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Theorem carduni 8265
Description: The union of a set of cardinals is a cardinal. Theorem 18.14 of [Monk1] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
carduni  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( card `  U. A )  = 
U. A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem carduni
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( card `  x )  =  ( card `  y
) )
2 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
31, 2eqeq12d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( card `  x )  =  x  <->  ( card `  y
)  =  y ) )
43rspcv 3175 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( card `  y )  =  y ) )
5 cardon 8228 . . . . . . . . 9  |-  ( card `  y )  e.  On
6 eleq1 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( (
card `  y )  e.  On  <->  y  e.  On ) )
75, 6mpbii 211 . . . . . . . 8  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  y  e.  On )
84, 7syl6com 35 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  On ) )
98ssrdv 3473 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  A  C_  On )
10 ssonuni 6511 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  C_  On  ->  U. A  e.  On ) )
119, 10syl5 32 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  U. A  e.  On ) )
1211imp 429 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  U. A  e.  On )
13 cardonle 8241 . . . 4  |-  ( U. A  e.  On  ->  (
card `  U. A ) 
C_  U. A )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  ( card `  U. A ) 
C_  U. A )
15 cardon 8228 . . . . 5  |-  ( card `  U. A )  e.  On
1615onirri 4936 . . . 4  |-  -.  ( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A )
17 eluni 4205 . . . . . . . 8  |-  ( (
card `  U. A )  e.  U. A  <->  E. y
( ( card `  U. A )  e.  y  /\  y  e.  A
) )
18 elssuni 4232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  A  ->  y  C_ 
U. A )
19 ssdomg 7468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U. A  e.  On  ->  ( y  C_  U. A  -> 
y  ~<_  U. A ) )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  C_  U. A  ->  y  ~<_  U. A
) )
2118, 20syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  y  ~<_  U. A
) )
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( card `  y )  =  y )
23 onenon 8233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
card `  y )  e.  On  ->  ( card `  y )  e.  dom  card )
245, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( card `  y )  e.  dom  card
2522, 24syl6eqelr 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  y  e. 
dom  card )
26 onenon 8233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U. A  e.  On  ->  U. A  e.  dom  card )
27 carddom2 8261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  dom  card  /\ 
U. A  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <-> 
y  ~<_  U. A ) )
2825, 26, 27syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( ( card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <-> 
y  ~<_  U. A ) )
2921, 28sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  ( card `  y )  C_  ( card `  U. A ) ) )
30 sseq1 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( (
card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <->  y  C_  ( card `  U. A ) ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( ( card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <-> 
y  C_  ( card ` 
U. A ) ) )
3229, 31sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  y  C_  ( card `  U. A ) ) )
33 ssel 3461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  ( card `  U. A )  ->  (
( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) )
3432, 33syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  ( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
3534ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( U. A  e.  On  ->  ( y  e.  A  -> 
( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  (
card `  U. A ) ) ) ) )
3635com3r 79 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  (
( card `  y )  =  y  ->  ( U. A  e.  On  ->  ( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  (
card `  U. A ) ) ) ) )
374, 36syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( U. A  e.  On  ->  ( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  (
card `  U. A ) ) ) ) )
3837com4r 86 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
card `  U. A )  e.  y  ->  (
y  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( card `  x
)  =  x  -> 
( U. A  e.  On  ->  ( card ` 
U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) ) )
3938imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( card `  U. A )  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( U. A  e.  On  ->  (
card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4039exlimiv 1689 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( ( card `  U. A )  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( U. A  e.  On  ->  (
card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4117, 40sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( (
card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( A. x  e.  A  ( card `  x
)  =  x  -> 
( U. A  e.  On  ->  ( card ` 
U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4241com13 80 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  On  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( (
card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4342imp 429 . . . . 5  |-  ( ( U. A  e.  On  /\ 
A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x )  ->  (
( card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) )
4412, 43sylancom 667 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  (
( card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) )
4516, 44mtoi 178 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  -.  ( card `  U. A )  e.  U. A )
4615onordi 4934 . . . 4  |-  Ord  ( card `  U. A )
47 eloni 4840 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  On  ->  Ord  U. A )
4812, 47syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  Ord  U. A )
49 ordtri4 4867 . . . 4  |-  ( ( Ord  ( card `  U. A )  /\  Ord  U. A )  ->  (
( card `  U. A )  =  U. A  <->  ( ( card `  U. A ) 
C_  U. A  /\  -.  ( card `  U. A )  e.  U. A ) ) )
5046, 48, 49sylancr 663 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  (
( card `  U. A )  =  U. A  <->  ( ( card `  U. A ) 
C_  U. A  /\  -.  ( card `  U. A )  e.  U. A ) ) )
5114, 45, 50mpbir2and 913 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  ( card `  U. A )  =  U. A )
5251ex 434 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( card `  U. A )  = 
U. A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2799    C_ wss 3439   U.cuni 4202   class class class wbr 4403   Ord word 4829   Oncon0 4830   dom cdm 4951   ` cfv 5529    ~<_ cdom 7421   cardccrd 8219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-card 8223
This theorem is referenced by:  cardiun  8266  carduniima  8380
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