MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardnn Structured version   Unicode version

Theorem cardnn 8243
Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardnn  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  =  A )

Proof of Theorem cardnn
StepHypRef Expression
1 nnon 6591 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
2 onenon 8229 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  A  e.  dom  card )
3 cardid2 8233 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  ->  (
card `  A )  ~~  A )
41, 2, 33syl 20 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  ~~  A )
5 nnfi 7613 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
6 ficardom 8241 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  e. 
om )
8 nneneq 7603 . . 3  |-  ( ( ( card `  A
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( card `  A
)  ~~  A  <->  ( card `  A )  =  A ) )
97, 8mpancom 669 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( card `  A )  ~~  A  <->  ( card `  A
)  =  A ) )
104, 9mpbid 210 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4399   Oncon0 4826   dom cdm 4947   ` cfv 5525   omcom 6585    ~~ cen 7416   Fincfn 7419   cardccrd 8215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-om 6586  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-card 8219
This theorem is referenced by:  card1  8248  cardennn  8263  cardsucnn  8265  nnsdomel  8270  pm54.43lem  8279  iscard3  8373  nnacda  8480  ficardun  8481  ficardun2  8482  pwsdompw  8483  ackbij2  8522  sdom2en01  8581  fin23lem22  8606  fin1a2lem9  8687  ficard  8839  cfpwsdom  8858  cardfz  11908  hashgval2  12258  hashdom  12259
  Copyright terms: Public domain W3C validator