MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardennn Structured version   Unicode version

Theorem cardennn 8407
Description: If  A is equinumerous to a natural number, then that number is its cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardennn  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  om )  ->  ( card `  A
)  =  B )

Proof of Theorem cardennn
StepHypRef Expression
1 carden2b 8391 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( card `  A )  =  ( card `  B
) )
2 cardnn 8387 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( card `  B )  =  B )
31, 2sylan9eq 2481 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  om )  ->  ( card `  A
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   class class class wbr 4417   ` cfv 5592   omcom 6697    ~~ cen 7565   cardccrd 8359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-om 6698  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363
This theorem is referenced by:  dif1card  8431  fz1isolem  12608
  Copyright terms: Public domain W3C validator