Theorem carddomi 5986

Description: Two sets have the dominance relationship if their cardinalities have the subset relationship.

Assertion

Ref	Expression
carddomi	|- (A e. C -> ((card` A) C_ (card` B) -> A ~<_ B))

Proof of Theorem carddomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domentr 5480	. . 3 |- ((A ~<_ (card` B) /\ (card` B) ~~ B) -> A ~<_ B)
2		endomtr 5479	. . . 4 |- ((A ~~ (card` A) /\ (card` A) ~<_ (card` B)) -> A ~<_ (card` B))
3		cardid 5977	. . . . 5 |- (card` A) ~~ A
4		ensymg 5470	. . . . 5 |- (A e. C -> ((card` A) ~~ A -> A ~~ (card` A)))
5	3, 4	mpi 55	. . . 4 |- (A e. C -> A ~~ (card` A))
6		cardon 5976	. . . . 5 |- (card` A) e. On
7		ssdomg 5467	. . . . 5 |- ((card` A) e. On -> ((card` A) C_ (card` B) -> (card` A) ~<_ (card` B)))
8	6, 7	ax-mp 7	. . . 4 |- ((card` A) C_ (card` B) -> (card` A) ~<_ (card` B))
9	2, 5, 8	syl2an 503	. . 3 |- ((A e. C /\ (card` A) C_ (card` B)) -> A ~<_ (card` B))
10		cardid 5977	. . 3 |- (card` B) ~~ B
11	1, 9, 10	sylancl 525	. 2 |- ((A e. C /\ (card` A) C_ (card` B)) -> A ~<_ B)
12	11	ex 402	1 |- (A e. C -> ((card` A) C_ (card` B) -> A ~<_ B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  Oncon0 3657  ` cfv 3998   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424  cardccrd 5859

This theorem is referenced by:  carddom 5987

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-card 5862

Copyright terms: Public domain