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Theorem carsgclctunlem2 29224
Description: Lemma for carsgclctun 29226. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
carsgval.2  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
carsgsiga.2  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
carsgsiga.3  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
carsgclctunlem2.1  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  NN  A
)
carsgclctunlem2.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
carsgclctunlem2.3  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
carsgclctunlem2.4  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  =/= +oo )
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, E, y    x, M, y    x, O, y    ph, x, y, k    k, E    k, M    k, O    ph, k
Allowed substitution hints:    A( k)    V( x, y, k)

Proof of Theorem carsgclctunlem2
Dummy variables  e  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunin2 4333 . . . . 5  |-  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A )  =  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A )
21fveq2i 5882 . . . 4  |-  ( M `
 U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  =  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A
) )
3 iccssxr 11742 . . . . 5  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
4 carsgval.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
5 nnex 10637 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
7 carsgclctunlem2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
87adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E  e. 
~P O )
98elpwincl1 28232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E  i^i  A )  e. 
~P O )
106, 9elpwiuncl 28234 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A )  e.  ~P O )
114, 10ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
123, 11sseldi 3416 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  e.  RR* )
132, 12syl5eqelr 2554 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) )  e. 
RR* )
144, 7ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
153, 14sseldi 3416 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  e.  RR* )
167elpwdifcl 28233 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  \  U_ k  e.  NN  A
)  e.  ~P O
)
174, 16ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
183, 17sseldi 3416 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  RR* )
1918xnegcld 11611 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e. 
RR* )
2015, 19xaddcld 11612 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  e.  RR* )
214adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
2221, 9ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2322ralrimiva 2809 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( M `  ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
24 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ k NN
2524esumcl 28925 . . . . . . 7  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  A. k  e.  NN  ( M `  ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  NN ( M `  ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
266, 23, 25syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  NN ( M `
 ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
273, 26sseldi 3416 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  NN ( M `
 ( E  i^i  A ) )  e.  RR* )
289ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( E  i^i  A )  e.  ~P O )
29 dfiun3g 5093 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  ( E  i^i  A )  e. 
~P O  ->  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A )  =  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A )  =  U. ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )
3130fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  =  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ) )
32 nnct 28369 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~<_  om
33 mptct 28377 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN  ~<_  om  ->  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om )
34 rnct 28375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om  ->  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om )
3532, 33, 34mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om )
37 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )
3837rnmptss 6068 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  ( E  i^i  A )  e. 
~P O  ->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O
)
3928, 38syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O )
40 mptexg 6151 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN  e.  _V  ->  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  e.  _V )
41 rnexg 6744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  e.  _V  ->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  e.  _V )
425, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  e.  _V
43 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( x  ~<_  om  <->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om ) )
44 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( x  C_  ~P O  <->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O ) )
4543, 443anbi23d 1368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( ( ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_ 
~P O )  <->  ( ph  /\ 
ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om  /\  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O
) ) )
46 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  U. x  =  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )
4746fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( M `  U. x )  =  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ) )
48 esumeq1 28929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  -> Σ* y  e.  x ( M `  y )  = Σ* y  e.  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) )
4947, 48breq12d 4408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( ( M `
 U. x )  <_ Σ* y  e.  x ( M `  y )  <-> 
( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) ) )
5045, 49imbi12d 327 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )  <->  ( ( ph  /\  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om  /\  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O
)  ->  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) ) ) )
51 carsgsiga.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
5250, 51vtoclg 3093 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  e.  _V  ->  ( ( ph  /\  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om  /\  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O
)  ->  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) ) )
5342, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om  /\  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O
)  ->  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) )
5436, 39, 53mpd3an23 1392 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) )
5531, 54eqbrtrd 4416 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) )
56 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( E  i^i  A )  ->  ( M `  y )  =  ( M `  ( E  i^i  A ) ) )
57 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( E  i^i  A )  =  (/) )  ->  ( E  i^i  A )  =  (/) )
5857fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( E  i^i  A )  =  (/) )  ->  ( M `
 ( E  i^i  A ) )  =  ( M `  (/) ) )
59 carsgsiga.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
6059ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( E  i^i  A )  =  (/) )  ->  ( M `
 (/) )  =  0 )
6158, 60eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( E  i^i  A )  =  (/) )  ->  ( M `
 ( E  i^i  A ) )  =  0 )
62 carsgclctunlem2.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  NN  A
)
63 disjin 28273 . . . . . . . . 9  |-  (Disj  k  e.  NN  A  -> Disj  k  e.  NN  ( A  i^i  E ) )
6462, 63syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  NN  ( A  i^i  E ) )
65 incom 3616 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  E )  =  ( E  i^i  A
)
6665rgenw 2768 . . . . . . . . 9  |-  A. k  e.  NN  ( A  i^i  E )  =  ( E  i^i  A )
67 disjeq2 4370 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  ( A  i^i  E )  =  ( E  i^i  A
)  ->  (Disj  k  e.  NN  ( A  i^i  E )  <-> Disj  k  e.  NN  ( E  i^i  A ) ) )
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (Disj  k  e.  NN  ( A  i^i  E )  <-> Disj  k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )
6964, 68sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )
7056, 6, 22, 9, 61, 69esumrnmpt2 28963 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y
)  = Σ* k  e.  NN ( M `  ( E  i^i  A ) ) )
7155, 70breqtrd 4420 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  <_ Σ* k  e.  NN ( M `  ( E  i^i  A ) ) )
72 carsgval.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
73 difssd 3550 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  \  U_ k  e.  NN  A
)  C_  E )
74 carsgsiga.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
7572, 4, 73, 7, 74carsgmon 29219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  <_  ( M `  E ) )
7614, 17, 75xrge0subcld 28420 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
774adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
787adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E  e. 
~P O )
7978elpwincl1 28232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  ~P O )
8077, 79ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
813, 80sseldi 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e.  RR* )
82 xrge0neqmnf 11762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =/= -oo )
8380, 82syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =/= -oo )
8478elpwdifcl 28233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  ~P O )
8577, 84ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
863, 85sseldi 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) )  e.  RR* )
87 xrge0neqmnf 11762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =/= -oo )
8885, 87syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) )  =/= -oo )
8986xnegcld 11611 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  e.  RR* )
90 xnegneg 11530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR*  ->  -e  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )
9186, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )
9291adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  ->  -e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )
93 xnegeq 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo  ->  -e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =  -e -oo )
9493adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  ->  -e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  = 
-e -oo )
95 xnegmnf 11526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -e -oo  = +oo
9694, 95syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  ->  -e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  = +oo )
9792, 96eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = +oo )
9897oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e +oo )
)
99 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
100 fz1ssnn 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  C_  NN )
102101sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
103 carsgclctunlem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
10499, 102, 103syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
105104ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
106 dfiun3g 5093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  (toCaraSiga `  M )  ->  U_ k  e.  (
1 ... n ) A  =  U. ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A ) )
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A  =  U. ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) )
10872adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  O  e.  V )
10959adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 (/) )  =  0 )
110513adant1r 1285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x ( M `  y ) )
111 fzfi 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1 ... n )  e. 
Fin
112 mptfi 7891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1 ... n )  e.  Fin  ->  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  e.  Fin )
113 rnfi 7875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  e.  Fin  ->  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A )  e.  Fin )
114111, 112, 113mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  e.  Fin
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  e.  Fin )
116 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  =  ( k  e.  ( 1 ... n
)  |->  A )
117116rnmptss 6068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  (toCaraSiga `  M )  ->  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A )  C_  (toCaraSiga `  M ) )
118105, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  C_  (toCaraSiga `  M
) )
119108, 77, 109, 110, 115, 118fiunelcarsg 29221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U. ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
120107, 119eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
121108, 77elcarsg 29210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( U_ k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  (toCaraSiga `  M )  <->  ( U_ k  e.  ( 1 ... n ) A 
C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O
( ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e
( M `  (
e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 e ) ) ) )
122120, 121mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( U_ k  e.  ( 1 ... n ) A 
C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O
( ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e
( M `  (
e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 e ) ) )
123122simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. e  e.  ~P  O ( ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )  =  ( M `  e
) )
124 ineq1 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  E  ->  (
e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A )  =  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
125124fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  =  E  ->  ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )
126 difeq1 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  E  ->  (
e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A )  =  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
127126fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  =  E  ->  ( M `  ( e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )
128125, 127oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( e  =  E  ->  (
( M `  (
e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e ( M `
 ( e  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) ) )
129 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( e  =  E  ->  ( M `  e )  =  ( M `  E ) )
130128, 129eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  =  E  ->  (
( ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e
( M `  (
e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 e )  <->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 E ) ) )
131130rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E  e.  ~P O  -> 
( A. e  e. 
~P  O ( ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )  =  ( M `  e
)  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 E ) ) )
13278, 123, 131sylc 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 E ) )
133132adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) )  =  ( M `  E
) )
134 xaddpnf1 11542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR*  /\  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =/= -oo )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e +oo )  = +oo )
13581, 83, 134syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e +oo )  = +oo )
136135adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e +oo )  = +oo )
13798, 133, 1363eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( M `  E
)  = +oo )
138 carsgclctunlem2.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  =/= +oo )
139138ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( M `  E
)  =/= +oo )
140139neneqd 2648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  ->  -.  ( M `  E
)  = +oo )
141137, 140pm2.65da 586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )
142141neqned 2650 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =/= -oo )
143 xaddass 11560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =/= -oo )  /\  (
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( E  \ 
U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =/= -oo )  /\  (  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  e.  RR*  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =/= -oo ) )  ->  ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) ) )
14481, 83, 86, 88, 89, 142, 143syl222anc 1308 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) ) )
145 xnegid 11553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR*  ->  ( ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  0 )
14686, 145syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )  =  0 )
147146oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e 0 ) )
148 xaddid1 11556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR*  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e 0 )  =  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )
14981, 148syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e 0 )  =  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )
150144, 147, 1493eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )
151132oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( ( M `  E ) +e  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) )
152107ineq2d 3625 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( E  i^i  U. ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) ) )
153152fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A ) ) ) )
154 fmptss 28352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  NN  ->  ( k  e.  ( 1 ... n )  |->  A ) 
C_  ( k  e.  NN  |->  A ) )
155 rnss 5069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  C_  ( k  e.  NN  |->  A )  ->  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A )  C_  ran  ( k  e.  NN  |->  A ) )
156100, 154, 155mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  C_  ran  ( k  e.  NN  |->  A )
157156a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  C_  ran  ( k  e.  NN  |->  A ) )
158 disjrnmpt 28272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Disj  k  e.  NN  A  -> Disj  y  e. 
ran  ( k  e.  NN  |->  A ) y )
15962, 158syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  A ) y )
160159adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  A ) y )
161 disjss1 4372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A )  C_  ran  ( k  e.  NN  |->  A )  ->  (Disj  y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  A ) y  -> Disj  y  e.  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) y ) )
162157, 160, 161sylc 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  y  e.  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) y )
163108, 77, 109, 110, 115, 118, 162, 78carsgclctunlem1 29222 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U.
ran  ( k  e.  ( 1 ... n
)  |->  A ) ) )  = Σ* y  e.  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) ( M `
 ( E  i^i  y ) ) )
164 ineq2 3619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ( E  i^i  y )  =  ( E  i^i  A
) )
165164fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  ( M `  ( E  i^i  A ) ) )
166111elexi 3041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
167166a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  e. 
_V )
16899, 102, 22syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( M `  ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
169 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E  i^i  A )  C_  A
170 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( E  i^i  A ) 
C_  A  <->  ( E  i^i  A )  C_  (/) ) )
171169, 170mpbii 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E  i^i  A )  C_  (/) )
172 ss0 3768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E  i^i  A ) 
C_  (/)  ->  ( E  i^i  A )  =  (/) )
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E  i^i  A )  =  (/) )
174173adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
1 ... n ) )  /\  A  =  (/) )  ->  ( E  i^i  A )  =  (/) )
175174fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
1 ... n ) )  /\  A  =  (/) )  ->  ( M `  ( E  i^i  A ) )  =  ( M `
 (/) ) )
176109ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
1 ... n ) )  /\  A  =  (/) )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
177175, 176eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
1 ... n ) )  /\  A  =  (/) )  ->  ( M `  ( E  i^i  A ) )  =  0 )
17862adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  k  e.  NN  A )
179 disjss1 4372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  NN  ->  (Disj  k  e.  NN  A  -> Disj  k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
180101, 178, 179sylc 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  k  e.  ( 1 ... n
) A )
181165, 167, 168, 104, 177, 180esumrnmpt2 28963 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) ( M `
 ( E  i^i  y ) )  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( M `
 ( E  i^i  A ) ) )
182153, 163, 1813eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( M `  ( E  i^i  A ) ) )
183150, 151, 1823eqtr3rd 2514 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( M `  ( E  i^i  A ) )  =  ( ( M `
 E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) ) )
18417adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1853, 184sseldi 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e. 
RR* )
186185xnegcld 11611 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  RR* )
18715adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 E )  e. 
RR* )
188 iunss1 4281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  NN  ->  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A  C_  U_ k  e.  NN  A )
189100, 188mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A  C_  U_ k  e.  NN  A )
190189sscond 3559 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A )  C_  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
191743adant1r 1285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  C_  y  /\  y  e. 
~P O )  -> 
( M `  x
)  <_  ( M `  y ) )
192108, 77, 190, 84, 191carsgmon 29219 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  <_ 
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )
193 xleneg 11534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( E  \ 
U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR* )  ->  (
( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  <_  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  <->  -e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) )  <_  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
194193biimpa 492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( E  \ 
U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR* )  /\  ( M `  ( E  \ 
U_ k  e.  NN  A ) )  <_ 
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  ->  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  <_  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )
195185, 86, 192, 194syl21anc 1291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  <_  -e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )
196 xleadd2a 11565 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR*  /\  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) )  e. 
RR*  /\  ( M `  E )  e.  RR* )  /\  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  <_  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  ->  ( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )  <_  ( ( M `
 E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
19789, 186, 187, 195, 196syl31anc 1295 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  E ) +e  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  <_  ( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
198183, 197eqbrtrd 4416 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( M `  ( E  i^i  A ) )  <_  ( ( M `
 E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
19976, 22, 198esumgect 28985 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  NN ( M `
 ( E  i^i  A ) )  <_  (
( M `  E
) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
20012, 27, 20, 71, 199xrletrd 11482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  <_  (
( M `  E
) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
2012, 200syl5eqbrr 4430 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) )  <_ 
( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
202 xleadd1a 11564 . . 3  |-  ( ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  RR*  /\  (
( M `  E
) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( E  \ 
U_ k  e.  NN  A ) )  e. 
RR* )  /\  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) )  <_ 
( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  <_  ( (
( M `  E
) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) +e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
20313, 20, 18, 201, 202syl31anc 1295 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  <_  ( ( ( M `  E ) +e  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) +e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
204 xrge0npcan 28531 . . 3  |-  ( ( ( M `  E
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  <_  ( M `  E ) )  -> 
( ( ( M `
 E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  =  ( M `  E ) )
20514, 17, 75, 204syl3anc 1292 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( M `
 E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  =  ( M `  E ) )
206203, 205breqtrd 4420 1  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711    ~<_ cdom 7585   Fincfn 7587   0cc0 9557   1c1 9558   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    <_ cle 9694   NNcn 10631    -ecxne 11429   +ecxad 11430   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  Σ*cesum 28922  toCaraSigaccarsg 29206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-plusf 16565  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-subrg 18084  df-abv 18123  df-lmod 18171  df-scaf 18172  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tmd 21165  df-tgp 21166  df-tsms 21219  df-trg 21252  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nrg 21678  df-nlm 21679  df-ii 21987  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-esum 28923  df-carsg 29207
This theorem is referenced by:  carsgclctunlem3  29225
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