Theorem cardom 5872

Description: The set of natural numbers is a cardinal number. Theorem 18.11 of [Monk1] p. 133.

Assertion

Ref	Expression
cardom	|- (card` om) = om

Proof of Theorem cardom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 5736	. . . 4 |- om e. On
2		oncardid 5867	. . . 4 |- (om e. On -> (card` om) ~~ om)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- (card` om) ~~ om
4		nnsdom 5742	. . . 4 |- ((card` om) e. om -> (card` om) ~< om)
5		sdomnen 5446	. . . 4 |- ((card` om) ~< om -> -. (card` om) ~~ om)
6	4, 5	syl 12	. . 3 |- ((card` om) e. om -> -. (card` om) ~~ om)
7	3, 6	mt2 124	. 2 |- -. (card` om) e. om
8		cardonle 5868	. . . . 5 |- (om e. On -> (card` om) C_ om)
9	1, 8	ax-mp 7	. . . 4 |- (card` om) C_ om
10		oncardon 5866	. . . . . 6 |- (om e. On -> (card` om) e. On)
11	1, 10	ax-mp 7	. . . . 5 |- (card` om) e. On
12	11, 1	onsseli 3784	. . . 4 |- ((card` om) C_ om <-> ((card` om) e. om \/ (card` om) = om))
13	9, 12	mpbi 206	. . 3 |- ((card` om) e. om \/ (card` om) = om)
14	13	ori 247	. 2 |- (-. (card` om) e. om -> (card` om) = om)
15	7, 14	ax-mp 7	1 |- (card` om) = om

Syntax hints:  -. wn 2   \/ wo 239   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  Oncon0 3657  omcom 3949  ` cfv 3998   ~~ cen 5423   ~< csdm 5425  cardccrd 5859

This theorem is referenced by:  alephcard 6015  alephval2 6050  cfom 6064

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-card 5862

Copyright terms: Public domain