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Theorem carsgclctun 29149
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
carsgval.2  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
carsgsiga.2  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
carsgsiga.3  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
carsgclctun.1  |-  ( ph  ->  A  ~<_  om )
carsgclctun.2  |-  ( ph  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M
) )
Assertion
Ref Expression
carsgclctun  |-  ( ph  ->  U. A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, M, y    x, O, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem carsgclctun
Dummy variable  e is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carsgclctun.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M
) )
2 uniss 4237 . . . 4  |-  ( A 
C_  (toCaraSiga `  M )  ->  U. A  C_  U. (toCaraSiga `  M ) )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  U. A  C_  U. (toCaraSiga `  M ) )
4 carsgval.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
5 carsgval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
6 carsgsiga.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
74, 5, 6carsguni 29136 . . 3  |-  ( ph  ->  U. (toCaraSiga `  M )  =  O )
83, 7sseqtrd 3500 . 2  |-  ( ph  ->  U. A  C_  O
)
94adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  O  e.  V )
105adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
116adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
12 carsgsiga.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
13123adant1r 1257 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_ 
~P O )  -> 
( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
14 carsgsiga.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
15143adant1r 1257 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O )  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P O )  -> 
( M `  x
)  <_  ( M `  y ) )
16 carsgclctun.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  ~<_  om )
1716adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  A  ~<_  om )
181adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M ) )
19 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  e  e.  ~P O )
209, 10, 11, 13, 15, 17, 18, 19carsgclctunlem3 29148 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( M `  (
e  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( e 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  e ) )
21 inex1g 4564 . . . . . . . . 9  |-  ( e  e.  ~P O  -> 
( e  i^i  U. A )  e.  _V )
2221adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
e  i^i  U. A )  e.  _V )
23 difexg 4569 . . . . . . . . 9  |-  ( e  e.  ~P O  -> 
( e  \  U. A )  e.  _V )
2423adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
e  \  U. A )  e.  _V )
25 prct 28290 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( e  i^i  U. A )  e.  _V  /\  ( e  \  U. A )  e.  _V )  ->  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A ) }  ~<_  om )
2622, 24, 25syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  { ( e  i^i  U. A
) ,  ( e 
\  U. A ) }  ~<_  om )
2719elpwincl1 28143 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
e  i^i  U. A )  e.  ~P O )
2819elpwdifcl 28144 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
e  \  U. A )  e.  ~P O )
29 prssi 4153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( e  i^i  U. A )  e.  ~P O  /\  ( e  \  U. A )  e.  ~P O )  ->  { ( e  i^i  U. A
) ,  ( e 
\  U. A ) } 
C_  ~P O )
3027, 28, 29syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  { ( e  i^i  U. A
) ,  ( e 
\  U. A ) } 
C_  ~P O )
31 prex 4660 . . . . . . . . 9  |-  { ( e  i^i  U. A
) ,  ( e 
\  U. A ) }  e.  _V
32 breq1 4423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A ) }  ->  ( x  ~<_  om  <->  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  ~<_  om )
)
33 sseq1 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A ) }  ->  ( x  C_  ~P O  <->  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  C_  ~P O ) )
3432, 333anbi23d 1338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A ) }  ->  ( ( ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  <->  ( ph  /\ 
{ ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  ~<_  om  /\  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  C_  ~P O ) ) )
35 unieq 4224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A ) }  ->  U. x  =  U. {
( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) } )
3635fveq2d 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A ) }  ->  ( M `  U. x
)  =  ( M `
 U. { ( e  i^i  U. A
) ,  ( e 
\  U. A ) } ) )
37 esumeq1 28851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A ) }  -> Σ* y  e.  x ( M `  y )  = Σ* y  e. 
{ ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  ( M `
 y ) )
3836, 37breq12d 4433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A ) }  ->  ( ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
)  <->  ( M `  U. { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) } )  <_ Σ* y  e.  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  ( M `
 y ) ) )
3934, 38imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A ) }  ->  ( ( ( ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_ 
~P O )  -> 
( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )  <->  ( ( ph  /\  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A ) }  ~<_  om  /\  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. { ( e  i^i  U. A
) ,  ( e 
\  U. A ) } )  <_ Σ* y  e.  {
( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  ( M `
 y ) ) ) )
4039, 12vtoclg 3139 . . . . . . . . 9  |-  ( { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  e.  _V  ->  ( ( ph  /\  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  ~<_  om  /\  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. { ( e  i^i  U. A
) ,  ( e 
\  U. A ) } )  <_ Σ* y  e.  {
( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  ( M `
 y ) ) )
4131, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  { (
e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A ) }  ~<_  om  /\  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. { ( e  i^i  U. A
) ,  ( e 
\  U. A ) } )  <_ Σ* y  e.  {
( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  ( M `
 y ) )
42413adant1r 1257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O )  /\  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  ~<_  om  /\  { ( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. { ( e  i^i  U. A
) ,  ( e 
\  U. A ) } )  <_ Σ* y  e.  {
( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  ( M `
 y ) )
4326, 30, 42mpd3an23 1362 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  U. { ( e  i^i  U. A
) ,  ( e 
\  U. A ) } )  <_ Σ* y  e.  {
( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  ( M `
 y ) )
44 uniprg 4230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( e  i^i  U. A )  e.  ~P O  /\  ( e  \  U. A )  e.  ~P O )  ->  U. {
( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  =  ( ( e  i^i  U. A )  u.  (
e  \  U. A ) ) )
4527, 28, 44syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  U. {
( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  =  ( ( e  i^i  U. A )  u.  (
e  \  U. A ) ) )
46 inundif 3873 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  i^i  U. A
)  u.  ( e 
\  U. A ) )  =  e
4745, 46syl6eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  U. {
( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  =  e )
4847fveq2d 5882 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  U. { ( e  i^i  U. A
) ,  ( e 
\  U. A ) } )  =  ( M `
 e ) )
49 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O )  /\  y  =  ( e  i^i  U. A ) )  ->  y  =  ( e  i^i  U. A
) )
5049fveq2d 5882 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O )  /\  y  =  ( e  i^i  U. A ) )  ->  ( M `  y )  =  ( M `  ( e  i^i  U. A ) ) )
51 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O )  /\  y  =  ( e  \  U. A ) )  ->  y  =  ( e  \  U. A
) )
5251fveq2d 5882 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O )  /\  y  =  ( e  \  U. A ) )  ->  ( M `  y )  =  ( M `  ( e 
\  U. A ) ) )
5310, 27ffvelrnd 6035 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( e  i^i  U. A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5410, 28ffvelrnd 6035 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( e  \  U. A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
55 ineq2 3658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( e  i^i  U. A
)  =  ( e 
\  U. A )  -> 
( ( e  i^i  U. A )  i^i  (
e  i^i  U. A ) )  =  ( ( e  i^i  U. A
)  i^i  ( e  \  U. A ) ) )
56 inidm 3671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( e  i^i  U. A
)  i^i  ( e  i^i  U. A ) )  =  ( e  i^i  U. A )
57 inindif 28137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( e  i^i  U. A
)  i^i  ( e  \  U. A ) )  =  (/)
5855, 56, 573eqtr3g 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( e  i^i  U. A
)  =  ( e 
\  U. A )  -> 
( e  i^i  U. A )  =  (/) )
5958adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O )  /\  ( e  i^i  U. A )  =  ( e  \  U. A
) )  ->  (
e  i^i  U. A )  =  (/) )
6059fveq2d 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O )  /\  ( e  i^i  U. A )  =  ( e  \  U. A
) )  ->  ( M `  ( e  i^i  U. A ) )  =  ( M `  (/) ) )
616ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O )  /\  ( e  i^i  U. A )  =  ( e  \  U. A
) )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
6260, 61eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O )  /\  ( e  i^i  U. A )  =  ( e  \  U. A
) )  ->  ( M `  ( e  i^i  U. A ) )  =  0 )
6362orcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O )  /\  ( e  i^i  U. A )  =  ( e  \  U. A
) )  ->  (
( M `  (
e  i^i  U. A ) )  =  0  \/  ( M `  (
e  i^i  U. A ) )  = +oo )
)
6463ex 435 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( e  i^i  U. A )  =  ( e  \  U. A
)  ->  ( ( M `  ( e  i^i  U. A ) )  =  0  \/  ( M `  ( e  i^i  U. A ) )  = +oo ) ) )
6550, 52, 27, 28, 53, 54, 64esumpr2 28884 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  -> Σ* y  e.  {
( e  i^i  U. A ) ,  ( e  \  U. A
) }  ( M `
 y )  =  ( ( M `  ( e  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( e  \  U. A ) ) ) )
6643, 48, 653brtr3d 4450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  e )  <_  ( ( M `  ( e  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( e  \  U. A ) ) ) )
6720, 66jca 534 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( ( M `  ( e  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( e  \  U. A ) ) )  <_  ( M `  e )  /\  ( M `  e )  <_  ( ( M `  ( e  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( e  \  U. A ) ) ) ) )
68 iccssxr 11718 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
6968, 53sseldi 3462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( e  i^i  U. A ) )  e.  RR* )
7068, 54sseldi 3462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( e  \  U. A ) )  e.  RR* )
7169, 70xaddcld 11588 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( M `  (
e  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( e 
\  U. A ) ) )  e.  RR* )
725ffvelrnda 6034 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  e )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7368, 72sseldi 3462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  e )  e.  RR* )
74 xrletri3 11452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M `  ( e  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( e  \  U. A ) ) )  e.  RR*  /\  ( M `  e )  e.  RR* )  ->  (
( ( M `  ( e  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( e  \  U. A ) ) )  =  ( M `  e )  <->  ( (
( M `  (
e  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( e 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  e )  /\  ( M `  e )  <_  ( ( M `  ( e  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( e  \  U. A ) ) ) ) ) )
7571, 73, 74syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( ( M `  ( e  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( e  \  U. A ) ) )  =  ( M `  e )  <->  ( (
( M `  (
e  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( e 
\  U. A ) ) )  <_  ( M `  e )  /\  ( M `  e )  <_  ( ( M `  ( e  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( e  \  U. A ) ) ) ) ) )
7667, 75mpbird 235 . . 3  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( M `  (
e  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( e 
\  U. A ) ) )  =  ( M `
 e ) )
7776ralrimiva 2839 . 2  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ~P  O ( ( M `
 ( e  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( e  \  U. A ) ) )  =  ( M `  e ) )
784, 5elcarsg 29133 . 2  |-  ( ph  ->  ( U. A  e.  (toCaraSiga `  M )  <->  ( U. A  C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O
( ( M `  ( e  i^i  U. A ) ) +e ( M `  ( e  \  U. A ) ) )  =  ( M `  e ) ) ) )
798, 77, 78mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  U. A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   {cpr 3998   U.cuni 4216   class class class wbr 4420   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   omcom 6703    ~<_ cdom 7572   0cc0 9540   +oocpnf 9673   RR*cxr 9675    <_ cle 9677   +ecxad 11408   [,]cicc 11639  Σ*cesum 28844  toCaraSigaccarsg 29129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-ac2 8894  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-acn 8378  df-ac 8548  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ioc 11641  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13119  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-limsup 13514  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-sum 13741  df-ef 14109  df-sin 14111  df-cos 14112  df-pi 14114  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-ordt 15387  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-ps 16434  df-tsr 16435  df-plusf 16475  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-mhm 16570  df-submnd 16571  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-mulg 16664  df-subg 16802  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-abl 17421  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-cring 17771  df-subrg 17994  df-abv 18033  df-lmod 18081  df-scaf 18082  df-sra 18383  df-rgmod 18384  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-perf 20140  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-tmd 21074  df-tgp 21075  df-tsms 21128  df-trg 21161  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-nm 21584  df-ngp 21585  df-nrg 21587  df-nlm 21588  df-ii 21896  df-cncf 21897  df-limc 22808  df-dv 22809  df-log 23493  df-esum 28845  df-carsg 29130
This theorem is referenced by:  carsgsiga  29150  omsmeas  29151  omsmeasOLD  29152
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