Theorem carduni 8265

Description: The union of a set of cardinals is a cardinal. Theorem 18.14 of [Monk1] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
carduni	|- ( A e. V -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( card ` U. A ) = U. A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem carduni

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5802	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( card ` x ) = ( card ` y ) )
2		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> x = y )
3	1, 2	eqeq12d 2476	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( card ` x ) = x <-> ( card ` y ) = y ) )
4	3	rspcv 3175	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( card ` y ) = y ) )
5		cardon 8228	. . . . . . . . 9 |- ( card ` y ) e. On
6		eleq1 2526	. . . . . . . . 9 |- ( ( card ` y ) = y -> ( ( card ` y ) e. On <-> y e. On ) )
7	5, 6	mpbii 211	. . . . . . . 8 |- ( ( card ` y ) = y -> y e. On )
8	4, 7	syl6com 35	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( y e. A -> y e. On ) )
9	8	ssrdv 3473	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> A C_ On )
10		ssonuni 6511	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( A C_ On -> U. A e. On ) )
11	9, 10	syl5 32	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> U. A e. On ) )
12	11	imp 429	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> U. A e. On )
13		cardonle 8241	. . . 4 |- ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) C_ U. A )
14	12, 13	syl 16	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( card ` U. A ) C_ U. A )
15		cardon 8228	. . . . 5 |- ( card ` U. A ) e. On
16	15	onirri 4936	. . . 4 |- -. ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A )
17		eluni 4205	. . . . . . . 8 |- ( ( card ` U. A ) e. U. A <-> E. y ( ( card ` U. A ) e. y /\ y e. A ) )
18		elssuni 4232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. A -> y C_ U. A )
19		ssdomg 7468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U. A e. On -> ( y C_ U. A -> y ~<_ U. A ) )
20	19	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y C_ U. A -> y ~<_ U. A ) )
21	18, 20	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y e. A -> y ~<_ U. A ) )
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( card ` y ) = y -> ( card ` y ) = y )
23		onenon 8233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( card ` y ) e. On -> ( card ` y ) e. dom card )
24	5, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( card ` y ) e. dom card
25	22, 24	syl6eqelr 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( card ` y ) = y -> y e. dom card )
26		onenon 8233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U. A e. On -> U. A e. dom card )
27		carddom2 8261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. dom card /\ U. A e. dom card ) -> ( ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) <-> y ~<_ U. A ) )
28	25, 26, 27	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) <-> y ~<_ U. A ) )
29	21, 28	sylibrd 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y e. A -> ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) ) )
30		sseq1 3488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( card ` y ) = y -> ( ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) <-> y C_ ( card ` U. A ) ) )
31	30	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) <-> y C_ ( card ` U. A ) ) )
32	29, 31	sylibd 214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y e. A -> y C_ ( card ` U. A ) ) )
33		ssel 3461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y C_ ( card ` U. A ) -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) )
34	32, 33	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y e. A -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
35	34	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( card ` y ) = y -> ( U. A e. On -> ( y e. A -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) ) )
36	35	com3r 79	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> ( ( card ` y ) = y -> ( U. A e. On -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) ) )
37	4, 36	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) ) )
38	37	com4r 86	. . . . . . . . . 10 |- ( ( card ` U. A ) e. y -> ( y e. A -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) ) )
39	38	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( card ` U. A ) e. y /\ y e. A ) -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
40	39	exlimiv 1689	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( ( card ` U. A ) e. y /\ y e. A ) -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
41	17, 40	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( ( card ` U. A ) e. U. A -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
42	41	com13 80	. . . . . 6 |- ( U. A e. On -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( ( card ` U. A ) e. U. A -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
43	42	imp 429	. . . . 5 |- ( ( U. A e. On /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( ( card ` U. A ) e. U. A -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) )
44	12, 43	sylancom 667	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( ( card ` U. A ) e. U. A -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) )
45	16, 44	mtoi 178	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> -. ( card ` U. A ) e. U. A )
46	15	onordi 4934	. . . 4 |- Ord ( card ` U. A )
47		eloni 4840	. . . . 5 |- ( U. A e. On -> Ord U. A )
48	12, 47	syl 16	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> Ord U. A )
49		ordtri4 4867	. . . 4 |- ( ( Ord ( card ` U. A ) /\ Ord U. A ) -> ( ( card ` U. A ) = U. A <-> ( ( card ` U. A ) C_ U. A /\ -. ( card ` U. A ) e. U. A ) ) )
50	46, 48, 49	sylancr 663	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( ( card ` U. A ) = U. A <-> ( ( card ` U. A ) C_ U. A /\ -. ( card ` U. A ) e. U. A ) ) )
51	14, 45, 50	mpbir2and 913	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( card ` U. A ) = U. A )
52	51	ex 434	1 |- ( A e. V -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( card ` U. A ) = U. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   A.wral 2799   C_ wss 3439   U.cuni 4202   class class class wbr 4403   Ord word 4829   Oncon0 4830   dom cdm 4951   ` cfv 5529   ~<_ cdom 7421   cardccrd 8219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-card 8223

This theorem is referenced by:  cardiun  8266  carduniima  8380