Theorem carduni 8440

Description: The union of a set of cardinals is a cardinal. Theorem 18.14 of [Monk1] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
carduni	|- ( A e. V -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( card ` U. A ) = U. A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem carduni

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5887	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( card ` x ) = ( card ` y ) )
2		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> x = y )
3	1, 2	eqeq12d 2476	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( card ` x ) = x <-> ( card ` y ) = y ) )
4	3	rspcv 3157	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( card ` y ) = y ) )
5		cardon 8403	. . . . . . . . 9 |- ( card ` y ) e. On
6		eleq1 2527	. . . . . . . . 9 |- ( ( card ` y ) = y -> ( ( card ` y ) e. On <-> y e. On ) )
7	5, 6	mpbii 216	. . . . . . . 8 |- ( ( card ` y ) = y -> y e. On )
8	4, 7	syl6com 36	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( y e. A -> y e. On ) )
9	8	ssrdv 3449	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> A C_ On )
10		ssonuni 6639	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( A C_ On -> U. A e. On ) )
11	9, 10	syl5 33	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> U. A e. On ) )
12	11	imp 435	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> U. A e. On )
13		cardonle 8416	. . . 4 |- ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) C_ U. A )
14	12, 13	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( card ` U. A ) C_ U. A )
15		cardon 8403	. . . . 5 |- ( card ` U. A ) e. On
16	15	onirri 5547	. . . 4 |- -. ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A )
17		eluni 4214	. . . . . . . 8 |- ( ( card ` U. A ) e. U. A <-> E. y ( ( card ` U. A ) e. y /\ y e. A ) )
18		elssuni 4240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. A -> y C_ U. A )
19		ssdomg 7640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U. A e. On -> ( y C_ U. A -> y ~<_ U. A ) )
20	19	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y C_ U. A -> y ~<_ U. A ) )
21	18, 20	syl5 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y e. A -> y ~<_ U. A ) )
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( card ` y ) = y -> ( card ` y ) = y )
23		onenon 8408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( card ` y ) e. On -> ( card ` y ) e. dom card )
24	5, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( card ` y ) e. dom card
25	22, 24	syl6eqelr 2548	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( card ` y ) = y -> y e. dom card )
26		onenon 8408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U. A e. On -> U. A e. dom card )
27		carddom2 8436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. dom card /\ U. A e. dom card ) -> ( ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) <-> y ~<_ U. A ) )
28	25, 26, 27	syl2an 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) <-> y ~<_ U. A ) )
29	21, 28	sylibrd 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y e. A -> ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) ) )
30		sseq1 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( card ` y ) = y -> ( ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) <-> y C_ ( card ` U. A ) ) )
31	30	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) <-> y C_ ( card ` U. A ) ) )
32	29, 31	sylibd 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y e. A -> y C_ ( card ` U. A ) ) )
33		ssel 3437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y C_ ( card ` U. A ) -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) )
34	32, 33	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y e. A -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
35	34	ex 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( card ` y ) = y -> ( U. A e. On -> ( y e. A -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) ) )
36	35	com3r 82	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> ( ( card ` y ) = y -> ( U. A e. On -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) ) )
37	4, 36	syld 45	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) ) )
38	37	com4r 89	. . . . . . . . . 10 |- ( ( card ` U. A ) e. y -> ( y e. A -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) ) )
39	38	imp 435	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( card ` U. A ) e. y /\ y e. A ) -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
40	39	exlimiv 1786	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( ( card ` U. A ) e. y /\ y e. A ) -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
41	17, 40	sylbi 200	. . . . . . 7 |- ( ( card ` U. A ) e. U. A -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
42	41	com13 83	. . . . . 6 |- ( U. A e. On -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( ( card ` U. A ) e. U. A -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
43	42	imp 435	. . . . 5 |- ( ( U. A e. On /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( ( card ` U. A ) e. U. A -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) )
44	12, 43	sylancom 678	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( ( card ` U. A ) e. U. A -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) )
45	16, 44	mtoi 183	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> -. ( card ` U. A ) e. U. A )
46	15	onordi 5545	. . . 4 |- Ord ( card ` U. A )
47		eloni 5451	. . . . 5 |- ( U. A e. On -> Ord U. A )
48	12, 47	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> Ord U. A )
49		ordtri4 5478	. . . 4 |- ( ( Ord ( card ` U. A ) /\ Ord U. A ) -> ( ( card ` U. A ) = U. A <-> ( ( card ` U. A ) C_ U. A /\ -. ( card ` U. A ) e. U. A ) ) )
50	46, 48, 49	sylancr 674	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( ( card ` U. A ) = U. A <-> ( ( card ` U. A ) C_ U. A /\ -. ( card ` U. A ) e. U. A ) ) )
51	14, 45, 50	mpbir2and 938	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( card ` U. A ) = U. A )
52	51	ex 440	1 |- ( A e. V -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( card ` U. A ) = U. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1454   E.wex 1673   e. wcel 1897   A.wral 2748   C_ wss 3415   U.cuni 4211   class class class wbr 4415   dom cdm 4852   Ord word 5440   Oncon0 5441   ` cfv 5600   ~<_ cdom 7592   cardccrd 8394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-ord 5444  df-on 5445  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-card 8398

This theorem is referenced by:  cardiun  8441  carduniima  8552