-tmd 21087  df-tgp 21088  df-tsms 21141  df-trg 21174  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-nm 21597  df-ngp 21598  df-nrg 21600  df-nlm 21601  df-ii 21909  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-esum 28849  df-carsg 29134
This theorem is referenced by:  carsgclctunlem3  29152
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