MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardom Structured version   Unicode version

Theorem cardom 8356
Description: The set of natural numbers is a cardinal number. Theorem 18.11 of [Monk1] p. 133. (Contributed by NM, 28-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
cardom  |-  ( card `  om )  =  om

Proof of Theorem cardom
StepHypRef Expression
1 omelon 8052 . . . 4  |-  om  e.  On
2 oncardid 8326 . . . 4  |-  ( om  e.  On  ->  ( card `  om )  ~~  om )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  ( card `  om )  ~~  om
4 nnsdom 8059 . . . 4  |-  ( (
card `  om )  e. 
om  ->  ( card `  om )  ~<  om )
5 sdomnen 7534 . . . 4  |-  ( (
card `  om )  ~<  om  ->  -.  ( card ` 
om )  ~~  om )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( (
card `  om )  e. 
om  ->  -.  ( card ` 
om )  ~~  om )
73, 6mt2 179 . 2  |-  -.  ( card `  om )  e. 
om
8 cardonle 8327 . . . 4  |-  ( om  e.  On  ->  ( card `  om )  C_  om )
91, 8ax-mp 5 . . 3  |-  ( card `  om )  C_  om
10 cardon 8314 . . . 4  |-  ( card `  om )  e.  On
1110, 1onsseli 4985 . . 3  |-  ( (
card `  om )  C_  om  <->  ( ( card `  om )  e.  om  \/  ( card `  om )  =  om ) )
129, 11mpbi 208 . 2  |-  ( (
card `  om )  e. 
om  \/  ( card ` 
om )  =  om )
137, 12mtpor 1582 1  |-  ( card `  om )  =  om
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 368    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   Oncon0 4871   ` cfv 5579   omcom 6671    ~~ cen 7503    ~< csdm 7505   cardccrd 8305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309
This theorem is referenced by:  infxpidm2  8383  alephcard  8440  infenaleph  8461  alephval2  8936  pwfseqlem5  9030
  Copyright terms: Public domain W3C validator