Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgclctunlem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem carsgclctunlem2 29151
 Description: Lemma for carsgclctun 29153. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1
carsgval.2
carsgsiga.1
carsgsiga.2 Σ*
carsgsiga.3
carsgclctunlem2.1 Disj
carsgclctunlem2.2 toCaraSiga
carsgclctunlem2.3
carsgclctunlem2.4
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)

Proof of Theorem carsgclctunlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunin2 4342 . . . . 5
21fveq2i 5868 . . . 4
3 iccssxr 11717 . . . . 5
4 carsgval.2 . . . . . 6
5 nnex 10615 . . . . . . . 8
65a1i 11 . . . . . . 7
7 carsgclctunlem2.3 . . . . . . . . 9
87adantr 467 . . . . . . . 8
98elpwincl1 28154 . . . . . . 7
106, 9elpwiuncl 28156 . . . . . 6
114, 10ffvelrnd 6023 . . . . 5
123, 11sseldi 3430 . . . 4
132, 12syl5eqelr 2534 . . 3
144, 7ffvelrnd 6023 . . . . 5
153, 14sseldi 3430 . . . 4
167elpwdifcl 28155 . . . . . . 7
174, 16ffvelrnd 6023 . . . . . 6
183, 17sseldi 3430 . . . . 5
1918xnegcld 11586 . . . 4
2015, 19xaddcld 11587 . . 3
214adantr 467 . . . . . . . . 9
2221, 9ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8
2322ralrimiva 2802 . . . . . . 7
24 nfcv 2592 . . . . . . . 8
2524esumcl 28851 . . . . . . 7 Σ*
266, 23, 25syl2anc 667 . . . . . 6 Σ*
273, 26sseldi 3430 . . . . 5 Σ*
289ralrimiva 2802 . . . . . . . . 9
29 dfiun3g 5087 . . . . . . . . 9
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8
3130fveq2d 5869 . . . . . . 7
32 nnct 28294 . . . . . . . . . 10
33 mptct 28302 . . . . . . . . . 10
34 rnct 28300 . . . . . . . . . 10
3532, 33, 34mp2b 10 . . . . . . . . 9
3635a1i 11 . . . . . . . 8
37 eqid 2451 . . . . . . . . . 10
3837rnmptss 6052 . . . . . . . . 9
3928, 38syl 17 . . . . . . . 8
40 mptexg 6135 . . . . . . . . . 10
41 rnexg 6725 . . . . . . . . . 10
425, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . 9
43 breq1 4405 . . . . . . . . . . . 12
44 sseq1 3453 . . . . . . . . . . . 12
4543, 443anbi23d 1342 . . . . . . . . . . 11
46 unieq 4206 . . . . . . . . . . . . 13
4746fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12
48 esumeq1 28855 . . . . . . . . . . . 12 Σ* Σ*
4947, 48breq12d 4415 . . . . . . . . . . 11 Σ* Σ*
5045, 49imbi12d 322 . . . . . . . . . 10 Σ* Σ*
51 carsgsiga.2 . . . . . . . . . 10 Σ*
5250, 51vtoclg 3107 . . . . . . . . 9 Σ*
5342, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8 Σ*
5436, 39, 53mpd3an23 1366 . . . . . . 7 Σ*
5531, 54eqbrtrd 4423 . . . . . 6 Σ*
56 fveq2 5865 . . . . . . 7
57 simpr 463 . . . . . . . . 9
5857fveq2d 5869 . . . . . . . 8
59 carsgsiga.1 . . . . . . . . 9
6059ad2antrr 732 . . . . . . . 8
6158, 60eqtrd 2485 . . . . . . 7
62 carsgclctunlem2.1 . . . . . . . . 9 Disj
63 disjin 28196 . . . . . . . . 9 Disj Disj
6462, 63syl 17 . . . . . . . 8 Disj
65 incom 3625 . . . . . . . . . 10
6665rgenw 2749 . . . . . . . . 9
67 disjeq2 4377 . . . . . . . . 9 Disj Disj
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . 8 Disj Disj
6964, 68sylib 200 . . . . . . 7 Disj
7056, 6, 22, 9, 61, 69esumrnmpt2 28889 . . . . . 6 Σ* Σ*
7155, 70breqtrd 4427 . . . . 5 Σ*
72 carsgval.1 . . . . . . . 8
73 difssd 3561 . . . . . . . 8
74 carsgsiga.3 . . . . . . . 8
7572, 4, 73, 7, 74carsgmon 29146 . . . . . . 7
7614, 17, 75xrge0subcld 28345 . . . . . 6
774adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
787adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
7978elpwincl1 28154 . . . . . . . . . . . 12
8077, 79ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . 11
813, 80sseldi 3430 . . . . . . . . . 10
82 xrge0neqmnf 11737 . . . . . . . . . . 11
8380, 82syl 17 . . . . . . . . . 10
8478elpwdifcl 28155 . . . . . . . . . . . 12
8577, 84ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . 11
863, 85sseldi 3430 . . . . . . . . . 10
87 xrge0neqmnf 11737 . . . . . . . . . . 11
8885, 87syl 17 . . . . . . . . . 10
8986xnegcld 11586 . . . . . . . . . 10
90 xnegneg 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9186, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9291adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15
93 xnegeq 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9493adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
95 xnegmnf 11503 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9694, 95syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15
9792, 96eqtr3d 2487 . . . . . . . . . . . . . 14
9897oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13
99 simpll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
100 fz1ssnn 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
102101sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
103 carsgclctunlem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 toCaraSiga
10499, 102, 103syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 toCaraSiga
105104ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 toCaraSiga
106 dfiun3g 5087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 toCaraSiga
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10872adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10959adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110513adant1r 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ*
111 fzfi 12185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
112 mptfi 7873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
113 rnfi 7857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
114111, 112, 113mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
117116rnmptss 6052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 toCaraSiga toCaraSiga
118105, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 toCaraSiga
119108, 77, 109, 110, 115, 118fiunelcarsg 29148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 toCaraSiga
120107, 119eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 toCaraSiga
121108, 77elcarsg 29137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 toCaraSiga
122120, 121mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123122simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
124 ineq1 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125124fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126 difeq1 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127126fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
128125, 127oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
130128, 129eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131130rspcv 3146 . . . . . . . . . . . . . . 15
13278, 123, 131sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14
133132adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
134 xaddpnf1 11519 . . . . . . . . . . . . . . 15
13581, 83, 134syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14
136135adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
13798, 133, 1363eqtr3d 2493 . . . . . . . . . . . 12
138 carsgclctunlem2.4 . . . . . . . . . . . . . 14
139138ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13
140139neneqd 2629 . . . . . . . . . . . 12
141137, 140pm2.65da 580 . . . . . . . . . . 11
142141neqned 2631 . . . . . . . . . 10
143 xaddass 11535 . . . . . . . . . 10
14481, 83, 86, 88, 89, 142, 143syl222anc 1284 . . . . . . . . 9
145 xnegid 11529 . . . . . . . . . . 11
14686, 145syl 17 . . . . . . . . . 10
147146oveq2d 6306 . . . . . . . . 9
148 xaddid1 11532 . . . . . . . . . 10
14981, 148syl 17 . . . . . . . . 9
150144, 147, 1493eqtrd 2489 . . . . . . . 8
151132oveq1d 6305 . . . . . . . 8
152107ineq2d 3634 . . . . . . . . . 10
153152fveq2d 5869 . . . . . . . . 9
154 fmptss 28277 . . . . . . . . . . . . 13
155 rnss 5063 . . . . . . . . . . . . 13
156100, 154, 155mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12
157156a1i 11 . . . . . . . . . . 11
158 disjrnmpt 28195 . . . . . . . . . . . . 13 Disj Disj
15962, 158syl 17 . . . . . . . . . . . 12 Disj
160159adantr 467 . . . . . . . . . . 11 Disj
161 disjss1 4379 . . . . . . . . . . 11 Disj Disj
162157, 160, 161sylc 62 . . . . . . . . . 10 Disj
163108, 77, 109, 110, 115, 118, 162, 78carsgclctunlem1 29149 . . . . . . . . 9 Σ*
164 ineq2 3628 . . . . . . . . . . 11
165164fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10
166111elexi 3055 . . . . . . . . . . 11
167166a1i 11 . . . . . . . . . 10
16899, 102, 22syl2anc 667 . . . . . . . . . 10
169 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . . 15
170 sseq2 3454 . . . . . . . . . . . . . . 15
171169, 170mpbii 215 . . . . . . . . . . . . . 14
172 ss0 3765 . . . . . . . . . . . . . 14
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
174173adantl 468 . . . . . . . . . . . 12
175174fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11
176109ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11
177175, 176eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10
17862adantr 467 . . . . . . . . . . 11 Disj
179 disjss1 4379 . . . . . . . . . . 11 Disj Disj
180101, 178, 179sylc 62 . . . . . . . . . 10 Disj
181165, 167, 168, 104, 177, 180esumrnmpt2 28889 . . . . . . . . 9 Σ* Σ*
182153, 163, 1813eqtrd 2489 . . . . . . . 8 Σ*
183150, 151, 1823eqtr3rd 2494 . . . . . . 7 Σ*
18417adantr 467 . . . . . . . . . 10
1853, 184sseldi 3430 . . . . . . . . 9
186185xnegcld 11586 . . . . . . . 8
18715adantr 467 . . . . . . . 8
188 iunss1 4290 . . . . . . . . . . . 12
189100, 188mp1i 13 . . . . . . . . . . 11
190189sscond 3570 . . . . . . . . . 10
191743adant1r 1261 . . . . . . . . . 10
192108, 77, 190, 84, 191carsgmon 29146 . . . . . . . . 9
193 xleneg 11511 . . . . . . . . . 10
194193biimpa 487 . . . . . . . . 9
195185, 86, 192, 194syl21anc 1267 . . . . . . . 8
196 xleadd2a 11540 . . . . . . . 8
19789, 186, 187, 195, 196syl31anc 1271 . . . . . . 7
198183, 197eqbrtrd 4423 . . . . . 6 Σ*
19976, 22, 198esumgect 28911 . . . . 5 Σ*
20012, 27, 20, 71, 199xrletrd 11459 . . . 4
2012, 200syl5eqbrr 4437 . . 3
202 xleadd1a 11539 . . 3
20313, 20, 18, 201, 202syl31anc 1271 . 2
204 xrge0npcan 28457 . . 3
20514, 17, 75, 204syl3anc 1268 . 2
206203, 205breqtrd 4427 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  cvv 3045   cdif 3401   cin 3403   wss 3404  c0 3731  cpw 3951  cuni 4198  ciun 4278  Disj wdisj 4373   class class class wbr 4402   cmpt 4461   crn 4835  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  com 6692   cdom 7567  cfn 7569  cc0 9539  c1 9540   cpnf 9672   cmnf 9673  cxr 9674   cle 9676  cn 10609   cxne 11406  cxad 11407  cicc 11638  cfz 11784  Σ*cesum 28848  toCaraSigaccarsg 29133 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-ordt 15399  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-ps 16446  df-tsr 16447  df-plusf 16487  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-subrg 18006  df-abv 18045  df-lmod 18093  df-scaf 18094  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-tmd 21087  df-tgp 21088  df-tsms 21141  df-trg 21174  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-nm 21597  df-ngp 21598  df-nrg 21600  df-nlm 21601  df-ii 21909  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-esum 28849  df-carsg 29134 This theorem is referenced by:  carsgclctunlem3  29152
 Copyright terms: Public domain W3C validator