Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardf2 Structured version   Unicode version

Theorem cardf2 8341
 Description: The cardinality function is a function with domain the well-orderable sets. Assuming AC, this is the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cardf2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem cardf2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-card 8337 . . . 4
21funmpt2 5631 . . 3
3 rabab 3127 . . . 4
41dmmpt 5508 . . . 4
5 intexrab 4615 . . . . 5
65abbii 2591 . . . 4
73, 4, 63eqtr4i 2496 . . 3
8 df-fn 5597 . . 3
92, 7, 8mpbir2an 920 . 2
10 simpr 461 . . . . . . . . 9
11 vex 3112 . . . . . . . . 9
1210, 11syl6eqelr 2554 . . . . . . . 8
13 intex 4612 . . . . . . . 8
1412, 13sylibr 212 . . . . . . 7
15 rabn0 3814 . . . . . . 7
1614, 15sylib 196 . . . . . 6
17 vex 3112 . . . . . . 7
18 breq2 4460 . . . . . . . 8
1918rexbidv 2968 . . . . . . 7
2017, 19elab 3246 . . . . . 6
2116, 20sylibr 212 . . . . 5
22 ssrab2 3581 . . . . . . 7
23 oninton 6634 . . . . . . 7
2422, 14, 23sylancr 663 . . . . . 6
2510, 24eqeltrd 2545 . . . . 5
2621, 25jca 532 . . . 4
2726ssopab2i 4784 . . 3
28 df-card 8337 . . . 4
29 df-mpt 4517 . . . 4
3028, 29eqtri 2486 . . 3
31 df-xp 5014 . . 3
3227, 30, 313sstr4i 3538 . 2
33 dff2 6044 . 2
349, 32, 33mpbir2an 920 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  cab 2442   wne 2652  wrex 2808  crab 2811  cvv 3109   wss 3471  c0 3793  cint 4288   class class class wbr 4456  copab 4514   cmpt 4515  con0 4887   cxp 5006   cdm 5008   wfun 5588   wfn 5589  wf 5590   cen 7532  ccrd 8333 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-card 8337 This theorem is referenced by:  cardon  8342  isnum2  8343  cardf  8942  smobeth  8978  hashkf  12410  hashgval  12411
 Copyright terms: Public domain W3C validator