MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardfz Structured version   Unicode version

Theorem cardfz 11904
Description: The cardinality of a finite set of sequential integers. (See om2uz0i 11882 for a description of the hypothesis.) (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
fzennn.1  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
cardfz  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( card `  ( 1 ... N
) )  =  ( `' G `  N ) )

Proof of Theorem cardfz
StepHypRef Expression
1 fzennn.1 . . . 4  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
21fzennn 11902 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  ~~  ( `' G `  N ) )
3 carden2b 8243 . . 3  |-  ( ( 1 ... N ) 
~~  ( `' G `  N )  ->  ( card `  ( 1 ... N ) )  =  ( card `  ( `' G `  N ) ) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( card `  ( 1 ... N
) )  =  (
card `  ( `' G `  N )
) )
5 0z 10763 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
65, 1om2uzf1oi 11888 . . . 4  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  0 )
7 elnn0uz 11004 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
87biimpi 194 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
9 f1ocnvdm 6093 . . . 4  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  0 )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( `' G `  N )  e.  om )
106, 8, 9sylancr 663 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( `' G `  N )  e.  om )
11 cardnn 8239 . . 3  |-  ( ( `' G `  N )  e.  om  ->  ( card `  ( `' G `  N ) )  =  ( `' G `  N ) )
1210, 11syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( card `  ( `' G `  N ) )  =  ( `' G `  N ) )
134, 12eqtrd 2493 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( card `  ( 1 ... N
) )  =  ( `' G `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3072   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   `'ccnv 4942    |` cres 4945   -1-1-onto->wf1o 5520   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   omcom 6581   reccrdg 6970    ~~ cen 7412   cardccrd 8211   0cc0 9388   1c1 9389    + caddc 9391   NN0cn0 10685   ZZ>=cuz 10967   ...cfz 11549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550
This theorem is referenced by:  hashfz1  12229
  Copyright terms: Public domain W3C validator