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Theorem carduni 8440
Description: The union of a set of cardinals is a cardinal. Theorem 18.14 of [Monk1] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
carduni  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( card `  U. A )  = 
U. A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem carduni
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5887 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( card `  x )  =  ( card `  y
) )
2 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
31, 2eqeq12d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( card `  x )  =  x  <->  ( card `  y
)  =  y ) )
43rspcv 3157 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( card `  y )  =  y ) )
5 cardon 8403 . . . . . . . . 9  |-  ( card `  y )  e.  On
6 eleq1 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( (
card `  y )  e.  On  <->  y  e.  On ) )
75, 6mpbii 216 . . . . . . . 8  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  y  e.  On )
84, 7syl6com 36 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  On ) )
98ssrdv 3449 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  A  C_  On )
10 ssonuni 6639 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  C_  On  ->  U. A  e.  On ) )
119, 10syl5 33 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  U. A  e.  On ) )
1211imp 435 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  U. A  e.  On )
13 cardonle 8416 . . . 4  |-  ( U. A  e.  On  ->  (
card `  U. A ) 
C_  U. A )
1412, 13syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  ( card `  U. A ) 
C_  U. A )
15 cardon 8403 . . . . 5  |-  ( card `  U. A )  e.  On
1615onirri 5547 . . . 4  |-  -.  ( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A )
17 eluni 4214 . . . . . . . 8  |-  ( (
card `  U. A )  e.  U. A  <->  E. y
( ( card `  U. A )  e.  y  /\  y  e.  A
) )
18 elssuni 4240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  A  ->  y  C_ 
U. A )
19 ssdomg 7640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U. A  e.  On  ->  ( y  C_  U. A  -> 
y  ~<_  U. A ) )
2019adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  C_  U. A  ->  y  ~<_  U. A
) )
2118, 20syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  y  ~<_  U. A
) )
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( card `  y )  =  y )
23 onenon 8408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
card `  y )  e.  On  ->  ( card `  y )  e.  dom  card )
245, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( card `  y )  e.  dom  card
2522, 24syl6eqelr 2548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  y  e. 
dom  card )
26 onenon 8408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U. A  e.  On  ->  U. A  e.  dom  card )
27 carddom2 8436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  dom  card  /\ 
U. A  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <-> 
y  ~<_  U. A ) )
2825, 26, 27syl2an 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( ( card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <-> 
y  ~<_  U. A ) )
2921, 28sylibrd 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  ( card `  y )  C_  ( card `  U. A ) ) )
30 sseq1 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( (
card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <->  y  C_  ( card `  U. A ) ) )
3130adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( ( card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <-> 
y  C_  ( card ` 
U. A ) ) )
3229, 31sylibd 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  y  C_  ( card `  U. A ) ) )
33 ssel 3437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  ( card `  U. A )  ->  (
( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) )
3432, 33syl6 34 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  ( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
3534ex 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( U. A  e.  On  ->  ( y  e.  A  -> 
( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  (
card `  U. A ) ) ) ) )
3635com3r 82 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  (
( card `  y )  =  y  ->  ( U. A  e.  On  ->  ( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  (
card `  U. A ) ) ) ) )
374, 36syld 45 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( U. A  e.  On  ->  ( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  (
card `  U. A ) ) ) ) )
3837com4r 89 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
card `  U. A )  e.  y  ->  (
y  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( card `  x
)  =  x  -> 
( U. A  e.  On  ->  ( card ` 
U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) ) )
3938imp 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( card `  U. A )  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( U. A  e.  On  ->  (
card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4039exlimiv 1786 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( ( card `  U. A )  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( U. A  e.  On  ->  (
card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4117, 40sylbi 200 . . . . . . 7  |-  ( (
card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( A. x  e.  A  ( card `  x
)  =  x  -> 
( U. A  e.  On  ->  ( card ` 
U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4241com13 83 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  On  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( (
card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4342imp 435 . . . . 5  |-  ( ( U. A  e.  On  /\ 
A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x )  ->  (
( card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) )
4412, 43sylancom 678 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  (
( card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) )
4516, 44mtoi 183 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  -.  ( card `  U. A )  e.  U. A )
4615onordi 5545 . . . 4  |-  Ord  ( card `  U. A )
47 eloni 5451 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  On  ->  Ord  U. A )
4812, 47syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  Ord  U. A )
49 ordtri4 5478 . . . 4  |-  ( ( Ord  ( card `  U. A )  /\  Ord  U. A )  ->  (
( card `  U. A )  =  U. A  <->  ( ( card `  U. A ) 
C_  U. A  /\  -.  ( card `  U. A )  e.  U. A ) ) )
5046, 48, 49sylancr 674 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  (
( card `  U. A )  =  U. A  <->  ( ( card `  U. A ) 
C_  U. A  /\  -.  ( card `  U. A )  e.  U. A ) ) )
5114, 45, 50mpbir2and 938 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  ( card `  U. A )  =  U. A )
5251ex 440 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( card `  U. A )  = 
U. A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454   E.wex 1673    e. wcel 1897   A.wral 2748    C_ wss 3415   U.cuni 4211   class class class wbr 4415   dom cdm 4852   Ord word 5440   Oncon0 5441   ` cfv 5600    ~<_ cdom 7592   cardccrd 8394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-ord 5444  df-on 5445  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-card 8398
This theorem is referenced by:  cardiun  8441  carduniima  8552
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