MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardom Structured version   Unicode version

Theorem cardom 8298
Description: The set of natural numbers is a cardinal number. Theorem 18.11 of [Monk1] p. 133. (Contributed by NM, 28-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
cardom  |-  ( card `  om )  =  om

Proof of Theorem cardom
StepHypRef Expression
1 omelon 7995 . . . 4  |-  om  e.  On
2 oncardid 8268 . . . 4  |-  ( om  e.  On  ->  ( card `  om )  ~~  om )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  ( card `  om )  ~~  om
4 nnsdom 8002 . . . 4  |-  ( (
card `  om )  e. 
om  ->  ( card `  om )  ~<  om )
5 sdomnen 7481 . . . 4  |-  ( (
card `  om )  ~<  om  ->  -.  ( card ` 
om )  ~~  om )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( (
card `  om )  e. 
om  ->  -.  ( card ` 
om )  ~~  om )
73, 6mt2 179 . 2  |-  -.  ( card `  om )  e. 
om
8 cardonle 8269 . . . 4  |-  ( om  e.  On  ->  ( card `  om )  C_  om )
91, 8ax-mp 5 . . 3  |-  ( card `  om )  C_  om
10 cardon 8256 . . . 4  |-  ( card `  om )  e.  On
1110, 1onsseli 4919 . . 3  |-  ( (
card `  om )  C_  om  <->  ( ( card `  om )  e.  om  \/  ( card `  om )  =  om ) )
129, 11mpbi 208 . 2  |-  ( (
card `  om )  e. 
om  \/  ( card ` 
om )  =  om )
137, 12mtpor 1617 1  |-  ( card `  om )  =  om
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 366    = wceq 1399    e. wcel 1836    C_ wss 3402   class class class wbr 4380   Oncon0 4805   ` cfv 5509   omcom 6617    ~~ cen 7450    ~< csdm 7452   cardccrd 8247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-inf2 7990
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-ral 2747  df-rex 2748  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-om 6618  df-er 7247  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-card 8251
This theorem is referenced by:  infxpidm2  8325  alephcard  8382  infenaleph  8403  alephval2  8878  pwfseqlem5  8970
  Copyright terms: Public domain W3C validator