Theorem carduni 8394

Description: The union of a set of cardinals is a cardinal. Theorem 18.14 of [Monk1] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
carduni	|- ( A e. V -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( card ` U. A ) = U. A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem carduni

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5849	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( card ` x ) = ( card ` y ) )
2		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> x = y )
3	1, 2	eqeq12d 2424	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( card ` x ) = x <-> ( card ` y ) = y ) )
4	3	rspcv 3156	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( card ` y ) = y ) )
5		cardon 8357	. . . . . . . . 9 |- ( card ` y ) e. On
6		eleq1 2474	. . . . . . . . 9 |- ( ( card ` y ) = y -> ( ( card ` y ) e. On <-> y e. On ) )
7	5, 6	mpbii 211	. . . . . . . 8 |- ( ( card ` y ) = y -> y e. On )
8	4, 7	syl6com 33	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( y e. A -> y e. On ) )
9	8	ssrdv 3448	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> A C_ On )
10		ssonuni 6604	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( A C_ On -> U. A e. On ) )
11	9, 10	syl5 30	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> U. A e. On ) )
12	11	imp 427	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> U. A e. On )
13		cardonle 8370	. . . 4 |- ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) C_ U. A )
14	12, 13	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( card ` U. A ) C_ U. A )
15		cardon 8357	. . . . 5 |- ( card ` U. A ) e. On
16	15	onirri 5516	. . . 4 |- -. ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A )
17		eluni 4194	. . . . . . . 8 |- ( ( card ` U. A ) e. U. A <-> E. y ( ( card ` U. A ) e. y /\ y e. A ) )
18		elssuni 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. A -> y C_ U. A )
19		ssdomg 7599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U. A e. On -> ( y C_ U. A -> y ~<_ U. A ) )
20	19	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y C_ U. A -> y ~<_ U. A ) )
21	18, 20	syl5 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y e. A -> y ~<_ U. A ) )
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( card ` y ) = y -> ( card ` y ) = y )
23		onenon 8362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( card ` y ) e. On -> ( card ` y ) e. dom card )
24	5, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( card ` y ) e. dom card
25	22, 24	syl6eqelr 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( card ` y ) = y -> y e. dom card )
26		onenon 8362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U. A e. On -> U. A e. dom card )
27		carddom2 8390	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. dom card /\ U. A e. dom card ) -> ( ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) <-> y ~<_ U. A ) )
28	25, 26, 27	syl2an 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) <-> y ~<_ U. A ) )
29	21, 28	sylibrd 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y e. A -> ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) ) )
30		sseq1 3463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( card ` y ) = y -> ( ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) <-> y C_ ( card ` U. A ) ) )
31	30	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) <-> y C_ ( card ` U. A ) ) )
32	29, 31	sylibd 214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y e. A -> y C_ ( card ` U. A ) ) )
33		ssel 3436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y C_ ( card ` U. A ) -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) )
34	32, 33	syl6 31	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y e. A -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
35	34	ex 432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( card ` y ) = y -> ( U. A e. On -> ( y e. A -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) ) )
36	35	com3r 79	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> ( ( card ` y ) = y -> ( U. A e. On -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) ) )
37	4, 36	syld 42	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) ) )
38	37	com4r 86	. . . . . . . . . 10 |- ( ( card ` U. A ) e. y -> ( y e. A -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) ) )
39	38	imp 427	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( card ` U. A ) e. y /\ y e. A ) -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
40	39	exlimiv 1743	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( ( card ` U. A ) e. y /\ y e. A ) -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
41	17, 40	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( ( card ` U. A ) e. U. A -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
42	41	com13 80	. . . . . 6 |- ( U. A e. On -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( ( card ` U. A ) e. U. A -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
43	42	imp 427	. . . . 5 |- ( ( U. A e. On /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( ( card ` U. A ) e. U. A -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) )
44	12, 43	sylancom 665	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( ( card ` U. A ) e. U. A -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) )
45	16, 44	mtoi 178	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> -. ( card ` U. A ) e. U. A )
46	15	onordi 5514	. . . 4 |- Ord ( card ` U. A )
47		eloni 5420	. . . . 5 |- ( U. A e. On -> Ord U. A )
48	12, 47	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> Ord U. A )
49		ordtri4 5447	. . . 4 |- ( ( Ord ( card ` U. A ) /\ Ord U. A ) -> ( ( card ` U. A ) = U. A <-> ( ( card ` U. A ) C_ U. A /\ -. ( card ` U. A ) e. U. A ) ) )
50	46, 48, 49	sylancr 661	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( ( card ` U. A ) = U. A <-> ( ( card ` U. A ) C_ U. A /\ -. ( card ` U. A ) e. U. A ) ) )
51	14, 45, 50	mpbir2and 923	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( card ` U. A ) = U. A )
52	51	ex 432	1 |- ( A e. V -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( card ` U. A ) = U. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   E.wex 1633   e. wcel 1842   A.wral 2754   C_ wss 3414   U.cuni 4191   class class class wbr 4395   dom cdm 4823   Ord word 5409   Oncon0 5410   ` cfv 5569   ~<_ cdom 7552   cardccrd 8348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-ord 5413  df-on 5414  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-card 8352

This theorem is referenced by:  cardiun  8395  carduniima  8509