Theorem carduni 6010

Description: The union of a set of cardinals is a cardinal. Theorem 18.14 of [Monk1] p. 133.

Assertion

Ref	Expression
carduni	|- (A e. B -> (A.x e. A (card` x) = x -> (card` U.A) = U.A))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem carduni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssonuni 3872	. . . . . 6 |- (A e. B -> (A C_ On -> U.A e. On))
2		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> (card` x) = (card` y))
3		id 73	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> x = y)
4	2, 3	eqeq12d 1899	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> ((card` x) = x <-> (card` y) = y))
5	4	rcla4v 2376	. . . . . . . 8 |- (y e. A -> (A.x e. A (card` x) = x -> (card` y) = y))
6		cardon 5976	. . . . . . . . 9 |- (card` y) e. On
7		eleq1 1957	. . . . . . . . 9 |- ((card` y) = y -> ((card` y) e. On <-> y e. On))
8	6, 7	mpbii 210	. . . . . . . 8 |- ((card` y) = y -> y e. On)
9	5, 8	syl6com 64	. . . . . . 7 |- (A.x e. A (card` x) = x -> (y e. A -> y e. On))
10	9	ssrdv 2622	. . . . . 6 |- (A.x e. A (card` x) = x -> A C_ On)
11	1, 10	syl5 20	. . . . 5 |- (A e. B -> (A.x e. A (card` x) = x -> U.A e. On))
12	11	imp 377	. . . 4 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> U.A e. On)
13		eloni 3667	. . . 4 |- (U.A e. On -> Ord U.A)
14		cardon 5976	. . . . . 6 |- (card` U.A) e. On
15	14	onordi 3774	. . . . 5 |- Ord (card` U.A)
16		ordtri4 3699	. . . . 5 |- ((Ord (card` U.A) /\ Ord U.A) -> ((card` U.A) = U.A <-> ((card` U.A) C_ U.A /\ -. (card` U.A) e. U.A)))
17	15, 16	mpan 759	. . . 4 |- (Ord U.A -> ((card` U.A) = U.A <-> ((card` U.A) C_ U.A /\ -. (card` U.A) e. U.A)))
18	12, 13, 17	3syl 24	. . 3 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> ((card` U.A) = U.A <-> ((card` U.A) C_ U.A /\ -. (card` U.A) e. U.A)))
19		cardonle 5868	. . . 4 |- (U.A e. On -> (card` U.A) C_ U.A)
20	12, 19	syl 12	. . 3 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> (card` U.A) C_ U.A)
21		elirr 5701	. . . 4 |- -. (card` U.A) e. (card` U.A)
22		eluni 3180	. . . . . . 7 |- ((card` U.A) e. U.A <-> E.y((card` U.A) e. y /\ y e. A))
23		uniexg 3795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A e. B -> U.A e. _V)
24		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- y e. _V
25		carddom 5987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y e. _V /\ U.A e. _V) -> ((card` y) C_ (card` U.A) <-> y ~<_ U.A))
26	24, 25	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (U.A e. _V -> ((card` y) C_ (card` U.A) <-> y ~<_ U.A))
27	26	bicomd 580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (U.A e. _V -> (y ~<_ U.A <-> (card` y) C_ (card` U.A)))
28	23, 27	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A e. B -> (y ~<_ U.A <-> (card` y) C_ (card` U.A)))
29		sseq1 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((card` y) = y -> ((card` y) C_ (card` U.A) <-> y C_ (card` U.A)))
30	28, 29	sylan9bb 599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. B /\ (card` y) = y) -> (y ~<_ U.A <-> y C_ (card` U.A)))
31		elssuni 3206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. A -> y C_ U.A)
32		ssdomg 5467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. _V -> (y C_ U.A -> y ~<_ U.A))
33	24, 32	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y C_ U.A -> y ~<_ U.A)
34	31, 33	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. A -> y ~<_ U.A)
35	30, 34	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. B /\ (card` y) = y) -> (y e. A -> y C_ (card` U.A)))
36		ssel 2615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y C_ (card` U.A) -> ((card` U.A) e. y -> (card` U.A) e. (card` U.A)))
37	35, 36	syl6 25	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. B /\ (card` y) = y) -> (y e. A -> ((card` U.A) e. y -> (card` U.A) e. (card` U.A))))
38	37	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. B -> ((card` y) = y -> (y e. A -> ((card` U.A) e. y -> (card` U.A) e. (card` U.A)))))
39	38	com13 37	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. A -> ((card` y) = y -> (A e. B -> ((card` U.A) e. y -> (card` U.A) e. (card` U.A)))))
40	5, 39	syld 30	. . . . . . . . . 10 |- (y e. A -> (A.x e. A (card` x) = x -> (A e. B -> ((card` U.A) e. y -> (card` U.A) e. (card` U.A)))))
41	40	com4r 45	. . . . . . . . 9 |- ((card` U.A) e. y -> (y e. A -> (A.x e. A (card` x) = x -> (A e. B -> (card` U.A) e. (card` U.A)))))
42	41	imp 377	. . . . . . . 8 |- (((card` U.A) e. y /\ y e. A) -> (A.x e. A (card` x) = x -> (A e. B -> (card` U.A) e. (card` U.A))))
43	42	19.23aiv 1674	. . . . . . 7 |- (E.y((card` U.A) e. y /\ y e. A) -> (A.x e. A (card` x) = x -> (A e. B -> (card` U.A) e. (card` U.A))))
44	22, 43	sylbi 216	. . . . . 6 |- ((card` U.A) e. U.A -> (A.x e. A (card` x) = x -> (A e. B -> (card` U.A) e. (card` U.A))))
45	44	com13 37	. . . . 5 |- (A e. B -> (A.x e. A (card` x) = x -> ((card` U.A) e. U.A -> (card` U.A) e. (card` U.A))))
46	45	imp 377	. . . 4 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> ((card` U.A) e. U.A -> (card` U.A) e. (card` U.A)))
47	21, 46	mtoi 122	. . 3 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> -. (card` U.A) e. U.A)
48	18, 20, 47	mpbir2and 802	. 2 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> (card` U.A) = U.A)
49	48	ex 402	1 |- (A e. B -> (A.x e. A (card` x) = x -> (card` U.A) = U.A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  Ord word 3656  Oncon0 3657  ` cfv 3998   ~<_ cdom 5424  cardccrd 5859

This theorem is referenced by:  cardiun 6011  carduniima 6038

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-card 5862

Copyright terms: Public domain