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Theorem carsgclctunlem2 28527
Description: Lemma for carsgclctun 28529. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
carsgval.2  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
carsgsiga.2  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
carsgsiga.3  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
carsgclctunlem2.1  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  NN  A
)
carsgclctunlem2.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
carsgclctunlem2.3  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
carsgclctunlem2.4  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  =/= +oo )
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, E, y    x, M, y    x, O, y    ph, x, y, k    k, E    k, M    k, O    ph, k
Allowed substitution hints:    A( k)    V( x, y, k)

Proof of Theorem carsgclctunlem2
Dummy variables  e  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunin2 4379 . . . . 5  |-  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A )  =  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A )
21fveq2i 5851 . . . 4  |-  ( M `
 U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  =  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A
) )
3 iccssxr 11610 . . . . 5  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
4 carsgval.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
5 nnex 10537 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
7 carsgclctunlem2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
87adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E  e. 
~P O )
98elpwincl1 27620 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E  i^i  A )  e. 
~P O )
106, 9elpwiuncl 27622 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A )  e.  ~P O )
114, 10ffvelrnd 6008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
123, 11sseldi 3487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  e.  RR* )
132, 12syl5eqelr 2547 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) )  e. 
RR* )
144, 7ffvelrnd 6008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
153, 14sseldi 3487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  e.  RR* )
167elpwdifcl 27621 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  \  U_ k  e.  NN  A
)  e.  ~P O
)
174, 16ffvelrnd 6008 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
183, 17sseldi 3487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  RR* )
1918xnegcld 11495 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e. 
RR* )
2015, 19xaddcld 11496 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  e.  RR* )
214adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
2221, 9ffvelrnd 6008 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2322ralrimiva 2868 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( M `  ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
24 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ k NN
2524esumcl 28259 . . . . . . 7  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  A. k  e.  NN  ( M `  ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  NN ( M `  ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
266, 23, 25syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  NN ( M `
 ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
273, 26sseldi 3487 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  NN ( M `
 ( E  i^i  A ) )  e.  RR* )
289ralrimiva 2868 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( E  i^i  A )  e.  ~P O )
29 dfiun3g 5244 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  ( E  i^i  A )  e. 
~P O  ->  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A )  =  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A )  =  U. ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )
3130fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  =  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ) )
32 nnct 27759 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~<_  om
33 mptct 27771 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN  ~<_  om  ->  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om )
34 rnct 27769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om  ->  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om )
3532, 33, 34mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om )
37 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )
3837rnmptss 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  ( E  i^i  A )  e. 
~P O  ->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O
)
3928, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O )
40 mptexg 6117 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN  e.  _V  ->  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  e.  _V )
41 rnexg 6705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  e.  _V  ->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  e.  _V )
425, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  e.  _V
43 breq1 4442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( x  ~<_  om  <->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om ) )
44 sseq1 3510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( x  C_  ~P O  <->  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O ) )
4543, 443anbi23d 1300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( ( ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_ 
~P O )  <->  ( ph  /\ 
ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om  /\  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O
) ) )
46 unieq 4243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  U. x  =  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )
4746fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( M `  U. x )  =  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ) )
48 esumeq1 28263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  -> Σ* y  e.  x ( M `  y )  = Σ* y  e.  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) )
4947, 48breq12d 4452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( ( M `
 U. x )  <_ Σ* y  e.  x ( M `  y )  <-> 
( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) ) )
5045, 49imbi12d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ->  ( ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )  <->  ( ( ph  /\  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om  /\  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O
)  ->  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) ) ) )
51 carsgsiga.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
5250, 51vtoclg 3164 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  e.  _V  ->  ( ( ph  /\  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om  /\  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O
)  ->  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) ) )
5342, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  ~<_  om  /\  ran  (
k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) )  C_  ~P O
)  ->  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) )
5436, 39, 53mpd3an23 1324 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) )
5531, 54eqbrtrd 4459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y ) )
56 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( E  i^i  A )  ->  ( M `  y )  =  ( M `  ( E  i^i  A ) ) )
57 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( E  i^i  A )  =  (/) )  ->  ( E  i^i  A )  =  (/) )
5857fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( E  i^i  A )  =  (/) )  ->  ( M `
 ( E  i^i  A ) )  =  ( M `  (/) ) )
59 carsgsiga.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
6059ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( E  i^i  A )  =  (/) )  ->  ( M `
 (/) )  =  0 )
6158, 60eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( E  i^i  A )  =  (/) )  ->  ( M `
 ( E  i^i  A ) )  =  0 )
62 carsgclctunlem2.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  NN  A
)
63 disjin 27657 . . . . . . . . 9  |-  (Disj  k  e.  NN  A  -> Disj  k  e.  NN  ( A  i^i  E ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  NN  ( A  i^i  E ) )
65 incom 3677 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  E )  =  ( E  i^i  A
)
6665rgenw 2815 . . . . . . . . 9  |-  A. k  e.  NN  ( A  i^i  E )  =  ( E  i^i  A )
67 disjeq2 4414 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  ( A  i^i  E )  =  ( E  i^i  A
)  ->  (Disj  k  e.  NN  ( A  i^i  E )  <-> Disj  k  e.  NN  ( E  i^i  A ) ) )
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (Disj  k  e.  NN  ( A  i^i  E )  <-> Disj  k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )
6964, 68sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )
7056, 6, 22, 9, 61, 69esumrnmpt2 28297 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  ( E  i^i  A ) ) ( M `  y
)  = Σ* k  e.  NN ( M `  ( E  i^i  A ) ) )
7155, 70breqtrd 4463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  <_ Σ* k  e.  NN ( M `  ( E  i^i  A ) ) )
72 carsgval.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
73 difssd 3618 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  \  U_ k  e.  NN  A
)  C_  E )
74 carsgsiga.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
7572, 4, 73, 7, 74carsgmon 28522 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  <_  ( M `  E ) )
7614, 17, 75xrge0subcld 27814 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
774adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
787adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E  e. 
~P O )
7978elpwincl1 27620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  ~P O )
8077, 79ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
813, 80sseldi 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e.  RR* )
82 xrge0neqmnf 27913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =/= -oo )
8380, 82syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =/= -oo )
8478elpwdifcl 27621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  ~P O )
8577, 84ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
863, 85sseldi 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) )  e.  RR* )
87 xrge0neqmnf 27913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =/= -oo )
8885, 87syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) )  =/= -oo )
8986xnegcld 11495 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  e.  RR* )
90 xnegneg 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR*  ->  -e  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )
9186, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )
9291adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  ->  -e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )
93 xnegeq 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo  ->  -e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =  -e -oo )
9493adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  ->  -e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  = 
-e -oo )
95 xnegmnf 11412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -e -oo  = +oo
9694, 95syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  ->  -e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  = +oo )
9792, 96eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = +oo )
9897oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e +oo )
)
99 simpll 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
100 fz1ssnn 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  C_  NN )
102101sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
103 carsgclctunlem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
10499, 102, 103syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
105104ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
106 dfiun3g 5244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  (toCaraSiga `  M )  ->  U_ k  e.  (
1 ... n ) A  =  U. ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A ) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A  =  U. ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) )
10872adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  O  e.  V )
10959adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 (/) )  =  0 )
110513adant1r 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x ( M `  y ) )
111 fzfi 12064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1 ... n )  e. 
Fin
112 mptfi 7811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1 ... n )  e.  Fin  ->  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  e.  Fin )
113 rnfi 7797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  e.  Fin  ->  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A )  e.  Fin )
114111, 112, 113mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  e.  Fin
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  e.  Fin )
116 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  =  ( k  e.  ( 1 ... n
)  |->  A )
117116rnmptss 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  (toCaraSiga `  M )  ->  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A )  C_  (toCaraSiga `  M ) )
118105, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  C_  (toCaraSiga `  M
) )
119108, 77, 109, 110, 115, 118fiunelcarsg 28524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U. ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
120107, 119eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
121108, 77elcarsg 28513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( U_ k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  (toCaraSiga `  M )  <->  ( U_ k  e.  ( 1 ... n ) A 
C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O
( ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e
( M `  (
e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 e ) ) ) )
122120, 121mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( U_ k  e.  ( 1 ... n ) A 
C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O
( ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e
( M `  (
e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 e ) ) )
123122simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. e  e.  ~P  O ( ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )  =  ( M `  e
) )
124 ineq1 3679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  E  ->  (
e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A )  =  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
125124fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  =  E  ->  ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )
126 difeq1 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  E  ->  (
e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A )  =  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
127126fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  =  E  ->  ( M `  ( e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )
128125, 127oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( e  =  E  ->  (
( M `  (
e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e ( M `
 ( e  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) ) )
129 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( e  =  E  ->  ( M `  e )  =  ( M `  E ) )
130128, 129eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  =  E  ->  (
( ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e
( M `  (
e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 e )  <->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 E ) ) )
131130rspcv 3203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E  e.  ~P O  -> 
( A. e  e. 
~P  O ( ( M `  ( e  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( e  \  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )  =  ( M `  e
)  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 E ) ) )
13278, 123, 131sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 E ) )
133132adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) )  =  ( M `  E
) )
134 xaddpnf1 11428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR*  /\  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =/= -oo )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e +oo )  = +oo )
13581, 83, 134syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e +oo )  = +oo )
136135adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) +e +oo )  = +oo )
13798, 133, 1363eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( M `  E
)  = +oo )
138 carsgclctunlem2.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M `  E
)  =/= +oo )
139138ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  -> 
( M `  E
)  =/= +oo )
140139neneqd 2656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )  ->  -.  ( M `  E
)  = +oo )
141137, 140pm2.65da 574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  = -oo )
142141neqned 2657 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =/= -oo )
143 xaddass 11444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =/= -oo )  /\  (
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( E  \ 
U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =/= -oo )  /\  (  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  e.  RR*  /\  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  =/= -oo ) )  ->  ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) ) )
14481, 83, 86, 88, 89, 142, 143syl222anc 1242 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) ) )
145 xnegid 11438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR*  ->  ( ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  0 )
14686, 145syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )  =  0 )
147146oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e 0 ) )
148 xaddid1 11441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR*  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e 0 )  =  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )
14981, 148syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e 0 )  =  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )
150144, 147, 1493eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )
151132oveq1d 6285 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  =  ( ( M `  E ) +e  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) ) )
152107ineq2d 3686 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( E  i^i  U. ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) ) )
153152fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A ) ) ) )
154 fmptss 27743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  NN  ->  ( k  e.  ( 1 ... n )  |->  A ) 
C_  ( k  e.  NN  |->  A ) )
155 rnss 5220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  C_  ( k  e.  NN  |->  A )  ->  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A )  C_  ran  ( k  e.  NN  |->  A ) )
156100, 154, 155mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  C_  ran  ( k  e.  NN  |->  A )
157156a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  (
k  e.  ( 1 ... n )  |->  A )  C_  ran  ( k  e.  NN  |->  A ) )
158 disjrnmpt 27656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Disj  k  e.  NN  A  -> Disj  y  e. 
ran  ( k  e.  NN  |->  A ) y )
15962, 158syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  A ) y )
160159adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  A ) y )
161 disjss1 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A )  C_  ran  ( k  e.  NN  |->  A )  ->  (Disj  y  e.  ran  ( k  e.  NN  |->  A ) y  -> Disj  y  e.  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) y ) )
162157, 160, 161sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  y  e.  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) y )
163108, 77, 109, 110, 115, 118, 162, 78carsgclctunlem1 28525 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U.
ran  ( k  e.  ( 1 ... n
)  |->  A ) ) )  = Σ* y  e.  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) ( M `
 ( E  i^i  y ) ) )
164 ineq2 3680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ( E  i^i  y )  =  ( E  i^i  A
) )
165164fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  ( M `  ( E  i^i  A ) ) )
166111elexi 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
167166a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  e. 
_V )
16899, 102, 22syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( M `  ( E  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
169 inss2 3705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E  i^i  A )  C_  A
170 sseq2 3511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( E  i^i  A ) 
C_  A  <->  ( E  i^i  A )  C_  (/) ) )
171169, 170mpbii 211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E  i^i  A )  C_  (/) )
172 ss0 3815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E  i^i  A ) 
C_  (/)  ->  ( E  i^i  A )  =  (/) )
173171, 172syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E  i^i  A )  =  (/) )
174173adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
1 ... n ) )  /\  A  =  (/) )  ->  ( E  i^i  A )  =  (/) )
175174fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
1 ... n ) )  /\  A  =  (/) )  ->  ( M `  ( E  i^i  A ) )  =  ( M `
 (/) ) )
176109ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
1 ... n ) )  /\  A  =  (/) )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
177175, 176eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
1 ... n ) )  /\  A  =  (/) )  ->  ( M `  ( E  i^i  A ) )  =  0 )
17862adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  k  e.  NN  A )
179 disjss1 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  NN  ->  (Disj  k  e.  NN  A  -> Disj  k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
180101, 178, 179sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  k  e.  ( 1 ... n
) A )
181165, 167, 168, 104, 177, 180esumrnmpt2 28297 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  ( 1 ... n ) 
|->  A ) ( M `
 ( E  i^i  y ) )  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( M `
 ( E  i^i  A ) ) )
182153, 163, 1813eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  i^i  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( M `  ( E  i^i  A ) ) )
183150, 151, 1823eqtr3rd 2504 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( M `  ( E  i^i  A ) )  =  ( ( M `
 E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) ) )
18417adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1853, 184sseldi 3487 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e. 
RR* )
186185xnegcld 11495 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  RR* )
18715adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 E )  e. 
RR* )
188 iunss1 4327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  NN  ->  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A  C_  U_ k  e.  NN  A )
189100, 188mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A  C_  U_ k  e.  NN  A )
190189sscond 3627 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A )  C_  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
191743adant1r 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  C_  y  /\  y  e. 
~P O )  -> 
( M `  x
)  <_  ( M `  y ) )
192108, 77, 190, 84, 191carsgmon 28522 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  <_ 
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )
193 xleneg 11420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( E  \ 
U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR* )  ->  (
( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  <_  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  <->  -e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  (
1 ... n ) A ) )  <_  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
194193biimpa 482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( E  \ 
U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR* )  /\  ( M `  ( E  \ 
U_ k  e.  NN  A ) )  <_ 
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  ->  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  <_  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )
195185, 86, 192, 194syl21anc 1225 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )  <_  -e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )
196 xleadd2a 11449 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  e. 
RR*  /\  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) )  e. 
RR*  /\  ( M `  E )  e.  RR* )  /\  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )  <_  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  ->  ( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) ) )  <_  ( ( M `
 E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
19789, 186, 187, 195, 196syl31anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  E ) +e  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) ) )  <_  ( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
198183, 197eqbrtrd 4459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( M `  ( E  i^i  A ) )  <_  ( ( M `
 E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
19976, 22, 198esumgect 28319 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  NN ( M `
 ( E  i^i  A ) )  <_  (
( M `  E
) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
20012, 27, 20, 71, 199xrletrd 11368 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ k  e.  NN  ( E  i^i  A ) )  <_  (
( M `  E
) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
2012, 200syl5eqbrr 4473 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) )  <_ 
( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
202 xleadd1a 11448 . . 3  |-  ( ( ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  RR*  /\  (
( M `  E
) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( E  \ 
U_ k  e.  NN  A ) )  e. 
RR* )  /\  ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) )  <_ 
( ( M `  E ) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )  ->  (
( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) ) +e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  <_  ( (
( M `  E
) +e  -e ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) +e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
20313, 20, 18, 201, 202syl31anc 1229 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  <_  ( ( ( M `  E ) +e  -e
( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) ) +e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) )
204 xrge0npcan 27918 . . 3  |-  ( ( ( M `  E
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) )  <_  ( M `  E ) )  -> 
( ( ( M `
 E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  =  ( M `  E ) )
20514, 17, 75, 204syl3anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( M `
 E ) +e  -e ( M `  ( E 
\  U_ k  e.  NN  A ) ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  =  ( M `  E ) )
206203, 205breqtrd 4463 1  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U_ k  e.  NN  A ) ) +e ( M `
 ( E  \  U_ k  e.  NN  A ) ) )  <_  ( M `  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   U.cuni 4235   U_ciun 4315  Disj wdisj 4410   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ran crn 4989   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   omcom 6673    ~<_ cdom 7507   Fincfn 7509   0cc0 9481   1c1 9482   +oocpnf 9614   -oocmnf 9615   RR*cxr 9616    <_ cle 9618   NNcn 10531    -ecxne 11318   +ecxad 11319   [,]cicc 11535   ...cfz 11675  Σ*cesum 28256  toCaraSigaccarsg 28509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-ac2 8834  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-ac 8488  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-ordt 14990  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-ps 16029  df-tsr 16030  df-plusf 16070  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-subrg 17622  df-abv 17661  df-lmod 17709  df-scaf 17710  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-tmd 20737  df-tgp 20738  df-tsms 20791  df-trg 20828  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-nm 21269  df-ngp 21270  df-nrg 21272  df-nlm 21273  df-ii 21547  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-esum 28257  df-carsg 28510
This theorem is referenced by:  carsgclctunlem3  28528
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