MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardnn Structured version   Unicode version

Theorem cardnn 8376
Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardnn  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  =  A )

Proof of Theorem cardnn
StepHypRef Expression
1 nnon 6689 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
2 onenon 8362 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  A  e.  dom  card )
3 cardid2 8366 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  ->  (
card `  A )  ~~  A )
41, 2, 33syl 18 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  ~~  A )
5 nnfi 7748 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
6 ficardom 8374 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  e. 
om )
8 nneneq 7738 . . 3  |-  ( ( ( card `  A
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( card `  A
)  ~~  A  <->  ( card `  A )  =  A ) )
97, 8mpancom 667 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( card `  A )  ~~  A  <->  ( card `  A
)  =  A ) )
104, 9mpbid 210 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4395   dom cdm 4823   Oncon0 5410   ` cfv 5569   omcom 6683    ~~ cen 7551   Fincfn 7554   cardccrd 8348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-om 6684  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352
This theorem is referenced by:  card1  8381  cardennn  8396  cardsucnn  8398  nnsdomel  8403  pm54.43lem  8412  iscard3  8506  nnacda  8613  ficardun  8614  ficardun2  8615  pwsdompw  8616  ackbij2  8655  sdom2en01  8714  fin23lem22  8739  fin1a2lem9  8820  ficard  8972  cfpwsdom  8991  cardfz  12121  hashgval2  12494  hashdom  12495
  Copyright terms: Public domain W3C validator